Просмотр кода страницы Сферическая теорема Пифагора

[[Файл:RechtwKugeldreieck.svg|thumb|right|Прямоугольный сферический треугольник с гипотенузой c, катетами a и b и прямым углом C.]]
'''Сферическая теорема Пифагора''' — теорема, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного [[сферический треугольник|сферического треугольника]]. 

== Формулировка и доказательство ==
Сферическая теорема Пифагора формулируется следующим образом<ref name="St">{{книга|автор=Степанов Н.Н.|заглавие=Сферическая тригонометрия|ссылка=https://archive.org/details/libgen_00007782|часть=Сферическая теорема Пифагора|место=М.—Л.|издательство=[[ОГИЗ]]|год=1948|страниц=154|страницы=[https://archive.org/details/libgen_00007782/page/n41 42]—44}}</ref>:
{{cquote|Косинус гипотенузы прямоугольного сферического треугольника равен произведению косинусов его катетов.}}

[[Файл:Tetrahedron for proofs.png|thumb|right|210px|Рисунок к доказательству сферической теоремы Пифагора.]]
Доказательство проведём с помощью [[трёхгранный угол|трёхгранного угла]]<ref name="St"/> OA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> со сторонами (лучами) OA<sub>1</sub>, OB<sub>1</sub>, OC<sub>1</sub> и вершиной в точке O, плоские углы A<sub>1</sub>OC<sub>1</sub> и C<sub>1</sub>OB<sub>1</sub> которого равны катетам b и a данного треугольника, плоский угол A<sub>1</sub>OB<sub>1</sub> равен его гипотенузе c, двугранный угол между гранями A<sub>1</sub>OC<sub>1</sub> и C<sub>1</sub>OB<sub>1</sub> равен 90 градусов, а остальные два двугранных угла равны соответствующим углам сферического прямоугольного треугольника. Этот трёхгранный угол пересечен плоскостью A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, перпендикулярной лучу OB<sub>1</sub>. Тогда углы A<sub>1</sub>C<sub>1</sub>O и A<sub>1</sub>C<sub>1</sub>B<sub>1</sub> будут прямыми.

Заметим, что 

:<math>\frac {OB_1}{OA_1} = \cos \angle A_1OB_1 = \cos c,</math>  

:<math>\frac {OC_1}{OA_1} = \cos \angle A_1OC_1 = \cos b,</math>

:<math>\frac {OB_1}{OC_1} = \cos \angle C_1OB_1 = \cos a.</math>
Отсюда

:<math> \cos c = \frac {OB_1}{OA_1} = \frac {OB_1}{OC_1} \cdot \frac {OC_1}{OA_1} = \cos a \cos b.</math>

Что и требовалось доказать.

Если считать, что [[Теоремы косинусов (сферическая геометрия)|сферическая теорема косинусов]] уже доказана, формулу для сферической теоремы Пифагора можно сразу получить из неё, записав сферическую теорему косинусов для гипотенузы данного прямоугольного сферического треугольника и просто подставив в получившееся выражение угол 90 градусов, косинус которого равен нулю.

== Следствия и применение ==
При радиусе сферы, стремящемся к бесконечности, сферическая теорема Пифагора переходит в [[Теорема Пифагора|теорему Пифагора]] [[планиметрия|планиметрии]]. Поэтому, поскольку радиус Земли велик, при небольших расстояниях прямоугольные треугольники на поверхности Земли (например, используемые для измерения расстояний и углов на местности) практически подчиняются теореме Пифагора планиметрии<ref>{{книга|автор=John McCleary|заглавие=Geometry from a differentiable viewpoint|издательство=[[Cambridge University Press]]|год=1994|страниц=308|страницы=6|ссылка=https://books.google.ru/books?id=O9P8Rd8Klw0C&lpg=PA6}} {{Wayback|url=https://books.google.ru/books?id=O9P8Rd8Klw0C&lpg=PA6 |date=20210122021403 }}</ref>, тогда как для больших расстояний, сравнимых с радиусом Земли, уже необходимо применять сферическую теорему Пифагора. 

С применением сферической теоремы Пифагора можно получить формулы для разности долгот и расстояния между точками земной поверхности, а, следовательно, и соответствующие формулы для расстояний и координат точек на [[небесная сфера|небесной сфере]]. 

Из сферической теоремы Пифагора следует, что в прямоугольном сферическом треугольнике количество сторон, меньших 90 градусов, нечётно, а больших — чётно<ref name="St"/>. Поэтому если оба катета прямоугольного сферического треугольника больше 90 градусов, то его гипотенуза меньше 90 градусов, то есть в этом случае гипотенуза короче каждого из двух катетов — положение, невозможное для прямоугольного треугольника на плоскости.

== История ==
Сферическая теорема Пифагора была известна ещё [[Ал-Бируни]], который вместе с тем не знал сферической теоремы косинусов, поэтому применил сферическую теорему Пифагора и теорему синусов для решения как минимум двух задач: определения разности долгот двух пунктов на поверхности Земли по их широтам и расстоянию между ними и определения расстояния между двумя пунктами на поверхности Земли по их широтам и долготам<ref>{{статья|автор=Розенфельд Б.А., Рожанская М.М.|заглавие=Астрономический труд Ал-Бируни «Канон Мас'уда»|издание=[[Историко-астрономические исследования]]|выпуск=X|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1969|страницы=63—96|ссылка=http://naturalhistory.narod.ru/Hronolog/IAI/IAI_10/Iai_Ogl.htm|archivedate=2010-09-10|archiveurl=https://web.archive.org/web/20100910134057/http://naturalhistory.narod.ru/Hronolog/IAI/IAI_10/Iai_Ogl.htm}}</ref>{{rp|81}}.

== См. также ==
*[[Теорема Пифагора]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

{{Сферическая тригонометрия}}

[[Категория:Тригонометрия]]
[[Категория:Сферическая геометрия|Теорема Пифагора]]