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En matemáticas , hay muchas identidades logarítmicas .
Identidades algebraicas [ editar ] Con operaciones simples [ editar ] Los logaritmos se utilizan generalmente para hacer más simples las operaciones. Por ejemplo, se pueden multiplicar dos números utilizando una tabla de logaritmos y sumando.
log
b
(
x
y
)
=
log
b
(
x
)
+
log
b
(
y
)
{\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,}
porque
b
x
⋅
b
y
=
b
x
+
y
{\displaystyle b^{x}\cdot b^{y}=b^{x+y}}
log
b
(
x
y
)
=
log
b
(
x
)
−
log
b
(
y
)
{\displaystyle \log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}
porque
b
x
b
y
=
b
x
−
y
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {b^{x}}{b^{y}}}\end{matrix}}=b^{x-y}}
log
b
(
x
y
)
=
y
log
b
(
x
)
{\displaystyle \log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,}
porque
(
b
x
)
y
=
b
x
y
{\displaystyle (b^{x})^{y}=b^{xy}\!\,}
log
b
(
x
y
)
=
log
b
(
x
)
y
{\displaystyle \log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}}
porque
b
x
y
=
b
x
/
y
{\displaystyle {\sqrt[{y}]{b^{x}}}=b^{x/y}}
[ editar ] Los logaritmos y exponenciales (antilogaritmos) con la misma base se cancelan.
b
log
b
(
x
)
=
x
{\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x}
porque
a
n
t
i
l
o
g
b
(
log
b
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle \mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,}
log
b
(
b
x
)
=
x
{\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x\!\,}
porque
log
b
(
a
n
t
i
l
o
g
b
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle \log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,}
log
a
b
=
log
c
b
log
c
a
{\displaystyle \log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}}
Esta identidad se requiere para evaluar logaritmos con calculadoras. La mayoría de las calculadoras solo pueden procesar ln y log10 , pero no por ejemplo log2 . Para encontrar log2 (3), basta calcular log10 (3) / log10 (2) (o bien ln(3)/ln(2), que da idéntico resultado).
Esta fórmula tiene varias consecuencias:
log
a
b
=
1
log
b
a
{\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}
log
a
n
b
=
1
n
log
a
b
{\displaystyle \log _{a^{n}}b={\frac {1}{n}}\log _{a}b}
a
log
b
c
=
c
log
b
a
{\displaystyle a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}}
log
b
1
=
0
{\displaystyle \log _{b}1=0\!\,}
porque
b
0
=
1
{\displaystyle b^{0}=1\!\,}
log
b
b
=
1
{\displaystyle \log _{b}b=1\!\,}
porque
b
1
=
b
{\displaystyle b^{1}=b\!\,}
[ editar ]
lim
x
→
0
+
log
a
x
=
−
∞
si
a
>
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{si }}a>1}
lim
x
→
0
+
log
a
x
=
∞
si
a
<
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{si }}a<1}
lim
x
→
∞
log
a
x
=
∞
si
a
>
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{si }}a>1}
lim
x
→
∞
log
a
x
=
−
∞
si
a
<
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{si }}a<1}
lim
x
→
0
+
x
b
log
a
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0}
lim
x
→
∞
1
x
b
log
a
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0}
El último límite se resume frecuentemente diciendo "los logaritmos crecen más lentamente que cualquier potencia o raíz de x ".
d
d
x
log
a
x
=
d
d
x
ln
x
ln
a
=
1
x
ln
a
=
log
a
e
x
{\displaystyle {d \over dx}\log _{a}x={d \over dx}{\ln x \over \ln a}={1 \over x\ln a}={\log _{a}e \over x}}
∫
log
a
x
d
x
=
x
(
log
a
x
−
log
a
e
)
+
C
{\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C}
Para recordar integrales más grandes, es conveniente definir:
x
[
n
]
:=
x
n
(
log
(
x
)
−
H
n
)
{\displaystyle x^{\left[n\right]}:=x^{n}(\log(x)-H_{n})}
Donde
H
n
{\displaystyle H_{n}}
n -ésimo número armónico . Así, las primeras serían:
x
[
0
]
=
log
x
{\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}
x
[
1
]
=
x
log
(
x
)
−
x
{\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}
x
[
2
]
=
x
2
log
(
x
)
−
3
2
x
2
{\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}}
x
[
3
]
=
x
3
log
(
x
)
−
11
6
x
3
{\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}}
Entonces,
d
d
x
x
[
n
]
=
n
x
[
n
−
1
]
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}}
∫
x
[
n
]
d
x
=
x
[
n
+
1
]
n
+
1
+
C
{\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}
![{\displaystyle \log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa4327beb2984c4f0548bee011606d7588db706)
![{\displaystyle {\sqrt[{y}]{b^{x}}}=b^{x/y}}](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a4d5860175288cd0f02ad29a19975916a19727f)
![{\displaystyle x^{\left[n\right]}:=x^{n}(\log(x)-H_{n})}](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/f06288d0bdb6254c69b1e51bc9f20bf56f247de6)
![{\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/078fe3653cf35a30aea1b7f03ea554ae7670b967)
![{\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c12b6bda581e741822ed456b8e7c42955525db0)
![{\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}}](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/41c21bdba06d346a4ba6099ffecd4612135f157a)
![{\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}}](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1dd85612d205f8fab7b2af8590f297eec9c209a)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}}](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1466307fb829dca298b9bfcce3e58bd33c52d8a)
![{\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}](https://wikimedia.org/eswiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/92036b7056a0179b00f4d6739640046d2e8553ba)
Datos: Q1814130