Matriz semejante

En álgebra lineal, se dice que dos matrices $A$ y $B$ de orden $n\times n$ sobre el cuerpo $K$ son semejantes si existe una matriz invertible $P$ de $n\times n$ sobre $K$ tal que:

P^{-1}AP=B

Si $T$ es una transformación de $M_{n\times n}$ en $M_{n\times n}$ tal que $T(A)=P^{-1}AP$ , siendo $P$ una matriz fija, entonces $T$ recibe el nombre de transformación lineal de semejanza.

En teoría de grupos, la semejanza se llama clase de conjugación.

Propiedades

Las matrices semejantes comparten varias propiedades:

poseen el mismo rango,
el mismo determinante,
la misma traza,
los mismos valores propios (aunque los vectores propios, en general, serán distintos),
el mismo polinomio característico, y
el mismo polinomio mínimo.

Hay dos razones para estas características:

dos matrices semejantes pueden pensarse como dos descripciones de una misma transformación lineal, pero con respecto a bases distintas;
la transformación X $\mapsto$ P⁻¹XP es un automorfismo del álgebra asociativa de todas las matrices de n-por-n.

Debido a esto, para una matriz A dada, estamos interesados en encontrar una "forma normal" sencilla B que sea semejante a A: el estudio de A se reduce de esta manera al estudio de la matriz semejante (y más sencilla) B. Por ejemplo, A se llama diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. No todas las matrices son diagonalizables, pero por lo menos sobre los números complejos (o cualquier cuerpo algebraicamente cerrado), toda matriz es semejante a una matriz en forma de Jordan. Otra forma normal, la forma canónica racional, se aplica en cualquier campo. Observando las formas de Jordan o las formas canónicas racionales de A y B, puede decidirse inmediatamente si A y B son semejantes.

La semejanza de matrices no depende del cuerpo base: si L es un cuerpo conteniendo a K como subcuerpo, y A y B son dos matrices en K, entonces A y B son semejantes como matrices sobre K si y solo si son semejantes como matrices sobre L. Esto es bastante útil: uno puede agrandar en forma segura el cuerpo K, por ejemplo para obtener un cuerpo algebraicamente cerrado; las formas de Jordan pueden computarse sobre el cuerpo grande y puede usarse para determinar si las matrices dadas son semejantes sobre el cuerpo pequeño. Este método puede usarse, por ejemplo, para mostrar que toda matriz es semejante a su traspuesta.

Si en la definición de semejanza, la matriz P puede elegirse para que sea una matriz de permutación, entonces A y B son semejantes en permutación; si P puede elegirse para que sea una matriz unitaria, entonces A y B son unitariamente equivalentes. El teorema espectral establece que toda matriz normal es unitariamente equivalente a alguna matriz diagonal.

Matrices congruentes

Otra relación de equivalencia importante para matrices reales es la congruencia.

Dos matrices reales A y B se llaman congruentes si hay una matriz regular real P tal que:

P^TAP = B.

Cambios de base

Recordemos que un endomorfismo es una aplicación lineal entre un mismo espacio vectorial $\scriptstyle f:V(K)\longrightarrow V(K)$ , es decir, tal que:

$f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y),\qquad \forall \lambda \in K,\forall x,y\in V$

Entre el espacio vectorial de los endomorfismos $\scriptstyle End(V)$ y el anillo de las matrices cuadradas existe un isomorfismo que, fijada una base en $\scriptstyle V(K)$ , asigna una única matriz a cada endomorfismo (por supuesto si se cambia de base, la matriz también cambiará).

Supóngase que se tienen dos bases de $\scriptstyle V(K)$ llamadas $\scriptstyle {\hat {B}}_{V}=\{{\hat {v}}_{k}\},\ B_{V}=\{v_{i}\}$ de modo que

$v_{i}=\sum _{k}\Lambda _{ik}{\hat {v}}_{k},\qquad {\hat {v}}_{k}=\sum _{i}\Lambda _{ki}^{-1}v_{i}$

En lo que sigue usaremos el convenio de sumación de Einstein para hacer más ligera la notación. Sean ahora $\scriptstyle a_{ij}$ y $\scriptstyle {\hat {a}}_{kl}$ las matrices asociadas al endomorfismo en las respectivas bases de modo que $f(v_{i})=a_{ij}v_{j}$ y $f({\hat {v}}_{k})={\hat {a}}_{kl}{\hat {v}}_{l}$ , entonces las matrices se relacionan por: