Movimiento circular uniforme

El módulo del vector velocidad es constante en un movimiento circular uniforme.

En el movimiento circular uniforme el móvil se desplaza en una trayectoria circular con celeridad constante.

No se puede decir que la velocidad sea constante ya que, al ser una magnitud vectorial tangente en cada instante a la trayectoría, cambia de dirección. Esta circunstancia implica la existencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección.

Desplazamiento angular y velocidad angular

El desplazamiento angular es la longitud del arco de circunferencia por unidad de radio:

$\varphi ={\frac {\mbox{arco}}{\mbox{radio}}}$

La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene $2\pi \,$ radianes.

La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:

$\omega ={\frac {d\varphi }{dt}}$

Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo fisico cinemático.

Sistema de referencia

Se considera un sistema de referencia en el plano xy, con vectores unitarios en el sentido de estos ejes $({\text{O}};\mathbf {i} ,\mathbf {j} )$.

Vector de posición

La posición de la partícula en función del ángulo de giro $\varphi$ y del radio r es en un sistema de referencia cartesiano xy:

$x=r\cos \varphi$

$y=r\sin \varphi$

El vector de posición de la partícula será:

$\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j}$

Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se traduce en:

$\omega ={\frac {\varphi }{t}}\qquad \Rightarrow \qquad \varphi =\omega {t}$

de modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:

$\mathbf {r} =r\cos(\omega t)\mathbf {i} +r\sin(\omega t)\mathbf {j}$

siendo:

$\mathbf {r} \;$: es el vector de posición de la partícula.

$r\;$: es el radio de la trayectoria.

$\omega \;$: es la velocidad angular (constante).

$t\;$: es el tiempo.

Velocidad

La velocidad se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:

$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=-r\omega \sin(\omega t)\mathbf {i} +r\omega \cos(\omega t)\mathbf {j}$

El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilment efectuando el producto escalar $\mathbf {r} \cdot \mathbf {v}$ y comprobando que es nulo.

Aceleración

La aceleración se obtiene a partir del vector velocidad mediante derivación:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=-r\omega ^{2}\cos(\omega t)\mathbf {i} -r\omega ^{2}\cos(\omega t)\mathbf {j}$

de modo que

$\mathbf {a} =-\omega ^{2}\mathbf {r}$

Así pues, vector aceleración tiene la misma dirección y sentido opuesto que el vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostubramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.

El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad $v\,$ de la partícula, ya que, en virtud de la relación $v=\omega r\,$, resulta

$a=\omega ^{2}r={\frac {v^{2}}{r}}$

Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la pratícula deberá ser atraída hacia en centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.

Período y frecuencia

El periodo $T\,$ representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta completa y viene dado por:

$T={\frac {2\,\pi }{\omega }}$

La frecuencia $f\,$ mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:

$f={\frac {\omega }{2\,\pi }}$

Obviamente, la frecuencia la inversa del período:

$f={\frac {1}{T}}$

Véase también

• Movimiento armónico simple
• Movimiento circular
• Cinemática

Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
• Resnick, Robert & Halliday, David (2004). Física 4ª. CECSA, México. ISBN 970-24-0257-3. 
• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3. 

Enlaces externos

• Curso Interactivo de Física en Internet. Ángel Franco García.