Просмотр кода страницы Геометрическая прогрессия

{{Значения|Прогрессия}}
'''Геометри́ческая прогре́ссия''' — последовательность чисел <math>b_1</math>, <math>b_2</math>, <math>b_3</math>, <math>\ldots</math> ('''члены''' прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на фиксированное число <math>q</math> ('''знаменатель''' прогрессии). При этом <math>b_1 \neq 0, q \neq 0; b_n = b_{n-1} q, n \in \mathbb N, n \geqslant 2</math><ref>[http://mathematics.ru/courses/function/content/chapter1/section1/paragraph4/theory.html Геометрическая прогрессия] {{Wayback|url=http://mathematics.ru/courses/function/content/chapter1/section1/paragraph4/theory.html |date=20111012204249 }} на mathematics.ru</ref>.

Геометрическая прогрессия называется ''бесконечно убывающей''<ref>Это название, хотя и является общепринятым, неудачно, так как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия является <u>убывающей</u>, только если и '''первый член, и знаменатель прогрессии положительны'''.</ref>, если знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.



Произведением первых <math>n</math> членов геометрической прогрессии <math>\left\{b_n\right\}</math> называется произведение от <math>b_1</math> до <math>b_n</math>, то есть выражение вида <math>\prod\limits_{i = 1}^n  b_i = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot \ldots \cdot b_{n-2} \cdot b_{n-1} \cdot b_n.</math>
Обозначение: <math>P_n</math>.

== Описание ==
Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле
: <math>b_n = b_1 q^{n-1}.</math>
Если <math>b_1 > 0</math> и <math>q > 1</math>, прогрессия является ''возрастающей'' [[последовательность]]ю, если <math>0 < q < 1</math>, — ''убывающей'' последовательностью, а при <math>q < 0</math> — ''знакочередующейся''<ref>{{Из БСЭ|издание=3-е|заглавие=Геометрическая прогрессия}}</ref>, при <math>q=1</math> — ''стационарной'' (постоянной).

Своё название прогрессия получила по своему '''характеристическому свойству''':
: <math> |b_{n}| = \sqrt{ b_{n-1} b_{n+1} },</math>
то есть [[Абсолютная величина|модуль]] любого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен [[Среднее геометрическое|среднему геометрическому (среднему пропорциональному)]] двух рядом с ним стоящих членов<ref>Если геометрическая прогрессия является конечной последовательностью, то её последний член таким свойством <u>не обладает</u>.</ref>.

== Примеры ==
[[Файл:Square (shape) in square.svg|thumb|120px|Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов]]

* Последовательность площадей [[квадрат]]ов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата<ref>{{книга |автор=Роу С. |заглавие=Геометрические упражнения с куском бумаги |издательство=Mathesis |город=Одесса |издание=2-е изд |год=1923 |ссылка=http://www.mathesis.ru/book/row/ }} {{Wayback|url=http://www.mathesis.ru/book/row/ |date=20170519105311 }}</ref>{{rp|8—9}}.
* Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в [[Задача о зёрнах на шахматной доске|задаче о зёрнах на шахматной доске]].
* {{nums|2|4|8|16|32|64|128|256|512|1024|2048|4096|8192|link=nrl}} — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
* 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
* 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
* <math>\pi</math>, <math>\pi</math>, <math>\pi</math>, <math>\pi</math> — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная [[арифметическая прогрессия]] с разностью 0).
* 3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
* 1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.

== Свойства ==
=== Свойства знаменателя геометрической прогрессии ===
Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формулам:
*:: <math> q = \dfrac{ b_{n+1} }{ b_n }</math>
{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство
| Фон_заголовка = #F0F0F0
| Рамка         = 
| Содержание    = По определению геометрической прогрессии.
}}
*:: <math> q = \sqrt[n-k]{\dfrac{ b_{n} }{ b_k }}, \text{где } k<n;\; \forall n, \forall k \in \mathbb N. </math>

=== Свойства членов геометрической прогрессии ===
* Рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии:
:: <math> b_{n} = b_{n-1} \cdot q</math>
{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство
| Фон_заголовка = #F0F0F0
| Рамка         = 
| Содержание    = По определению геометрической прогрессии.
}}
* Формула общего (<math>n</math>-го) члена:
:: <math>b_n = b_1 \cdot q^{n - 1}.</math>
* Обобщённая формула общего члена:
:: <math>b_n = b_k \cdot q^{n - k},  \text{где } k<n;\; \forall n, \forall k \in \mathbb N.</math>
* <math>b_{n}^2 = b_{n-i} b_{n+i}</math>, если <math>1 < i < n</math>.
{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство
| Фон_заголовка = #F0F0F0
| Рамка         = 
| Содержание    = <math> b_n^2 = b_n b_n = b_1 q^{n - 1} b_1 q^{n - 1} = b_1 q^{n - 1 - i} b_1 q^{n - 1 + i} = b_{n - i} b_{n + i} .</math>
}}

* [[Логарифм]]ы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют [[арифметическая прогрессия|арифметическую прогрессию]].
{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство
| Фон_заголовка = #F0F0F0
| Рамка         = 
| Содержание    = <math>\log(b_n) = \log(b_1 q^{n-1}) = \log(b_1) + (n - 1) \cdot \log(q)</math>
Формула общего члена арифметической прогрессии:
<math>a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d</math>.<br>
В нашем случае<br>
<math>a_1 = \log( b_1 )</math>,<br>
<math>d = \log( q )</math>.
}}
* <math>b_{n}^2 = b_{n-i} b_{n+i}</math>, если <math>1 < i < n</math>.
{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство
| Фон_заголовка = #F0F0F0
| Рамка         = 
| Содержание    = <math> b_n^2 = b_n b_n = b_1 q^{n - 1} b_1 q^{n - 1} = b_1 q^{n - 1 - i} b_1 q^{n - 1 + i} = b_{n - i} b_{n + i} .</math>
}}{{Теорема|Пусть <math>a_{k}, a_{l}, a_{m}</math> — соответственно <math>k</math>-й, <math>l</math>-й, <math>m</math>-й члены геометрической прогрессии, где <math>k, \,l, \,m \in \mathbb N</math>. Тогда для всякой такой тройки выполняется <u>комплементарное свойство</u> геометрической прогрессии, называемое '''''тождеством геометрической прогрессии''''': <center><math>b_k^{l-m} \cdot b_l^{m-k} \cdot b_m^{k-l}  = 1.</math></center>}}
* Произведение первых <math>n</math> членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле
*: <math>P_{n} = \left( b_1 \cdot b_n \right)^\frac{n}{2} .</math>
{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство
| Фон_заголовка = #F0F0F0
| Рамка         = 
| Содержание    = <math> P_n = \prod_{i=1}^n b_i = \prod_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = b_1^n \prod_{i=1}^n q^{i-1} = b_1^{ \frac{n}{2} } b_1^{ \frac{n}{2} } \prod_{i=1}^n q^{i-1}.</math>
Раскроем произведение <math>\prod_{i=1}^n q^{i-1}</math>:
<math>\prod_{i=1}^n q^{i-1} = q^0 \cdot q^1 \cdot q^2 \cdot \ldots \cdot q^{i-1} = q^{ 0 + 1 + 2 + \ldots + (i-1) } . </math>
Выражение <math>0 + 1 + 2 + \ldots + (n-1)</math> представляет собой [[Арифметическая прогрессия|арифметическую прогрессию]] с <math>a_1 = 0</math> и шагом 1. Сумма первых n членов прогрессии равна <math>S_n = n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2} = n \cdot \frac{0 + (n-1)}{2}.</math>
Откуда
<math>P_n = b_1^{ \frac{n}{2} } b_1^{ \frac{n}{2} } \prod_{i=1}^n q^{i-1} = b_1^{ \frac{n}{2} } b_1^{ \frac{n}{2} } q^{ \frac{ n(0 + (n - 1)) }{2} } = \left( b_1 b_1 q^{n-1} \right)^{ \frac{n}{2} } = \left( b_1 b_n \right)^{ \frac{n}{2} } .</math>
}}
* Произведение членов геометрической прогрессии начиная с ''k''-го члена, и заканчивая ''n''-м членом, можно рассчитать по формуле
*: <math>P_{k,n} = \dfrac{ P_{n} }{ P_{k-1} } .</math>
{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство
| Фон_заголовка = #F0F0F0
| Рамка         = 
| Содержание    = <math> P_{k,n} = \prod_{i=k}^n b_i = \frac{ \prod_{i=1}^n b_i }{ \prod_{j=1}^{k-1} b_j } = \frac{P_n}{ P_{k-1} } .</math>
}}
* Сумма <math>n</math> первых членов геометрической прогрессии
*: <math>S_n = \begin{cases}
  \sum\limits_{i=1}^n  b_i = \dfrac{ b_1 - b_1 q^{n} }{1-q}=\frac{ b_1 \left( 1 - q^{n} \right) }{ 1-q }, & \mbox{if } q \ne 1 \\
  \\
  n b_1, & \mbox{if } q = 1
\end{cases}</math>
{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство
| Фон_заголовка = #F0F0F0
| Рамка         = 
| Содержание    = 
* Доказательство через сумму:
*: <math>S_n = \sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = b_1 + \sum_{i=2}^n b_1 q^{i-1} = b_1 + q \sum_{i=2}^n b_1 q^{i-2} = b_1 + q \sum_{i=1}^{n-1} b_1 q^{i-1} = b_1 + q \sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} - b_1 q^n .</math>
*: То есть <math>\sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = b_1 + q \sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} - b_1 q^n </math> или
*: <math> \left( 1 - q \right) \sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = b_1 - b_1 q^n .</math>
*: Откуда <math> \sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = \frac{ b_1 - b_1 q^n }{1 - q} = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} .</math>
* Доказательство [[Математическая индукция|индукцией]] по <math>n</math>.
*: Пусть <math> S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}.</math>
*: При <math>n = 1</math> имеем: <math> S_1  = \sum_{i=1}^1 b_i = b_1 = b_1 \frac{1 - q^1}{1 - q} .</math>
*: При <math>n \rightarrow n + 1</math> имеем: <math> S_{n+1} = \sum_{i=1}^{n+1} b_i = \sum_{i=1}^n b_i + b_{n+1} = b_1 \frac{1 - q^n}{1-q} + b_1 q^n = b_1 \left(\frac{1 - q^n}{1-q} + q^n\right) = b_1 \left( \frac{1 - q^n + q^n - q^{n+1}}{1-q} \right) = b_1 \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}.</math>
}}
* Сумма всех членов убывающей прогрессии:
:: <math> \left| q \right| < 1 </math>, то <math> b_n \to 0 </math> при <math>n \to +\infty</math>, и
:: <math>S_n \to \frac{ b_1 }{ 1-q } </math> при <math>n \to +\infty</math>.
{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство
| Фон_заголовка = #F0F0F0
| Рамка         = 
| Содержание    = <math> \lim_{ n \to \infty } S_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{ b_1 \left( 1-q^n \right) }{1-q} = \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{ b_1 }{ 1-q } - b_1 \frac{ q^n }{1-q} \right) = \frac{ b_1 }{1-q} - b_1 \lim_{ n \to \infty } \frac{ q^n }{1-q}.</math> Если <math> \left| q \right| < 1 , </math> то <math> q^n \to 0 </math> при <math> n \to \infty . </math> Поэтому <math> \lim_{ n \to \infty } \frac{ q^n }{1-q} = 0 .</math> Следовательно <math> \lim_{ n \to \infty } S_n = \frac{ b_1 }{ 1-q } . </math>
}}
=== Свойства суммы геометрической прогрессии ===

* <math>b_{n+1} = S_{n+1} - S_n </math>
* <math>S_n = \sigma_n \cdot b_1b_n </math>

где <math>\sigma_n </math> — сумма обратных величин, т. е. <math>\sigma_n = \dfrac{1}{b_1}+ \dfrac{1}{b_2}+ \cdots + \dfrac{1}{b_{n-1}}+ \dfrac{1}{b_{n}} </math>.

=== Свойства произведения геометрической прогрессии ===

* <math>P_{n}={b}_{1}^{n}\cdot{q}^{\frac{n\left(n-1\right)}{2}}</math>
* <math>P_{n}={\left(\dfrac{S_n}{\sigma_n}\right)}^{\frac{n}{2}}</math>, где <math>\sigma_n </math> — сумма обратных величин, т. е. <math>\sigma_n = \dfrac{1}{b_1}+ \dfrac{1}{b_2}+ \cdots + \dfrac{1}{b_{n-1}}+ \dfrac{1}{b_{n}} </math>.
* <math>b_n = \dfrac{P_{n+1}}{P_n} </math>
* <math>P_{2n}=P_{n}\cdot \sqrt[3]{P_{3n}}</math>
* <math>\sqrt[k]{P_{k}^{l-m}} \cdot \sqrt[l]{P_{l}^{m-k}} \cdot \sqrt[m]{P_{m}^{k-l}} = 1</math>

== См. также ==
* [[Арифметическая прогрессия]]
* [[Арифметико-геометрическая прогрессия]]
* [[Числа Фибоначчи]]
* [[Показательная функция]]
* [[Сумма ряда]]

== Примечания ==
{{примечания}}

{{ВС}}

[[Категория:Арифметика]]
[[Категория:Ряды и последовательности]]
[[Категория:Геометрическая прогрессия]]