Просмотр кода страницы Закон Гука

{{Механика сплошных сред}}
[[Файл:Закон Гука.webm|thumb|Видеоурок: закон Гука]]
'''Зако́н Гу́ка''' — утверждение, согласно которому [[деформация]], возникающая в упругом теле ([[пружина|пружине]], [[стержень (строительная механика)|стержне]], [[Консоль (архитектура)|консоли]], [[балка (техника)|балке]] и т. д.), пропорциональна приложенной к этому телу [[Сила|силе]]. Открыт в 1660 году английским учёным [[Гук, Роберт|Робертом Гуком]]<ref>{{Cite web |url=http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0889.html |title=''Гука закон.'' Статья в физической энциклопедии. |access-date=2015-12-02 |archive-date=2015-10-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20151002061941/http://femto.com.ua/articles/part_1/0889.html |deadlink=no }}</ref>.

Закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении [[предел пропорциональности|предела пропорциональности]] связь между силой и деформацией становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

== Закон Гука для тонкого стержня ==
Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:
<!-- Данное выражение написано по модулю, минус здесь не нужен -->: <math>F =  k \Delta l.</math>
Здесь <math>F</math> — сила, которой растягивают (сжимают) стержень, <math>\Delta l</math> — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а <math>k</math> — ''[[коэффициент упругости]]'' (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения <math>S</math> и длины <math>L</math>) явно, записав коэффициент упругости как
: <math>k = \frac{ES} L.</math>
Величина <math>E</math> называется ''[[Модуль Юнга|модулем упругости первого рода, или модулем Юнга]]'' и является механической характеристикой материала.

Если ввести [[относительное удлинение]]
: <math>\varepsilon = \frac{\Delta l} L</math>
и нормальное напряжение в поперечном сечении
: <math>\sigma = \frac F S ,</math>
то закон Гука для относительных величин запишется как
: <math>\sigma = E\varepsilon \ .</math>
В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме
: <math>\Delta l = \frac{FL} {ES}.</math>

== Закон Гука и измерение силы ==
Закон Гука лежит в основе измерения [[сила|сил]] пружинным механическим [[динамометр]]ом<ref name="silahook">{{cite web |url= https://bookree.org/reader?file=772155&pg=14 |title= Справочник по физике |author= [[Яворский, Борис Михайлович|Б. М. Яворский]], [[Детлаф, Андрей Антонович|А. А. Детлаф]] |publisher= М.:Наука |date= 1985 |accessdate= 2020-12-10 |description= см. на стр. 22, в парагр. 1.1.2 Сила: «…измерение сил с помощью пружинного динамометра основано на законе Гука…» |archiveurl= https://web.archive.org/web/20201210131701/https://bookree.org/reader?file=772155&pg=14 |archivedate= 2020-12-10 |deadlink= no }}</ref>. В этом приборе измеряемая сила передаётся пружине, которая в зависимости от направления силы сжимается или растягивается. Величина упругой деформации пружины пропорциональна силе воздействия и регистрируется<ref>Cм. [http://agrolib.ru/rastenievodstvo/item/f00/s00/e0000544/index.shtml статью «Динамометр»] {{Wayback|url=http://agrolib.ru/rastenievodstvo/item/f00/s00/e0000544/index.shtml |date=20220111172147 }} в «Сельскохозяйственной энциклопедии», Т. 1 (А — Е), ред. коллегия: П. П. Лобанов (глав ред) [и др.] (1949)</ref>.

Принципиальная возможность измерения обеспечивается уже свойством [[упругость|упругости]], но без закона Гука упомянутая пропорциональность отсутствовала бы и градуировочная шкала стала бы неравномерной, что неудобно.

== Обобщённый закон Гука ==
В общем случае напряжения и деформации описываются [[тензор]]ами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их [[Тензор упругости|тензор упругих постоянных]] является тензором четвёртого ранга <math>C_{ijkl}</math> и содержит 81 коэффициент. Вследствие [[симметрия|симметрии]] тензора <math>C_{ijkl}</math>, а также [[Тензор напряжений|тензоров напряжений]] и [[Тензор деформаций|деформаций]], независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:
: <math>\sigma_{ij} = \sum_{kl} C_{ijkl} \cdot \varepsilon_{kl},</math>
где <math>\sigma_{ij}</math> — [[тензор напряжений]], <math>\varepsilon_{kl},</math> — [[тензор деформаций]]. Для изотропного материала тензор <math>C_{ijkl}</math> содержит только два независимых коэффициента.

Благодаря симметрии тензоров напряжения и деформации, закон Гука может быть представлен в [[Нотация Фойгта|матричной форме]].

Для линейно упругого изотропного тела:

: <math>\varepsilon_x=\frac{\sigma_x}{E}-\frac{\mu}{E}\sigma_y-\frac{\mu}{E}\sigma_z</math>

: <math>\varepsilon_y=\frac{\sigma_y}{E}-\frac{\mu}{E}\sigma_x-\frac{\mu}{E}\sigma_z</math>

: <math>\varepsilon_z=\frac{\sigma_z}{E}-\frac{\mu}{E}\sigma_x-\frac{\mu}{E}\sigma_y</math>

: <math>\gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{G}</math>

: <math>\gamma_{yz}=\frac{\tau_{yz}}{G}</math>

: <math>\gamma_{xz}=\frac{\tau_{xz}}{G}</math>

где:

* <math>E</math> — [[модуль Юнга]];
* <math>\mu</math> — [[коэффициент Пуассона]];
* <math>G=\frac{E}{2(1+\mu)}</math> — [[модуль сдвига]].

== См. также ==
* [[Модуль Юнга]]

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Физические законы|Гука]]
[[Категория:Физика твёрдого тела]]
[[Категория:Теория упругости]]
[[Категория:Именные законы и правила|Гука]]