Usuario:MRS~eswiki/ecuación de segundo grado

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Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma reducida:

ax^{2}+bx+c=0\

,

donde a, b y c (a ≠ 0 ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle mathbb{R}\} o a Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle mathbb{C}\} .

I El caso general

Sea K un cuerpo conmutativo, donde se puede extraer raíces cuadradas.

En un cuerpo es posible factorizar por todo a ≠ 0, y la conmutatividad implica lass siguientes identidades:

  $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\$ 
  $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\$

Para resolver la ecuación $ax^{2}+bx+c=0$ , es preciso factorizarla en dos binomios de primer grado:

${\begin{matrix}ax^{2}+bx+c&=&a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)\qquad \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\&&\\&=&a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)\ \ \ \ \\&&\\&=&a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right]\qquad \ (1)\end{matrix}}$

Sean $\Delta =b^{2}-4ac$ y $d^{2}=\Delta$ . Entonces:

${\begin{matrix}(1)&=&a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}\right]\quad \\&&\\&=&a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {d^{2}}{4a^{2}}}\right]\quad \\&&\\&=&a\left(x+{\frac {b-d}{2a}}\right)\left(x+{\frac {b+d}{2a}}\right)\end{matrix}}$

Primero se factoriza por a, lo que es posible porque a tiene un inverso, luego se introduce un término que completa los dos primeros en un cuadrado, que aparece en (1). El número d es una de las dos raíces del discriminante $\Delta =b^{2}-4ac$ . Se utiliza la primera identidad anunciada, y se obtienen dos factores de primer grado. En un cuerpo, un producto es nulo si y sólo si uno de sus factores lo es (un cuerpo es un dominio íntegro), lo que da las soluciones:

x_{1}={\frac {-b-d}{2a}}\ ,\quad x_{2}={\frac {-b+d}{2a}}

La igualdad: $ax^{2}+bx+c=a(x-x_{0})(x-x_{1})\$ da, al desarollar el segundo miembro e identificar los coeficientes:

x_{0}+x_{1}={\frac {-b}{a}}\ ,\quad x_{0}\cdot x_{1}={\frac {c}{a}}

Recíprocamente, si conocemos la suma y el producto de dos números, podemos escribir la ecuación de segundo grado cuyas raíces son estos números:

X² - SX + P = 0 (S = suma, P = producto, y se ha tomado a = 1)

II El caso real

Si a,b y c son números reales, el raciocinio anterior es por supuesto válido, pero es práctico distinguir dos casos, según el signo del discriminante $\Delta =b^{2}-4ac$ :

Si Δ ≥ 0, entonces para d se puede tomar su raíz cuadrada, y las soluciones son:

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

Si Δ < 0, entonces ni Δ ni la ecuación tienen raíces reales. Es preciso emplear números complejos: para d se puede tomar la raíz cuadrada de - Δ, multiplicado por i (que verifica i² = -1), pues:

d^{2}=(i{\sqrt {-\Delta }})^{2}=i^{2}(-\Delta )=-(-\Delta )=\Delta

y las soluciones son:

x={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}

Según los signos de Δ y a; la curva de x → ax² + bx + c se posiciona así con relación a los ejes:

III Interpretación geométrica

Siglos antes de resolver algebráicamente la ecuación de segundo grado, se encontraron soluciones utilizando un método geométrico, interpretando los términos como áreas, y distiguiendo varios casos pues no se conocían los números negativos (y menos aún las áreas negativas).

El caso más común es: x² + bx = c, con b y c positivos.

x² es obviamente el área de un cuadrado de lado x, y bx la de un rectángulo de lados b y x.