Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Evolución respecto del tiempo de la posición, de la velocidad y de la aceleración de un cuerpo sometido a un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, según la mecánica clásica.

El Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), también conocido como Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) o Movimiento Unidimensional con Aceleración Constante, es aquél en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante. Esto implica que para cualquier instante de tiempo, la aceleración del móvil tiene el mismo valor. Un caso de este tipo de movimiento es el de caída libre, en el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la de la gravedad.

También puede definirse el movimiento MRUA como el seguido por una partícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante.

Movimiento acelerado en mecánica newtoniana

En mecánica clásica el movimiento uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres características fundamentales:

1. La aceleración y la fuerza resultante sobre la partícula son constantes.
2. La velocidad varía linealmente respecto del tiempo.
3. La posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo.

La figura muestra relaciones, respecto del tiempo, del desplazamiento (parábola), velocidad (recta con pendiente) y aceleración (constante, recta horizontal) en el caso concreto de la caída libre (con velocidad inicial nula).

El movimiento MRUA, como su propio nombre indica, tiene una aceleración constante, cuyas relaciones dinámicas y cinemática, respectivamente, son:

(1)$a(t)=a_{0}={\frac {F}{m}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

La velocidad V para un instante t dado es:

(2a)$v(t)=a_{0}t+v_{0}\,$

siendo $v_{0}\,$ la velocidad inicial.

Finalmente la posición x en función del tiempo se expresa por:

(3)$x(t)={\frac {1}{2}}a_{0}t^{2}+v_{0}t+x_{0}$

donde $x_{0}\,$ es la posición inicial.

Además de las relaciones básicas anteriores, existe una ecuación que relaciona entre sí el desplazamiento y la rapidez lineal del movil. Esta se obtiene despejando el tiempo de (2a) y substituyendo el resultado en (3):

(2b)$v^{2}=2a_{0}(x-x_{0})+v_{0}^{2}\,$

Para el cálculo de la velocidad en función del tiempo:

${\begin{cases}{\cfrac {dv}{dt}}=a(t)=a_{0}\\v(0)=v_{0}\end{cases}}$

Integrando esta ecuación diferencial lineal de primer orden tenemos:

$dV=a_{0}dt\$

integrando la ecuación:

$\int dV=\int a_{0}dt$

sacando valores constantes de la integral:

$\int dV=a_{0}\int {dt}$

resolviendo la integral:

$V=a_{0}t+V_{0}\$

Donde: $V_{0}\,$ es la constante de integración, corresponde a la velocidad del móvil para $t=0\,$, en el caso de que el móvil esté en reposo para $t=0\,$ entonces $V_{0}=0\,$.

Para el cálculo del espacio en función del tiempo, se toma la ecuación de la velocidad en función del tiempo y la definición de velocidad:

1. $V=a_{0}t+V_{0}\$
2. $V={\frac {dx}{dt}}$

esto es:

${\frac {dx}{dt}}=a_{0}t+V_{0}$

despejando términos:

$dx=(a_{0}t+V_{0})dt\$

integrando la ecuación:

$\int {dx}=\int {(a_{0}t+V_{0})dt}$

descomponiendo la integral:

$\int {dx}=\int {a_{0}tdt}+\int {V_{0}dt}$

sacando valores constantes de la integral:

$\int {dx}=a_{0}\int {tdt}+V_{0}\int {dt}$

resolviendo la integral:

$x={\frac {1}{2}}a_{0}t^{2}+V_{0}t+x_{0}$

Donde $x_{0}\,$ es la constante de integración, que, teniendo en cuenta las condiciones iniciales, corresponde a la posición del móvil respecto del centro de coordenadas para $t=0\,$. En el caso de que el móvil esté en el centro de coordenadas para $t=0\,$ es $x_{0}=0\,$.

Ecuación no horaria simple

Se trata de relacionar la posición, la velocidad y la aceleración, eliminando el tiempo. Partiendo de las ecuaciones de la velocidad y del espacio del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

1. $V=a_{0}t+V_{0}\$
2. $x={\frac {1}{2}}a_{0}t^{2}+V_{0}t+x_{0}$

Para simplificar consideremos que:

1. $V_{0}=0\$
2. $x_{0}=0\$

y que el movimiento rectilíneo, no necesita representación vectorial, estando las variables representaras por su módulo, con cual tendremos:

1. ${V}={a}_{0}t\,$
2. ${x}={\frac {1}{2}}{a}_{0}t^{2}\,$

despejando t de la primera ecuación:

$t={\frac {V}{{a}_{0}}}$

y sustituyendo en la segunda:

${x}={\frac {1}{2}}{a}_{0}\left({\frac {V}{{a}_{0}}}\right)^{2}$

ordenando:

${x}={\frac {{a}_{0}\,{V}^{2}}{2\,{{a}_{0}}^{2}}}$

simplificando:

${x}={\frac {{V}^{2}}{2\,{a}_{0}}}$

Esta ecuación permite calcular la distancia x, que el móvil alcanzará a la velocidad V. Como puede observarse en esta expresión no interviene el tiempo.

Despejando la velocidad:

${{V}^{2}}={2\,{a}_{0}\,{x}}$

que suele expresarse como:

${V}={\sqrt {2\,{a}_{0}\,{x}}}$

Que determina la velocidad del móvil en función de la aceleración y del espacio recorrido. Esta ecuación permite determinar la velocidad para una determinada distancia recorrida.

Como se dijo, se asume para las ecuaciones anteriores que el móvil parte del reposo y del origen de coordenadas ($V_{0}=0$ y $x_{0}=0$).

Dado que en esas expresiones no interviene el tiempo, ellas se suelen denominar ecuaciones no horarias.

Ecuación no horaria completa

Para obtener esta procederemos de la misma forma, considerando la posición, la velocidad y la aceleración como escalares pero sin suponer que las condiciones iniciales ($x_{0}$, $v_{0}$, $a_{0}$) son igual a zero para, de este modo, conseguir la ecuación completa.

Consideramos el sistema formado por las ecuaciones de la posición y la velocidad, ambas en función del tiempo:

$\left\{{\begin{aligned}&x=x_{0}+v_{0}(t-t_{0})+{\frac {1}{2}}a_{0}(t-t_{0})^{2}\\&v=v_{0}+a_{0}(t-t_{0})\\\end{aligned}}\right.$

Despejando $t-t_{0}\$ en la segunda ecuación:

$\left\{{\begin{aligned}&x=x_{0}+v_{0}(t-t_{0})+{\frac {1}{2}}a_{0}(t-t_{0})^{2}\\&{\frac {v-v_{0}}{a_{0}}}=t-t_{0}\\\end{aligned}}\right.$

Sustituyendo la expresión de $t-t_{0}\$ obtenida al despejar la segunda ecuación en la primera:

$x=x_{0}+v_{0}\left({\frac {v-v_{0}}{a_{0}}}\right)+{\frac {1}{2}}a_{0}\left({\frac {v-v_{0}}{a_{0}}}\right)^{2}$

Ordenamos las fracciones y simplificamos ${\left(a_{0}\right)}$ con ${\left(a_{0}\right)^{2}}$:

$x=x_{0}+v_{0}{\frac {\left(v-v_{0}\right)}{a_{0}}}+{\frac {1}{2}}a_{0}{\frac {\left(v-v_{0}\right)^{2}}{\left(a_{0}\right)^{2}}}$

Realizamos los productos y quitamos paréntesis:

$x-x_{0}={\frac {v_{0}v-\left(v_{0}\right)^{2}}{a_{0}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}-2v_{0}v+(v_{0})^{2}}{a_{0}}}$

Reducimos a común denominador:

$x-x_{0}={\frac {2v_{0}v-2\left(v_{0}\right)^{2}}{2a_{0}}}+{\frac {v^{2}-2v_{0}v+(v_{0})^{2}}{2a_{0}}}$

tendremos:

$x-x_{0}={\frac {2v_{0}v-2\left(v_{0}\right)^{2}+v^{2}-2v_{0}v+(v_{0})^{2}}{2a_{0}}}$

que simplificando resultara:

$x-x_{0}={\frac {v^{2}-\left(v_{0}\right)^{2}}{2a_{0}}}$

Ordenamos para conseguir la expresión general de la ecuación no horaria:

$v^{2}=\left(v_{0}\right)^{2}+2a_{0}(x-x_{0})$

Movimiento acelerado en mecánica relativista

En mecánica relativista no existe un equivalente exacto del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, ya que la aceleración depende de la velocidad y mantener una aceleración constante requeriría una fuerza progresivamente creciente. Lo más cercano que tenemos es el movimiento de una partícula bajo una fuerza constante, que comparte muchas de las características del MUA de la mecánica clásica.

La ecuación de movimiento relativista para el movimiento bajo una fuerza constante partiendo del reposo es:

(4)${\begin{cases}{\cfrac {d}{dt}}\left({\cfrac {v}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right)={\cfrac {F}{m_{0}}}=w\\v(0)=0\end{cases}}$

Donde w es una constante que, para valores pequeños de la velocidad comparados con la velocidad de la luz, es aproximadamente igual a la aceleración (para velocidades cercanas a la luz la aceleración es mucho más pequeña que el cociente entre la fuerza y la masa). De hecho la aceleración bajo una fuerza constante viene dada en el caso relativista por:

$a(t)={\frac {w}{\left(1+{\frac {w^{2}t^{2}}{c^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}}$

La integral de (4) es sencilla y viene dada por:

(5)${\frac {v}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=wt\qquad \Rightarrow \qquad v(t)={\frac {wt}{\sqrt {1+{\frac {w^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}}$

E integrando esta última ecuación suponiendo que inicialmente la partícula ocupaba la posición x = 0, llegamos a:

(6)$x(t)={\frac {c^{2}}{w}}\left[{\sqrt {1+{\frac {w^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}-1\right]$

En este caso el tiempo propio de la partícula acelerada se puede calcular en función del tiempo coordenado t mediante la expresión:

(7)$\tau ={\frac {2c}{w}}\ln \left[{\frac {wt}{c}}+{\sqrt {1+{\frac {w^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}\right]$

Todas estas expresiones pueden generalizarse fácilmente al caso de un movimiento uniformemente acelerado, cuya trayectoria es más complicada que la parábola, tal como sucede en el caso clásico cuando el movimiento se da sobre un plano.

Observadores de Rindler

El tratamiento de los observadores uniformemente acelerados en el espacio-tiempo de Minkoski se realiza habitualmente usando las llamadas coordenadas de Rindler para dicho espacio, un observador acelerado queda representado por un sistema de referencia asociado a unas coordenadas de Rindler. Partiendo de las coordenadas cartesianas la métrica de dicho espacio-tiempo:

$ds^{2}=-c^{2}dT^{2}+dX^{2}+dY^{2}+dZ^{2},\qquad (T,X,Y,Z)\in \mathbb {R} ^{4}$

Consideremos ahora la región conocida como "cuña de Rindler", dada por el conjunto de puntos que verifican:

${\mathcal {R}}_{Rind}=\{(T,X,Y,Z)\in \mathbb {R} ^{4}|\ 0<X<\infty ,\;-X<T<X\}$

Y definamos sobre ella un cambio de coordenadas dado por las transformaciones siguientes:

${\begin{cases}t={\cfrac {c}{\alpha }}\operatorname {arctanh} \left({\cfrac {cT}{X}}\right),\;x={\cfrac {c^{2}}{\alpha }}\ln \left({\cfrac {\alpha }{c^{2}}}{\sqrt {X^{2}-c^{2}T^{2}}}\right)\;y=Y,\;z=Z\\T={\cfrac {c}{\alpha }}\ e^{\alpha x/c^{2}}\sinh \left({\cfrac {\alpha t}{c}}\right),\;X={\cfrac {c^{2}}{\alpha }}\ e^{\alpha x/c^{2}}\cosh \left({\cfrac {\alpha t}{c}}\right),\;Y=y,\;Z=z\end{cases}}$

Donde:

$\alpha \,$, es un parámetro relacionado con la aceleración del observador.​

$(t,x,y,z)\,$, son las coordenadas temporal y espaciales medidas por dicho observador.

Usando estas coordenadas, la cuña de Rindler del espacio de Minkowski tiene una métrica, expresada en las nuevas coordenadas, dada por la expresión:

$ds^{2}=e^{\frac {2\alpha x}{c^{2}}}(-dt^{2}+dx^{2})+dy^{2}+dz^{2},\qquad (t,x,y,z)\in \times \mathbb {R} ^{4}$

Puede que estas coordenadas representan a un observador acelerado según el eje X, cuya cuadriaceleración obtenida como derivada covariante de la cuadrivelocidad está relacioanda con el valor de la coordenadas x:

$\nabla _{\mathbf {e} _{0}}\mathbf {e} _{0}=\alpha e^{-{\frac {\alpha x}{c^{2}}}}\ \mathbf {e} _{1},\qquad \mathbf {a} =(a^{0};a^{1},a^{2},a^{3})=\left(0;\alpha e^{-{\frac {\alpha x}{c^{2}}}},0,0\right)$

Horizonte de Rindler

Es interesante notar que un observador uniformemente acelerado tiene horizonte de eventos, es decir existe una superficie espacial (que coincide con la frontera de la cuña de Rindler):

$H_{Rind}^{-}=\{(T,X,Y,Z)|X^{2}-c^{2}T^{2}=0\}=\{(t,x,y,z)|x=-\infty \}$

Tal que la luz del otro lado jamás alcanzaría al observador acelerado. Este horizonte de eventos es del mismo tipo que el horizonte de eventos que ve un obsevador situado fuera de un agujero negro. Es decir, los eventos al otro lado del horizonte de eventos no pueden ser vistos por estos observadores.

El ejemplo de las coordenadas de Rindler muestra que la ocurrencia de un horizonte de eventos no está asociada al propio espacio-tiempo sino a ciertos observadores. Las coordenadas de Rindler constituyen una cartografía del espacio-tiempo plano de Minkowski. En dicho espacio un observador inercial no ve ningún horizonte de eventos pero sí lo ve un observador acelerado.

Movimiento acelerado en mecánica cuántica

En 1975, Stephen Hawking conjeturó que cerca del horizonte de eventos de un agujero negro debía aparecer una producción de partículas cuyo espectro de energías correspondería con la de un cuerpo negro cuya temperatura fuera inversamente proporcional a la masa del agujero. En un análisis de observadores acelerados, Paul Davies probó que el mismo argumento de Hawking era aplicable a estos observadores (observadores de Rindler).​

En 1976, Bill Unruh basándose en los trabajos de Hawking y Davies, predijo que un observador uniformemente acelerado observaría radiación de tipo Hawking donde un observador inercial no observaría nada. En otras palabras el efecto Unruh afirma que el vacío es percibido como más caliente por un observador acelerado.​ La temperatura efectiva observada es proporcional a la aceleración y viene dada por:

$kT={\frac {\hbar a}{2\pi c}}$

Donde:

$k\,$, constante de Boltzmann.

$\hbar$, constante de Planck racionalizada.

$c\,$, velocidad de la luz.

$T\,$, temperatura absoluta medida del vacío medida por el observador acelerado.

$a\,$, aceleración del observador uniformemente acelerado.

De hecho el estado cuántico que percibe el observador acelerado es un estado de equilibrio térmico diferente del que percibe un observador inercial. Ese hecho hace de la aceleración una propiedad absoluta: un observador acelerado moviéndose en el espacio abierto puede medir su aceleración midiendo la temperatura del fondo térmico que le rodea. Esto es similar al caso relativista clásico, en donde un observador acelerado que observa una carga eléctrica en reposo respecto a él puede medir la radiación emitida por esta carga y calcular su propia aceleración absoluta.

Referencia

Bibliografía

• Robert Resnick, David Halliday (2004). Física 4ta. Edición Vol. 1. SECSA, México. ISBN 970-24-0257-3. 

Véase también

• Cinemática
• Movimiento uniformemente acelerado