Просмотр кода страницы Квантовая механика

{{Квантовая механика}}
[[Файл:Hydrogen_Density_Plots.png|мини| [[Волновая функция|Волновые функции]] [[электрон]]а в атоме водорода на разных энергетических уровнях. Квантовая механика не может предсказать точное местоположение частицы в пространстве, а только вероятность её обнаружения в разных малых окрестностях точки пространства<ref name="Born1926">{{Cite journal|author=Born|first=M.|title=Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge|journal=Zeitschrift für Physik|volume=37|pages=863–867|year=1926|doi=10.1007/BF01397477|bibcode=1926ZPhy...37..863B|issue=12}}</ref>. Более яркие области представляют более высокую вероятность обнаружения электрона]]
'''Ква́нтовая (волнова́я) меха́ника''' — фундаментальная физическая [[Научная теория|теория]], которая описывает [[Природа|природу]] в масштабе [[атом]]ов и [[Субатомная частица|субатомных частиц]]. Она лежит в основании всей [[Квантовая физика|квантовой физики]], включая [[Квантовая химия|квантовую химию]], [[Квантовая теория поля|квантовую теорию поля]], [[Квантовая технология|квантовую технологию]] и [[Квантовая информатика|квантовую информатику]]{{переход|#Обзор и основные понятия}}.

[[Классическая физика]], совокупность теорий, существовавших до появления квантовой механики, описывает многие аспекты природы в обычном масштабе, но недостаточна для их количественного описания в малых (атомных и [[Субатомная частица|субатомных]]) масштабах. Большинство теорий классической физики можно вывести из квантовой механики как приближения, справедливые в больших (макроскопических) масштабах<ref>{{Cite journal|author=Jaeger|first=Gregg|title=What in the (quantum) world is macroscopic?|journal=American Journal of Physics|date=September 2014|volume=82|issue=9|pages=896–905|doi=10.1119/1.4878358|bibcode=2014AmJPh..82..896J}}</ref>{{переход|#Связь с другими научными теориями}}.

Квантовая механика отличается от классической физики тем, что [[энергия]], [[импульс]], [[Момент импульса|угловой момент]] и другие величины [[связанное энергетическое состояние|связанного состояния]] системы не могут принимать произвольные значения, но ограничены [[Дискретная математика|дискретными значениями]] ([[Квантование (физика)|квантование]]), объекты обладают характеристиками как [[Частица|частиц]], так и [[Волна|волн]] ([[корпускулярно-волновой дуализм]]){{переход|#Математическая формулировка}}, и существуют пределы нашей возможности точно предсказать значение физической величины до её измерения при заданном полном наборе начальных условий ([[принцип неопределённости]]){{переход|#Принцип неопределённости}}.

Квантовая механика [[История возникновения квантовой физики|постепенно возникла]] из теорий, объясняющих наблюдения, которые не могли быть согласованы с понятиями классической физики, таких как решение [[Планк, Макс|Макса Планка]] в 1900 году проблемы {{iw|излучение абсолютно чёрного тела|излучения абсолютно чёрного тела|en|Black-body radiation}} и соответствие между энергией и частотой кванта света в [[Эйнштейн, Альберт|статье Альберта Эйнштейна]] {{iw|Статьи Annus mirabilis|1905 года|en|Annus mirabilis papers}}, которая объяснила [[фотоэффект]]. Эти ранние попытки понять микроскопические явления, теперь известные как «[[старая квантовая теория]]», привели к стремительному развитию квантовой механики в середине 1920-х годов в работах [[Бор, Нильс|Нильса Бора]], [[Шрёдингер, Эрвин|Эрвина Шрёдингера]], [[Гейзенберг, Вернер|Вернера Гейзенберга]], [[Борн, Макс|Макса Борна]] и других{{переход|#История}}. Современная теория формулируется с использованием различных [[Математические основы квантовой механики|специально разработанных математических формализмов]]{{переход|#Математическая формулировка}}. В одном из них математическая сущность, называемая [[Волновая функция|волновой функцией]], предоставляет информацию в виде [[Статистическая интерпретация волновой функции|амплитуд вероятности]] о том, к чему приводят измерения энергии, импульса и других физических свойств частицы{{переход|#Примеры}}.
== Обзор и основные понятия ==
Квантовая механика позволяет рассчитывать свойства и поведение физических систем. Обычно её применяют к микроскопическим системам: молекулам, атомам и субатомным частицам<ref name="Feynman">{{Cite book|last1=Feynman|first1=Richard|last2=Leighton|first2=Robert|last3=Sands|first3=Matthew|title=The Feynman Lectures on Physics|volume=3|publisher=California Institute of Technology|date=1964|url=https://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_01.html|isbn=978-0201500646|access-date=19 December 2020}}</ref>{{Rp|1.1}}. Также было показано, что квантовая механика верно описывает поведение сложных молекул с тысячами атомов<ref>{{Cite journal|title=Quantum superposition of molecules beyond 25 kDa|author=Yaakov Y. Fein|journal=Nature Physics|volume=15|pages=1242–1245|date=September 2019|issue=12|doi=10.1038/s41567-019-0663-9|bibcode=2019NatPh..15.1242F}}</ref>, хотя при попытке применить её к людям возникают философские вопросы и парадоксы, такие как [[друг Вигнера]], и её применение ко Вселенной в целом также остаётся спекулятивным<ref>{{Cite journal|author=Bojowald|first=Martin|title=Quantum cosmology: a review|journal=Reports on Progress in Physics|date=2015|volume=78|issue=2|doi=10.1088/0034-4885/78/2/023901|pmid=25582917|arxiv=1501.04899|bibcode=2015RPPh...78b3901B}}</ref>. Предсказания квантовой механики были подтверждены экспериментально с чрезвычайно высокой степенью [[Точность|точности]]{{Refn|Смотрите, например, [[Эксперименты по проверке точности КЭД|Эксперименты по проверке точности КЭД]]. Было показано, что дальнейшее развитие квантовой механики с учётом теории относительности, известное как [[квантовая электродинамика]] (КЭД), согласуется с экспериментом с точностью до 1 части на 10<sup>8</sup> для некоторых атомных свойств<ref>{{статья |автор = B. Odom, D. Hanneke, B. D'Urso, and G. Gabrielse|заглавие = New Measurement of the Electron Magnetic Moment Using a One-Electron Quantum Cyclotron|оригинал = |ссылка = |издание = Phys. Rev. Lett.|год = 2006|том = 97|страницы = 030801 |doi = 10.1103/PhysRevLett.97.030801|pmid = |bibcode = |arxiv = |ref = }}</ref><ref>{{статья |автор = D. Hanneke, S. Fogwell, and G. Gabrielse|заглавие = New Measurement of the Electron Magnetic Moment and the Fine Structure Constant|оригинал = |ссылка = |издание = Phys. Rev. Lett.|год = 2008|том = 100|страницы = 120801  |doi = 10.1103/PhysRevLett.100.120801|pmid = |bibcode = |arxiv = 0801.1134|ref = }}</ref>|group=К}}{{sfn|Иванов|2012|с=9}}.

Фундаментальной особенностью квантовой теории является то, что она обычно не может с определённостью предсказать значения физических величин (динамических переменных), а только даёт вероятности их измерения{{sfn|Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ|2000|с=113}}. Математически вероятность находится путём возведения в квадрат абсолютного значения [[Комплексное число|комплексного числа]], известного как амплитуда вероятности{{sfn|Auletta|2000|p=28}}<ref>{{cite web|author = Мартинсон, Л. К.; Смирнов, Е. В.|url = http://fn.bmstu.ru/data-physics/library/physbook/tom5/ch3/texthtml/ch3_1.htm|title = 3.1. Волновая функция|lang = ru|website = |publisher = МГТУ им. Н. Э. Баумана|year = 2002|accessdate = 2022-02-23|archive-date = 2021-01-22|archive-url = https://web.archive.org/web/20210122012242/http://fn.bmstu.ru/data-physics/library/physbook/tom5/ch3/texthtml/ch3_1.htm|deadlink = no}}</ref>. Это утверждение известно как [[правило Борна]], названное в честь физика [[Борн, Макс|Макса Борна]]<ref name=Zeitschrift>{{cite book 
|last=Born
|first=Max
|editor1-last=Wheeler 
|editor1-first=J. A.
|editor1-link=John Archibald Wheeler
|editor2-last=Zurek
|editor2-first=W. H.
|editor2-link=Wojciech H. Zurek
|title=Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge
|journal=Zeitschrift für Physik
|volume=37
|trans-title=On the quantum mechanics of collisions
|date=1926
|publisher=Princeton University Press
|publication-date=1983
|doi=10.1007/BF01397477
|isbn=978-0-691-08316-2
|pages=863–867
|bibcode = 1926ZPhy...37..863B
}}</ref>{{sfn|Иванов|2012|с=32}}. Например, квантовая частица, такая как [[электрон]], описывается [[Волновая функция|волновой функцией]], которая задаёт для каждой точки пространства амплитуду вероятности. Применение правила Борна к этим амплитудам определяет [[Плотность вероятности|функцию плотности вероятности]] для координаты частицы, когда будет проведён эксперимент по её измерению. Это лучшее, что может дать теория; нельзя точно сказать, где будет найден электрон. [[Уравнение Шрёдингера]] описывает эволюцию системы во времени, то есть связывает набор амплитуд вероятности, относящихся к одному моменту времени, с набором амплитуд вероятностей, относящихся к другому моменту времени<ref>{{cite web|author = Мартинсон, Л. К.; Смирнов, Е. В.|url = http://fn.bmstu.ru/data-physics/library/physbook/tom5/ch3/texthtml/ch3_2.htm|title = 3.2. Уравнение Шредингера|lang = ru|website = |publisher = МГТУ им. Н. Э. Баумана|year = 2002|accessdate = 2022-02-23|archive-date = 2020-08-13|archive-url = https://web.archive.org/web/20200813072017/http://fn.bmstu.ru/data-physics/library/physbook/tom5/ch3/texthtml/ch3_2.htm|deadlink = no}}</ref>{{sfn|Иванов|2012|с=32}}.

Одним из следствий математических правил квантовой механики является компромисс при попытке определить различные измеримые величины. Самая известная форма такого компромисса — [[Принцип неопределённости|принципа неопределённости]] гласит, что как бы ни было приготовлено состояние квантовой частицы, или как бы тщательно ни были поставлены над этой частицей опыты, при измерении невозможно точное предсказание значений её положения и [[импульс]]а в один момент времени<ref>{{cite web|author = Мартинсон, Л. К.; Смирнов, Е. В.|url = http://fn.bmstu.ru/data-physics/library/physbook/tom5/ch2/texthtml/ch2_3.htm|title = 2.3. Соотношения неопределенностей|lang = ru|website = |publisher = МГТУ им. Н. Э. Баумана|year = 2002|accessdate = 2022-02-23|archive-date = 2020-08-07|archive-url = https://web.archive.org/web/20200807202709/http://fn.bmstu.ru/data-physics/library/physbook/tom5/ch2/texthtml/ch2_3.htm|deadlink = no}}</ref>.

Ещё одним следствием математических правил квантовой механики является [[Интерференция волн|квантовая интерференция]], в качестве примера которой рассматривается [[Двухщелевой опыт|опыт с двумя щелями]]. В базовом варианте этого эксперимента [[Когерентность (физика)|когерентный источник света]], например [[лазер]], освещает непрозрачную пластину, с прорезанными двумя параллельными щелями, и свет, проходящий через щели, наблюдается на экране позади пластины<ref name="Lederman">{{Cite book|last1=Lederman|first1=Leon M.|url=https://books.google.com/books?id=qY_yOwHg_WYC&pg=PA102|title=Quantum Physics for Poets|first2=Christopher T.|last2=Hill|publisher=Prometheus Books|year=2011|isbn=978-1616142810|location=US}} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=qY_yOwHg_WYC&pg=PA102 |date=20220103194413 }}</ref>{{Rp|102–111}}<ref name="Feynman" />{{Rp|1.1–1.8}}. Волновая природа света означает, что световые волны проходят через две щели, [[Интерференция волн|интерферируя]] и создавая на экране яркие и тёмные полосы — результат, которого нельзя было бы ожидать, если бы свет состоял из классических частиц<ref name="Lederman" />. Однако опыт всегда показывает, что свет поглощается экраном в отдельных точках в виде отдельных частиц, а не волн; интерференционная картина проявляется из-за различной плотности засветки фотографической пластины при попадании этих частиц на экран. Кроме того, в других вариациях опыта, включающих детекторы в щелях, обнаруживают, что каждый наблюдаемый [[фотон]] проходит через одну щель (как классическая частица), а не через обе щели (как волна)<ref name="Lederman" />{{Rp|109}}<ref name="Müller-Kirsten">{{Cite book|last1=Müller-Kirsten|first1=H. J. W.|url=https://books.google.com/books?id=p1_Z81Le58MC&pg=PA14|title=Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral|publisher=World Scientific|year=2006|isbn=978-981-2566911|location=US}} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=p1_Z81Le58MC&pg=PA14 |date=20220219103646 }}</ref><ref name="Plotnitsky">{{Cite book|last1=Plotnitsky|first1=Arkady|url=https://books.google.com/books?id=dmdUp97S4AYC&pg=PA75|title=Niels Bohr and Complementarity: An Introduction|publisher=Springer|year=2012|isbn=978-1461445173|location=US}} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=dmdUp97S4AYC&pg=PA75 |date=20220118145104 }}</ref>. Из [[Двухщелевой опыт|таких экспериментов]] следует вывод, что частицы не образуют интерференционную картину, если определить, через какую щель они проходят. Было обнаружено, что другие объекты атомного масштаба, такие как [[электрон]]ы, демонстрируют такое же поведение, когда падают на экран с двумя щелями<ref name="Feynman" />. Такое поведение микрообъектов известно как [[корпускулярно-волновой дуализм]] — он «лежит в сердце» квантовой механики{{sfn|Auletta|2000|p=25}}.
[[Файл:EffetTunnel.gif|thumb|300 px|[[Квантовое туннелирование|Туннельный эффект]] — квантовая механика показывает, что электроны могут преодолеть потенциальный барьер, что подтверждается результатами экспериментов. <br>Классическая механика, наоборот, предсказывает, что это невозможно]]
Ещё одно противоречащее повседневному опыту явление, предсказанное квантовой механикой — [[квантовое туннелирование]], когда частица, столкнувшись с [[Туннелирование через прямоугольный барьер|потенциальным барьером]], может преодолеть его, даже если её кинетическая энергия меньше максимума потенциала<ref>{{cite book |first=David J. |last=Griffiths  |title=Introduction to Quantum Mechanics |title-link=Introduction to Quantum Mechanics (book) |date=1995 |publisher=Prentice Hall |isbn=0-13-124405-1}}</ref>. В классической механике эта частица отражается всегда от барьера. Квантовое туннелирование имеет несколько важных наблюдаемых последствий, включающих [[радиоактивный распад]], [[Термоядерная реакция|ядерный синтез]] в звёздах и такие приложения, как [[Сканирующий туннельный микроскоп|сканирующая туннельная микроскопия]] и создание [[туннельный диод|туннельных диодов]]<ref name="Trixler2013">{{Cite journal|author=Trixler|first=F.|title=Quantum tunnelling to the origin and evolution of life|journal=Current Organic Chemistry|date=2013|volume=17|pages=1758–1770|doi=10.2174/13852728113179990083|pmid=24039543}}</ref>.

Когда квантовые системы взаимодействуют, результатом может быть создание [[Квантовая запутанность|квантовой запутанности]]: их свойства становятся настолько переплетёнными, что описание целого исключительно в терминах отдельных частей больше невозможно. Шрёдингер назвал запутывание<ref>{{Cite book|first=Jeffrey|last=Bub |chapter=Quantum entanglement|title=Stanford Encyclopedia of Philosophy|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|year=2019}}</ref>
{{Начало цитаты}}
«… характерная черта квантовой механики — полный отход от классических путей понимания»
{{оригинальный текст|en|„… the characteristic trait of quantum mechanics, the one that enforces its entire departure from classical lines of thought“}}
{{Конец цитаты}}
Квантовая запутанность реализует нелогичные свойства {{iw|Квантовая псевдотелепатия|квантовой псевдотелепатии|en|Quantum pseudo-telepathy}} и может оказаться ценным методом в протоколах связи, таких как [[квантовое распределение ключей]] и [[Квантовое сверхплотное кодирование|сверхплотное кодирование]]<ref name="Caves">{{Cite book|first=Carlton M.|last=Caves |chapter=Quantum Information Science: Emerging No More|title=OSA Century of Optics|publisher=[[The Optical Society]]|year=2015|isbn=978-1-943580-04-0|editor-last=Jeff}}</ref>. Вопреки распространённому заблуждению, запутанность не позволяет посылать сигналы [[Сверхсветовое движение|быстрее скорости света]], что демонстрирует {{iw|теорема об отсутствии связи||en|No-communication theorem}}<ref name="Caves" />.

Другая возможность, открываемая запутанностью, — это проверка «[[Теория скрытых параметров|скрытых переменных]]», гипотетических свойств, более фундаментальных, чем величины, рассматриваемые в самой квантовой теории, знание которых позволило бы делать более точные предсказания, чем может дать квантовая теория. Множество полученных результатов, в первую очередь [[Неравенства Белла|теорема Белла]], продемонстрировало, что широкие классы таких теорий со скрытыми переменными на самом деле несовместимы с квантовой физикой. Согласно [[Неравенства Белла|теореме Белла]], если природа действительно описывается какой-либо теорией ''локальных'' скрытых переменных, то результаты [[Проверка неравенств Белла|проверки неравенств Белла]] будут ограничены определённым образом, поддающимся количественной оценке. Было проведено множество тестов Белла с использованием запутанных частиц, и они показали результаты, несовместимые с ограничениями, налагаемыми теориями с локальными скрытыми переменными<ref name="wiseman15">{{Cite journal|last=Wiseman|first=Howard|date=October 2015|title=Death by experiment for local realism|journal=[[Nature (journal)|Nature]]|language=en|volume=526|issue=7575|pages=649–650|doi=10.1038/nature15631|pmid=26503054|issn=0028-0836}}</ref><ref name="wolchover17">{{Cite web|lang=en-US|url=https://www.quantamagazine.org/20170207-bell-test-quantum-loophole/|title=Experiment Reaffirms Quantum Weirdness|last=Wolchover|first=Natalie|website=[[Quanta Magazine]]|date=7 February 2017|access-date=8 February 2020|archive-date=2017-05-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20170522175741/https://www.quantamagazine.org/20170207-bell-test-quantum-loophole/|deadlink=no}}</ref>.

Невозможно представить эти понятия более чем поверхностно, не вводя при этом фактическую математику; понимание квантовой механики требует не только манипулирования комплексными числами, но и [[Линейная алгебра|линейной алгебры]], [[Дифференциальное уравнение|дифференциальных уравнений]], [[Теория групп|теории групп]] и других более сложных областей математики. Физик [[Баэз, Джон К.|Джон К. Баэз]] предупреждает<ref>{{cite web|url=https://math.ucr.edu/home/baez/books.html|title=How to Learn Math and Physics|first=John C.|last=Baez|website=University of California, Riverside|date=20 March 2020|access-date=19 December 2020|archive-date=2022-01-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20220127173448/https://math.ucr.edu/home/baez/books.html|deadlink=no}}</ref>:
{{Начало цитаты}}
«… нельзя понять интерпретацию квантовой механики, не умея решать задачи квантовой механики — чтобы понять эту теорию, нужно уметь использовать её (и наоборот).»
{{оригинальный текст|en|„… there’s no way to understand the interpretation of quantum mechanics without also being able to ''solve quantum mechanics problems'' — to understand the theory, you need to be able to use it (and vice versa)“.}}
{{Конец цитаты}}
[[Карл Саган]] обрисовал в общих чертах «математическое обоснование» квантовой механики и написал<ref>{{cite book|first=Carl|last=Sagan |title=The Demon-Haunted World: Science as a Candle in the Dark|page=[https://archive.org/details/demonhauntedworl00saga/page/249 249]|publisher=Ballantine Books|year=1996|isbn=0-345-40946-9|title-link=The Demon-Haunted World}}</ref>:
{{Начало цитаты}}
«Для большинства студентов-физиков это может занять у них период, скажем, от третьего класса до начала аспирантуры — примерно 15 лет. (…) Объём работы популяризатора науки, чтобы попытаться донести какое-то представление о квантовой механике до широкой аудитории, не прошедшей через этот обряд инициации, пугает. Действительно, на мой взгляд, нет успешного популярного изложения квантовой механики — отчасти по этой причине.»
{{оригинальный текст|en|„For most physics students, this might occupy them from, say, third grade to early graduate school{{snd}}roughly 15 years. […] The job of the popularizer of science, trying to get across some idea of quantum mechanics to a general audience that has not gone through these initiation rites, is daunting. Indeed, there are no successful popularizations of quantum mechanics in my opinion{{snd}}partly for this reason.“}}
{{Конец цитаты}}
Соответственно, в этой статье будет представлена математическая формулировка квантовой механики и рассмотрено её применение на некоторых полезных и часто изучаемых примерах.

== История ==
{{main|История возникновения квантовой физики|Атомная теория}}
[[Файл:Max_Planck_(1858-1947).jpg|мини| [[Планк, Макс|Макс Планк]] считается отцом квантовой теории.]]
[[Файл:Solvay_conference_1927.jpg |мини| [[Сольвеевские конгрессы|Сольвеевская конференция]] 1927 года в [[Брюссельский столичный регион|Брюсселе]] стала пятой всемирной конференцией по физике.]]
Квантовая механика была разработана в первые десятилетия 20-го века из-за необходимости объяснить явления, которые не нашли объяснения в рамках классического подхода{{sfn|Джеммер|1985|с=13}}. Научные исследования волновой природы света начались в XVII и XVIII веках, когда такие учёные, как [[Гук, Роберт|Роберт Гук]], [[Гюйгенс, Христиан|Христиан Гюйгенс]] и [[Эйлер, Леонард|Леонард Эйлер]], предложили волновую теорию света, основанную на экспериментальных наблюдениях<ref name="Born & Wolf">{{cite book|first1=Max |last1=Born |author-link1=Борн, Макс |first2=Emil |last2=Wolf |author-link2=Вольф, Эмиль |title=Principles of Optics |title-link=Principles of Optics |year=1999 |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-64222-1 |oclc=1151058062}}</ref>. В 1803 году английский [[Универсальный человек|эрудит]] [[Юнг, Томас|Томас Янг]] описал знаменитый [[Опыт Юнга|эксперимент с двумя щелями]]. Этот эксперимент сыграл важную роль в общем признании [[Волновая оптика|волновой теории света]]<ref>{{Cite journal|author=Scheider|first=Walter|date=April 1986|title=Bringing one of the great moments of science to the classroom|url=http://www.cavendishscience.org/phys/tyoung/tyoung.htm|journal=[[The Physics Teacher]]|language=en|volume=24|issue=4|pages=217–219|doi=10.1119/1.2341987|bibcode=1986PhTea..24..217S|issn=0031-921X|access-date=2022-01-26|archive-date=2018-10-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20181018052344/http://www.cavendishscience.org/phys/tyoung/tyoung.htm|deadlink=no}}</ref>.

В начале 19 века [[Химия|химические]] исследования [[Дальтон, Джон|Джона Дальтона]] и [[Авогадро, Амедео|Амедео Авогадро]] придали вес [[Атомная теория|атомной теории]] материи, идее, на которой [[Максвелл, Джеймс Клерк|Джеймс Клерк Максвелл]], [[Больцман, Людвиг|Людвиг Больцман]] и другие построили [[Молекулярно-кинетическая теория|кинетическую теорию газов]]. Успехи кинетической теории ещё больше укрепили веру в идею о том, что материя состоит из атомов, однако у этой теории также были недостатки, которые можно было устранить только с развитием квантовой механики<ref name="Feynman-kinetic-theory">{{Cite book|last=Feynman|first=Richard|title=The Feynman Lectures on Physics|publisher=California Institute of Technology|isbn=978-0201500646|access-date=30 September 2021}}</ref>. В то время как ранняя концепция атомов из греческой философии состояла в том, что они были неделимыми единицами{{Spaced ndash}}слово «атом» происходит от греческого «неразрезаемый» — в XIX веке были сформулированы гипотезы о субатомной структуре. Одним из важных открытий в этом отношении было [[Фарадей, Майкл|наблюдение Майклом Фарадеем]] в 1838 году свечения, вызванного электрическим разрядом внутри стеклянной трубки, содержащей газ при низком давлении. [[Плюккер, Юлиус|Юлиус Плюккер]], [[Гитторф, Иоганн Вильгельм|Иоганн Вильгельм Гитторф]] и [[Гольдштейн, Ойген|Ойген Гольдштейн]] продолжили и усовершенствовали работу Фарадея, что привело к идентификации [[Катодные лучи|катодных лучей]], которые, как [[Томсон, Джозеф Джон|обнаружил Дж. Дж. Томсон]], состоят из субатомных частиц, названных впоследствии электронами<ref>{{Citation|first=Andre|last=Martin|contribution=Cathode Ray Tubes for Industrial and Military Applications|editor-last=Hawkes|editor-first=Peter|title=Advances in Electronics and Electron Physics, Volume 67|publisher=Academic Press|year=1986|isbn=978-0080577333|page=183}}</ref><ref>{{Cite book|last=Dahl|first=Per F.|title=Flash of the Cathode Rays: A History of J J Thomson's Electron|url=https://archive.org/details/flashofcathodera0000dahl|year=1997|publisher=CRC Press|isbn=978-0-7503-0453-5|language=en}}</ref>.

[[излучение абсолютно чёрного тела|Проблема излучения чёрного тела]] была открыта [[Кирхгоф, Густав|Густавом Кирхгофом]] в 1859 году{{sfn|Джеммер|1985|с=14}}. В 1900 году [[Планк, Макс|Макс Планк]] выдвинул гипотезу о том, что энергия излучается и поглощается дискретными «квантами» (или энергетическими пакетами). Это позволило объяснить наблюдаемый спектр излучения абсолютно чёрного тела<ref>{{Cite book|first=J.|last=Mehra|title=The Historical Development of Quantum Theory, Vol. 1: The Quantum Theory of Planck, Einstein, Bohr and Sommerfeld. Its Foundation and the Rise of Its Difficulties (1900–1925)|isbn=978-0387906423}}</ref>. Слово «''квант»'' происходит от [[Латинский язык|латинского]], что означает «сколько»<ref>{{Cite web|url=http://www.merriam-webster.com/dictionary/quantum|title=Quantum – Definition and More from the Free Merriam-Webster Dictionary|publisher=Merriam-webster.com|access-date=18 August 2012|archive-date=2022-01-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20220119185451/https://www.merriam-webster.com/dictionary/quantum|deadlink=no}}</ref>. Согласно Планку, количество энергии можно рассматривать как разделённое на «элементы», величина которых (''E'') будет пропорциональна их [[Частота|частоте]] (''ν''):

: <math> E = h \nu\ </math> ,

где ''h'' — [[постоянная Планка]]. Планк осторожно настаивал на том, что это лишь аспект процессов поглощения и испускания излучения, а не ''физическая реальность'' излучения<ref>{{cite book|last=Kuhn|first=T. S.|title=Black-body theory and the quantum discontinuity 1894–1912|url=https://archive.org/details/blackbodytheoryq0000kuhn|publisher=Clarendon Press|year=1978|isbn=978-0195023831|location=Oxford}}</ref>. На самом деле он не мог выбрать считать ли свою квантовую гипотезу математическим трюком для получения правильного ответа, или значительным открытием{{sfn|Джеммер|1985|с=33}}<ref name="Kragh">{{Cite web|url=https://physicsworld.com/a/max-planck-the-reluctant-revolutionary/|title=Max Planck: the reluctant revolutionary|author=Kragh, Helge|website=[[Physics World]]|date=1 December 2000|access-date=12 December 2020|archive-date=2018-11-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20181105061830/https://physicsworld.com/a/max-planck-the-reluctant-revolutionary/|deadlink=no}}</ref>. Однако в 1905 году [[Эйнштейн, Альберт|Альберт Эйнштейн]] реалистично интерпретировал квантовую гипотезу Планка и использовал её для объяснения [[Фотоэффект|фотоэлектрического эффекта]], при котором свет, падающий на определённые материалы, может выбивать электроны из материала{{sfn|Auletta|2000|p=25}}{{sfn|Джеммер|1985|с=46}}. [[Бор, Нильс|Затем Нильс Бор]] развил идеи Планка об излучении включив её в [[Боровская модель атома|модель атома водорода]], которая успешно предсказала [[Спектральная линия|спектральные линии]] водорода<ref>{{cite book|last=Stachel |first=John |year=2009 |chapter=Bohr and the Photon |title=Quantum Reality, Relativistic Causality and the Closing of the Epistemic Circle |series=The Western Ontario Series in Philosophy of Science |volume=73 |location=Dordrecht |publisher=Springer |pages=69–83 |doi=10.1007/978-1-4020-9107-0_5|isbn=978-1-4020-9106-3 }}</ref>. Эйнштейн развил эту идею, чтобы показать, что [[Электромагнитное излучение|электромагнитная волна]], такая как свет, также может быть описана как частица (позже названная [[фотон]]ом) с дискретным количеством энергии, которое зависит от его частоты{{sfn|Джеммер|1985|с=47}}<ref>{{Cite journal|author=Einstein|first=A.|year=1905|title=Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt|journal=[[Annalen der Physik]]|volume=17|issue=6|pages=132–148|bibcode=1905AnP...322..132E|doi=10.1002/andp.19053220607}}Reprinted in {{cite book|title=The Collected Papers of Albert Einstein |editor-first=John |editor-last=Stachel |editor-link=John Stachel |publisher=Princeton University Press |year=1989 |volume=2 |pages=149–166 |language=de}} See also «Einstein’s early work on the quantum hypothesis», ibid. pp. 134—148.</ref>. В своей статье «Квантовая теория излучения» ({{Lang-en|On the Quantum Theory of Radiation}}) Эйнштейн расширил взаимосвязь между энергией и материей, чтобы объяснить поглощение и испускание энергии атомами. Хотя в то время его общая теория относительности затмила эту идею, в этой статье был сформулирован механизм, лежащий в основе стимулированного излучения<ref>{{Cite journal|first=Albert|author=Einstein|authorlink=Albert Einstein|year=1917|title=Zur Quantentheorie der Strahlung|language=de|journal=[[Physikalische Zeitschrift]]|volume=18|pages=121–128|bibcode=1917PhyZ...18..121E}} Translated in {{cite book|title=The Old Quantum Theory|date=1967|pages=167–183|chapter=On the Quantum Theory of Radiation|publisher=Elsevier|doi=10.1016/b978-0-08-012102-4.50018-8|isbn=978-0080121024|last1=Einstein|first1=A.}}</ref>, который стал основным принципом работы [[лазер]]ов<ref name="Gould1959">{{cite book |last=Gould |first= R. Gordon  |year=1959 |chapter=The LASER, Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation |editor= Franken, P.A. |editor2=Sands R.H.| title = The Ann Arbor Conference on Optical Pumping, the University of Michigan, 15 June through 18 June 1959 |page=128 |oclc=02460155}}</ref>.

Эта фаза развития квантовой теории известна как [[старая квантовая теория]]. Она никогда не была полной и непротиворечивой, и была скорее набором [[Эвристика|эвристических]] поправок к [[Классическая механика|классической механике]]<ref>{{cite book|last=ter Haar|first=D.|url=https://archive.org/details/oldquantumtheory0000haar|title=The Old Quantum Theory|publisher=Pergamon Press|year=1967|isbn=978-0-08-012101-7|pages=[https://archive.org/details/oldquantumtheory0000haar/page/206 206]|url-access=registration}}</ref> . Старая теория теперь понимается как [[Квазиклассическое приближение|полуклассическое приближение]]<ref>{{Cite web|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Semi-classical_approximation|title=Semi-classical approximation|website=Encyclopedia of Mathematics|access-date=1 February 2020|archive-date=2022-01-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20220117061556/https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Semi-classical_approximation|deadlink=no}}</ref> к современной квантовой механике<ref>{{cite book|last1=Sakurai|first1=J. J.|title=Modern Quantum Mechanics|title-link=Modern Quantum Mechanics|last2=Napolitano|first2=J.|publisher=Pearson|year=2014|isbn=978-1-292-02410-3|chapter=Quantum Dynamics|oclc=929609283 }}</ref>. Заметные результаты этого периода включают, помимо работ Планка, Эйнштейна и Бора, упомянутых выше, работы Эйнштейна и [[Дебай, Петер|Петера Дебая]] по [[Удельная теплоёмкость|удельной теплоёмкости]] твёрдых тел{{sfn|Джеммер|1985|с=67—68}}, [[Теорема Бора — ван Лёвен|доказательство]] Бора и [[Ван Леувен, Хендрика Йоханна|Хендрики Йоханны ван Леувен]], что классическая физика не может объяснить [[диамагнетизм]] и расширение [[Зоммерфельд, Арнольд|Арнольдом Зоммерфельдом]] модели Бора, включающее релятивистские эффекты{{sfn|Джеммер|1985|с=100—101}}.

В середине 1920-х годов была разработана квантовая механика, ставшая стандартной формулировкой атомной физики. В 1923 году французский физик [[Де Бройль, Луи|Луи де Бройль]] выдвинул теорию волн материи, заявив, что частицы могут проявлять волновые характеристики и наоборот. Основанная на подходе де Бройля, современная квантовая механика родилась в 1925 году, когда немецкие физики [[Гейзенберг, Вернер|Вернер Гейзенберг]], [[Борн, Макс|Макс Борн]] и [[Йордан, Паскуаль|Паскуаль Йордан]]<ref name="Edwards79">David Edwards, «The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics», ''Synthese'', Volume 42, Number 1/September, 1979, pp. 1-70.</ref><ref name="Edwards81">D. Edwards, «The Mathematical Foundations of Quantum Field Theory: Fermions, Gauge Fields, and Super-symmetry, Part I: Lattice Field Theories», ''International J. of Theor. Phys.'', Vol. 20, No. 7 (1981).</ref> разработали [[Матричная квантовая механика|матричную механику]], а австрийский физик [[Шрёдингер, Эрвин|Эрвин Шрёдингер]] изобрёл [[Уравнение Шрёдингера|волновую механику]]. Борн представил вероятностную интерпретацию волновой функции Шрёдингера в июле 1926 года<ref>{{Cite journal|author=Bernstein|first=Jeremy |date=November 2005|title=Max Born and the quantum theory|journal=[[American Journal of Physics]]|language=en|volume=73|issue=11|pages=999–1008|doi=10.1119/1.2060717|bibcode=2005AmJPh..73..999B|issn=0002-9505}}</ref>. Таким образом, возникла целая область квантовой физики, что привело к её более широкому признанию на Пятой [[Сольвеевские конгрессы|Сольвеевской конференции]] в 1927 году<ref name="pais1997">{{Cite book|last=Pais|first=Abraham|title=A Tale of Two Continents: A Physicist's Life in a Turbulent World|url=https://archive.org/details/taleoftwocontine00pais|year=1997|publisher=Princeton University Press|isbn=0-691-01243-1}}</ref>.

В 1927 году [[Гайтлер, Вальтер|В. Гайтлер]] и [[Лондон, Фриц|Ф. Лондон]] рассчитали спектр [[Молекула водорода|молекулы водорода]] и объяснили возникновение химической связи в молекулах. [[Блох, Феликс|Ф. Блох]] заложил основы движения частиц в периодическом потенциале кристаллической решётки. В том же году [[Паули, Вольфганг|В. Паули]] обобщил уравнение Шрёдингера с учётом спина электрона{{sfn|Милантьев|2009|с=181}}, а в следующем году появилось релятивистское уравнение для электрона — [[уравнение Дирака]], которое предсказало существование античастиц{{sfn|Милантьев|2009|с=182}}.

Эйнштейн не признавал квантовую механику как законченную теорию, то есть теорию, которая полностью описывает природу. Поэтому в 1935 году появилась статья о парадоксе возникающем в запутанной системе, который сейчас называется [[Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена|парадоксом Эйнштейна — Подольского — Розена]]. Шрёдингер поддержал идею ЭПР и придумал [[Кот Шрёдингера|шрёдингеровского кота]]. Эти парадоксы привлекают внимание исследователей основ квантовой механики{{sfn|Милантьев|2009|с=184—185}}.

Решение уравнения Шрёдингера для атома водорода имеет аналитическую форму, но для многоэлектронного атома решение не известно, и возникают различные приближённые методы вычисления волновых функций. Например, в 1928 году [[метод самосогласованного поля]] предложил [[Хартри, Дуглас Рейнер|Д. Хартри]], а в 1930 году [[Фок, Владимир Александрович|В. А. Фок]] расширил этот подход с учётом спина электрона{{sfn|Милантьев|2009|с=201}}.

К 1930 году квантовая механика была дополнительно унифицирована и формализована [[Гильберт, Давид|Давидом Гильбертом]], [[Дирак, Поль|Полом Дираком]] и [[Нейман, Джон фон|Джоном фон Нейманом]]<ref>{{Cite journal|author=Van Hove|first=Leon|title=Von Neumann's contributions to quantum mechanics|journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]]|year=1958|volume=64|issue=3|pages=Part 2:95–99|url=https://www.ams.org/journals/bull/1958-64-03/S0002-9904-1958-10206-2/S0002-9904-1958-10206-2.pdf|doi=10.1090/s0002-9904-1958-10206-2|access-date=2022-01-26|archive-date=2022-01-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20220116143524/https://www.ams.org/journals/bull/1958-64-03/S0002-9904-1958-10206-2/S0002-9904-1958-10206-2.pdf|deadlink=no}}</ref> с большим упором на формализацию процесса [[Измерение (квантовая механика)|измерения]], статистическую природу нашего знания о реальности и [[Интерпретация квантовой механики|философские рассуждения о «наблюдателе»]]. С тех пор она проникла во многие дисциплины, включая квантовую химию, [[Квантовая оптика|квантовую электронику]], [[Квантовая оптика|квантовую оптику]] и [[Квантовая информатика|квантовую информатику]]. Она также объясняет особенности современной [[Периодическая система химических элементов|периодической таблицы элементов]] и описывает поведение [[атом]]ов во время образования [[Химическая связь|химической связи]] и ток [[электрон]]ов в [[полупроводник]]ах, и поэтому играет решающую роль во многих современных технологиях. Хотя квантовая механика была создана для описания мира очень на очень маленьких масштабов, она также необходима для объяснения некоторых [[Макроскопический масштаб|макроскопических]] явлений, таких как [[Сверхпроводимость|сверхпроводники]]<ref name="feynman2015">{{Cite web|url=http://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_21.html#Ch21-S5|title=The Feynman Lectures on Physics '''III''' 21-4|author=Feynman|first=Richard|author-link=Фейнман, Ричард|publisher=[[California Institute of Technology]]|access-date=24 November 2015|quote=...it was long believed that the wave function of the Schrödinger equation would never have a macroscopic representation analogous to the macroscopic representation of the amplitude for photons. On the other hand, it is now realized that the phenomena of superconductivity presents us with just this situation.|archive-date=2020-07-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20200728102607/https://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_21.html#Ch21-S5|deadlink=no}}</ref> и [[Сверхтекучесть|сверхтекучие жидкости]]<ref>{{Cite web|url=http://physics.berkeley.edu/sites/default/files/_/lt24_berk_expts_on_macro_sup_effects.pdf|title=Berkeley Experiments on Superfluid Macroscopic Quantum Effects|author=Packard|first=Richard|archive-url=https://web.archive.org/web/20151125112132/http://research.physics.berkeley.edu/packard/publications/Articles/LT24_Berk_expts_on_macro_sup_effects.pdf|archive-date=25 November 2015|access-date=24 November 2015}}</ref>. Теорию сверхпроводников первого рода построили [[Бардин, Джон|Д. Бардин]] [[Купер, Леон|Л. Купер]] и [[Шриффер, Джон Роберт|Шриффер]] в 1957 году<ref>{{cite journal
 |author = J. Bardeen
 |author2 = L. N. Cooper
 |author3 = J. R. Schrieffer
 |date = 1957
 |title = Microscopic Theory of Superconductivity
 |journal = [[Physical Review]]
 |volume = 106 |issue = 1 |pages = 162–164
 |doi = 10.1103/PhysRev.106.162
|bibcode = 1957PhRv..106..162B |doi-access = free
 }}</ref><ref name=BardeenCooperSchrieffer>{{cite journal
 |author = J. Bardeen
 |author2 = L. N. Cooper
 |author3 = J. R. Schrieffer
 |date = 1957
 |title = Theory of Superconductivity
 |journal = [[Physical Review]]
 |volume = 108 |issue = 5 |pages = 1175–1205
 |doi = 10.1103/PhysRev.108.1175|bibcode = 1957PhRv..108.1175B |doi-access = free
 }}</ref>.

В 1954 году благодаря работам [[Таунс, Чарлз Хард|Ч. Таунса]], [[Басов, Николай Геннадьевич|Н. Г. Басова]] и [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохорова]] появились первые [[микроволновое излучение|микроволновые]] генераторы — [[мазер]]ы на [[аммиак]]е<ref name="fundamentals">{{cite web
 |author       = François Balembois et Sébastien Forget
 |url          = http://www.optique-ingenieur.org/en/courses/OPI_ang_M01_C01/co/Contenu_02.html
 |title        = Laser : Fundamentals // Some important dates
 |publisher    = Optics4Engineers
 |accessdate   = 2013-12-11
 |lang         = en
 |deadlink     = no
 |archiveurl   = https://web.archive.org/web/20131216004846/http://www.optique-ingenieur.org/en/courses/OPI_ang_M01_C01/co/Contenu_02.html
 |archive-date = 2013-12-16
}}</ref><ref name="popmech" />. Для усиления излучения в [[видимое излучение|оптическом диапазоне]] использовался рубин [[Майман, Теодор|Т. Мейманом]] в 1960 году<ref>{{статья
|заглавие=Stimulated optical radiation in ruby
|издание=Nature
|том=187
|номер=4736
|страницы=493—494
|doi=10.1038/187493a0
|язык=en
|автор=[[Майман, Теодор|Maiman, T.H.]]
|год=1960
}}</ref>. В [[1963 год]]у [[Алфёров, Жорес|Ж. Алфёров]] создал первые [[полупроводник]]овые [[гетероструктура|гетероструктуры]], на основе которых создаются современные полупроводниковые лазеры<ref name="popmech">{{cite web
 |author        = Алексей Левин
 |datepublished = 2006-06-01
 |url           = http://www.popmech.ru/article/381-kvantovyiy-svetoch/
 |title         = Квантовый светоч: История одного из самых важных изобретений XX века – лазера
 |publisher     = Popmech.ru
 |accessdate    = 2009-07-28
 |deadlink      = no
 |archive-date  = 2011-08-24
 |archive-url   = https://www.webcitation.org/61AmFZljR?url=http://www.popmech.ru/article/381-kvantovyiy-svetoch/
}}</ref>.

В 1980 году Пол Бениофф описал первую квантово-механическую модель компьютера. В этой работе П. Бениофф показал, что компьютер может работать в соответствии с законами квантовой механики, использовав уравнение Шредингера для описания машин Тьюринга, заложив основу для дальнейшей работы в области квантовых вычислений<ref>{{cite journal |last1=Benioff | first1=Paul | title=The computer as a physical system: A microscopic quantum mechanical Hamiltonian model of computers as represented by Turing machines | journal=Journal of Statistical Physics |volume=22 | issue=5 | pages=563–591 | year=1980 | doi=10.1007/bf01011339|bibcode=1980JSP....22..563B }}</ref>. Первая экспериментальная демонстрация двух-кубитного квантового компьютера, работающего на явлении ядерного магнитного резонанса сообшалась в 1998 году<ref>{{Cite journal|last1=Chuang|first1=Isaac L.|last2=Gershenfeld|first2=Neil|last3=Kubinec|first3=Mark|date=April 13, 1998|title=Experimental Implementation of Fast Quantum Searching|journal=Physical Review Letters|volume=80|issue=15|pages=3408–3411|doi=10.1103/PhysRevLett.80.3408|bibcode=1998PhRvL..80.3408C|url=https://semanticscholar.org/paper/6c055053f4f1605fdc0bd474c7a350dcd01f627d}}</ref>. В октябре 2019 года компания [[Google (компания)|Google]] объявила, что ей удалось построить 53-кубитный сверхпроводящий квантовый процессор [[Sycamore (процессор)|Sycamore]] и продемонстрировать «[[квантовое превосходство]]» над обычными компьютерами<ref>[[Nature]] 23 October 2019 ''Frank Arute, Kunal Arya, et al.'' [https://www.nature.com/articles/s41586-019-1666-5 Quantum supremacy using a programmable superconducting processor] {{Wayback|url=https://www.nature.com/articles/s41586-019-1666-5 |date=20191023124420 }} 574, pages 505—510 (2019)</ref><ref>[https://ai.googleblog.com/2019/10/quantum-supremacy-using-programmable.html Quantum Supremacy Using a Programmable Superconducting Processor] {{Wayback|url=https://ai.googleblog.com/2019/10/quantum-supremacy-using-programmable.html |date=20191023092725 }} Wednesday, October 23, 2019 Posted by John Martinis, Chief Scientist Quantum Hardware and Sergio Boixo, Chief Scientist Quantum Computing Theory, Google AI Quantum</ref><ref>[[Meduza]] 20:05, 24 октября 2019 ''Александр Ершов'' [https://meduza.io/feature/2019/10/24/ura-fiziki-dostigli-kvantovogo-prevoshodstva-a-mozhet-i-ne-dostigli-my-ne-znaem-oni-ne-znayut-nikto-ne-znaet-na-to-ono-i-kvantovoe Ура, физики из Google достигли квантового превосходства! А может, и не достигли! Мы не знаем, они не знают, никто не знает — на то оно и квантовое…] {{Wayback|url=https://meduza.io/feature/2019/10/24/ura-fiziki-dostigli-kvantovogo-prevoshodstva-a-mozhet-i-ne-dostigli-my-ne-znaem-oni-ne-znayut-nikto-ne-znaet-na-to-ono-i-kvantovoe |date=20191026165211 }}</ref>.

== Математическая формулировка ==
{{main|Математические основы квантовой механики}}
В математически строгой формулировке квантовой механики состояние квантовомеханической системы представляет собой вектор <math>\psi</math> заданный в комплексном ([[Сепарабельное пространство|сепарабельном]]) [[Гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]] <math>\mathcal H</math>. Постулируется, что этот вектор нормирован относительно скалярного произведения гильбертова пространства, то есть подчиняется условию <math>\langle \psi,\psi \rangle = 1</math>, и он корректно определён с точностью до комплексного числа по модулю 1 (глобальной фазы), или, другими словами, состояния <math>\psi</math> и <math>e^{i\alpha}\psi</math> представляют собой одну и ту же физическую систему{{sfn|Auletta|2000|p=36}}{{sfn|Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ|2000|с=274}}. Возможные состояния — это точки [[Проективное пространство|проективного]] гильбертова пространства, обычно называемого {{iw|комплексное проективное пространство|комплексным проективным пространством|en|Complex projective space}}. Точная природа этого гильбертова пространства зависит от рассматриваемой системы — например, для описания координаты и импульса частицы, гильбертово пространство — это пространство комплексных функций, {{iw|функция интегрируемая с квадратом|интегрируемых с квадратом|en|Square-integrable function}} <math>L^2(\mathbb C)</math>{{Refn|Класс этих функций очень широк, но физически можно ограничить рассмотрение только функциями, которые определены повсюду, непрерывны и бесконечно дифференцируемы{{sfn|Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ|2000|с=114}}|group=К}}, а гильбертово пространство для [[спин]]а одиночной частицы — это просто пространство двумерных комплексных векторов <math>\mathbb C^2</math> с обычным [[Скалярное произведение|скалярным произведением]]<ref>{{cite book | last = Bongaarts | first = Peter | title = Quantum theory : a mathematical approach | publisher = Springer | location = Cham | year = 2015 |page=118 | isbn = 3319095609 }}</ref>.

Интересующие физические величины — координата, импульс, энергия, спин — представлены наблюдаемыми величинами (или просто наблюдаемыми), которым поставлены в соответствие [[Сопряжённый оператор|эрмитовые]] (точнее, [[самосопряжённый оператор|самосопряженные]]) линейные [[Оператор (физика)|операторы]], действующие в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние может быть [[Собственный вектор|собственным вектором]] для оператора наблюдаемой, или [[Квантовое состояние|собственным состоянием]], а связанное с ним [[Собственный вектор|собственное значение]] соответствует значению наблюдаемой в этом собственном состоянии{{sfn|Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ|2000|с=169—170}}. В более общем смысле квантовое состояние задаётся линейной комбинацией собственных состояний, известной как [[Принцип суперпозиции (квантовая механика)|квантовая суперпозиция]]{{sfn|Auletta|2000|p=39}}. При измерении наблюдаемой, результатом будет одно из её дискретных собственных значений с вероятностью, заданной [[Правило Борна|правилом Борна]]: в простейшем случае собственное значение <math>\lambda</math> является невырожденным, а вероятность определяется выражением <math>|\langle \vec\lambda,\psi\rangle|^2</math>, где <math> \vec\lambda</math> — его собственный вектор{{sfn|Auletta|2000|p=38}}. В более общем случае собственное значение вырождено, а вероятность определяется выражением <math>\langle \psi,P_\lambda\psi\rangle</math>, где <math>P_\lambda</math> — проектор на связанное с ним собственное пространство{{sfn|Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ|2000|с=272}}. В случае, когда рассматривается непрерывный спектр собственных значений эти формулы используют понятие [[Плотность вероятности|плотности вероятности]]{{sfn|Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ|2000|с=273}}.

После измерения, если получен результат <math>\lambda</math>, то постулируется, что квантовое состояние [[Редукция фон Неймана|коллапсирует]] до <math> \vec\lambda</math>, в невырожденном случае, или <math>P_\lambda\psi/\sqrt{\langle \psi,P_\lambda\psi\rangle}</math>, в общем случае{{sfn|Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ|2000|с=277}}. Таким образом, [[Вероятность|вероятностный]] характер квантовой механики проистекает из процесса измерения. Это один из самых сложных для понимания физических аспектов квантовых систем. Эта тема была центральным вопросом знаменитых [[Дискуссия Бора и Эйнштейна|дебатов Бора и Эйнштейна]], в которых два учёных пытались прояснить эти фундаментальные принципы с помощью [[Мысленный эксперимент|мысленных экспериментов]]. В течение десятилетий после формулировки квантовой механики широко изучался вопрос о том, что представляет собой «измерение». Были сформулированы более современные [[Интерпретация квантовой механики|интерпретации квантовой механики]], которые избавляются от концепции «[[Редукция фон Неймана|редукции (коллапса) волновой функции]]» (см., например, [[многомировая интерпретация]]). Основная идея заключается в том, что когда квантовая система взаимодействует с измерительным прибором, их соответствующие волновые функции [[Квантовая запутанность|запутываются]], так что исходная квантовая система перестаёт существовать как независимая сущность. Подробнее см. в статье об [[Измерение (квантовая механика)|измерении в квантовой механике]]<ref name="google215">{{Cite book|title=The Quantum Challenge: Modern Research on the Foundations of Quantum Mechanics|edition=2nd|first1=George|last1=Greenstein|first2=Arthur|last2=Zajonc|publisher=Jones and Bartlett Publishers, Inc|year=2006|isbn=978-0-7637-2470-2|page=215|url=https://books.google.com/books?id=5t0tm0FB1CsC&pg=PA215}} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=5t0tm0FB1CsC&pg=PA215 |date=20220118184408 }}, [https://books.google.com/books?id=5t0tm0FB1CsC&pg=PA215 Chapter 8, p. 215] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=5t0tm0FB1CsC&pg=PA215 |date=20220118184408 }}</ref>.

Эволюция квантового состояния во времени описывается [[Уравнение Шрёдингера|уравнением Шрёдингера]]{{sfn|Auletta|2000|p=48}}:

: <math>i\hbar {\frac {d}{dt}} \psi (t) =H \psi (t)\,. </math>

Здесь <math>H</math> — [[Гамильтониан (квантовая механика)|гамильтониан]] системы, или оператор наблюдаемой, соответствующей [[Энергия|полной энергии]] системы, и <math>\hbar</math> — приведённая [[постоянная Планка]]. Постоянная <math>i\hbar</math> вводится так, что гамильтониан сводится к [[Гамильтонова механика|классическому гамильтониану]] в случаях, когда квантовая система близка по своим свойствам к соответствующей классической модели; возможность сделать такое приближение в определённом пределе называется [[Принцип соответствия|принципом соответствия]]{{sfn|Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ|2000|с=278}}.

Формальное решение этого дифференциального уравнения задаётся выражением{{sfn|Auletta|2000|p=49}}

: <math> \psi(t) = e^{-iHt/\hbar }\psi(0)\,. </math>

Оператор <math>U(t) = e^{-iHt/\hbar } </math> известен как [[оператор эволюции]] и обладает важным свойством [[Унитарность (физика)|унитарности]]. На этот раз эволюция [[Детерминизм|детерминирована]] в том смысле, что если задано начальное квантовое состояние <math>\psi(0)</math>, то этот оператор даёт определённое предсказание того, какое квантовое состояние <math>\psi(t)</math> будет в любой другой последующий момент времени<ref>{{Cite book|title=Dreams Of A Final Theory: The Search for The Fundamental Laws of Nature|first1=Steven|last1=Weinberg|publisher=Random House|year=2010|isbn=978-1-4070-6396-6|page=[https://books.google.com/books?id=OLrZkgPsZR0C&pg=PT82 82]|url=https://books.google.com/books?id=OLrZkgPsZR0C}} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=OLrZkgPsZR0C |date=20200728102611 }}</ref>.
[[Файл:Atomic-orbital-clouds_spd_m0.png|мини| [[Плотность вероятности|Плотности вероятностей]], соответствующие волновым функциям электрона в атоме водорода, обладающим определёнными энергетическими уровнями (возрастающими от верхней части изображения до нижней части: ''n'' = 1, 2, 3, …) и угловыми моментами (возрастающие слева направо: ''s'', ''p'', ''d'', . . .). Более плотные области соответствуют более высокой плотности вероятности при измерении положения. Такие волновые функции прямо сравнимы с [[Хладни, Эрнст Флоренс Фридрих|фигурами Хладни]] [[Акустика|акустических]] мод колебаний в [[Классическая физика|классической физике]] и также являются модами колебаний, обладающими определённой [[Энергия|энергией]] и, соответствующей ей [[Частота|частотой]]. [[Момент импульса|Угловой момент]] и энергия [[Квантование (физика)|квантованы]] и принимают '''только''' дискретные значения, подобные показанным (как в случае с [[Резонанс|резонансными частотами]] в акустике).]]
Некоторые волновые функции описывают распределения вероятностей, которые не зависят от времени, такие как [[Квантовое состояние|собственные состояния гамильтониана]]. Многие динамические системы, рассматриваемые в классической механике, описываются такими «стационарными» волновыми функциями. Например, один [[электрон]] в невозбуждённом [[атом]]е классически изображается как частица, движущаяся по круговой траектории вокруг [[Атомное ядро|ядра атома]], тогда как в квантовой механике он описывается стационарной волновой функцией, окружающей ядро{{sfn|Griffiths and Schroeter|2018|p=183—200}}. Например, волновая функция электрона для невозбуждённого атома водорода представляет собой сферически-симметричную функцию, известную как [[Атомная орбиталь|''s''-орбиталь]]{{sfn|Griffiths and Schroeter|2018|p=195}}.

Аналитические решения уравнения Шрёдингера известны для очень немногих относительно простых {{iw|Список квантово-механических систем с аналитическими решениями| модельных гамильтонианов|en|List of quantum-mechanical systems with analytical solutions}}<ref>{{статья |автор = Cooper, Fred; Khare, Avinash; Sukhatme, Uday |заглавие = Supersymmetry and quantum mechanics|оригинал = |ссылка = |издание = Phys. Rep.|год = 1995|том =251 |страницы = 267—385 |doi = 10.1016/0370-1573(94)00080-M|pmid = |bibcode = |arxiv = |ref = Cooper, Khare and Sukhatme}}</ref>, включающих [[квантовый гармонический осциллятор]]{{sfn|Флюгге|1974|с=81}}, [[Квантовая яма с бесконечными стенками|частицу в ящике]]{{sfn|Флюгге|1974|с=66}}, [[молекулярный ион водорода]]<ref>{{cite journal |last1=Scott |first1=T. C. |last2=Aubert-Frécon |first2=M. |last3=Grotendorst |first3=J. |year=2006 |title=New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion |journal=Chem. Phys. |volume=324 |issue=2–3 |pages=323–338 |doi=10.1016/j.chemphys.2005.10.031 |arxiv=physics/0607081 |bibcode=2006CP....324..323S }}</ref>, [[атом водорода]]{{sfn|Флюгге|1974|с=180}}{{sfn|Griffiths and Schroeter|2018|p=183}} и другие. Даже атом [[Гелий|гелия]], который содержит всего два электрона бросил вызов всем попыткам построить полностью аналитическое решение<ref>{{cite book | last1 = Griffiths | first1 = David | last2 = Schroeter| first2 =  Darrell F.| title = Introduction to quantum mechanics | publisher = Cambridge University Press | location = Cambridge, United Kingdom | year = 2018 | isbn = 1107189632 |ref=Griffiths and Schroeter}}</ref>.

Существуют методы нахождения приближённых решений. Один метод, называемый [[Стационарная теория возмущений в квантовой механике|теорией возмущений]], использует аналитический результат для простой квантовомеханической модели, чтобы построить решение для родственной, но более сложной модели, например, путём добавления малой [[Потенциальная энергия|потенциальной энергии]]<ref>{{Cite journal|date=2018-07-01|title=Aspects of perturbation theory in quantum mechanics: The BenderWuMathematica® package|journal=Computer Physics Communications|language=en|volume=228|pages=273–289|doi=10.1016/j.cpc.2017.11.018|issn=0010-4655|last1=Sulejmanpasic|first1=Tin|last2=Ünsal|first2=Mithat |bibcode=2018CoPhC.228..273S|doi-access=free}}</ref>. Другой метод называется «квазиклассическим уравнением движения» и применяется к системам, для которых квантовая механика даёт лишь небольшие отклонения от классического поведения. Эти отклонения можно вычислить на основе классического движения<ref>{{cite book | last1 = Maslov | first1 = V. P. | last2 = Fedoriuk| first2 = M. V.| title = Semi-classical approximation in quantum mechanics | publisher = D. Reidel Pub. Co. Sold and distributed in the U.S.A. and Canada by Kluwer Boston Inc | location = Dordrecht, Holland Boston | year = 1981 | isbn = 9027712190 }}</ref>. Этот подход особенно важен в области [[Квантовый хаос|квантового хаоса]]<ref>{{cite book | last = Haake | first = Fritz | title = Quantum signatures of chaos | url = https://archive.org/details/quantumsignature0000haak | publisher = Springer | location = Berlin New York | year = 2001 | isbn = 9783540677239 |ref=Haake}}</ref>.

=== Принцип неопределённости ===
{{main|Принцип неопределённости}}
Одним из следствий формализма квантовой механики является [[принцип неопределённости]]. В своей наиболее известной форме он утверждает, что для квантовой частицы нельзя одновременно точно предсказать её координату и импульс<ref name="Cohen-Tannoudji">{{Cite book|last1=Cohen-Tannoudji|first1=Claude|last2=Diu|first2=Bernard|last3=Laloë|first3=Franck|title=Quantum Mechanics |publisher=John Wiley & Sons|year=2005|isbn=0-471-16433-X}}</ref><ref name="L&L">{{Cite book|first1=L.D.|last1=Landau|author-link1=Lev Landau|first2=E.M.|last2=Lifschitz|year=1977|title=Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory|publisher=[[Pergamon Press]]|isbn=978-0-08-020940-1}}</ref>. Координата и импульс являются наблюдаемыми, то есть они представимы в виде эрмитовых операторов. [[Оператор координаты]] <math>\hat{X}</math> и [[оператор импульса]] <math>\hat{P}</math> не коммутируют друг с другом, а удовлетворяют [[Каноническое коммутационное соотношение|каноническому коммутационному соотношению]]{{sfn|Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ|2000|с=235}}:

: <math>[\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar\,.</math>

При заданном квантовом состоянии правило Борна позволяет вычислить математические ожидания для <math>X</math> и <math>P</math>, и их степеней. Задавая неопределённость наблюдаемой по формуле [[Среднеквадратическое отклонение|стандартного отклонения]], можно записать для координаты

: <math>\sigma_X=\sqrt{\langle {X}^2 \rangle-\langle {X}\rangle^2}\,,</math>

и аналогично для импульса:

: <math>\sigma_P=\sqrt{\langle {P}^2 \rangle-\langle {P}\rangle^2}\,.</math>

Принцип неопределённости гласит, что{{sfn|Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ|2000|с=288—289,358}}

: <math>\sigma_X \sigma_P \geq \frac{\hbar}{2}\,.</math>

Любое стандартное отклонение в принципе можно сделать сколь угодно малым, но не обе величины одновременно<ref name="ballentine1970">Section 3.2 of {{Citation|last=Ballentine|first=Leslie E.|title=The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics|journal=Reviews of Modern Physics|volume=42|pages=358–381|year=1970|doi=10.1103/RevModPhys.42.358|issue=4}}. This fact is experimentally well-known for example in quantum optics; see e.g. chap. 2 and Fig. 2.1 {{Citation|last=Leonhardt|first=Ulf|title=Measuring the Quantum State of Light|year=1997}}</ref>. Это неравенство обобщается на произвольные пары самосопряжённых операторов <math>A</math> и <math>B</math>. [[Коммутатор (алгебра)|Коммутатор]] этих двух операторов по определению равен

: <math>[A,B]=AB-BA,</math>

что задаёт нижнюю границу произведения стандартных отклонений:

: <math>\sigma_A \sigma_B \geq \frac{1}{2}\left|\langle[A,B]\rangle \right|.</math>

Из канонического коммутационного соотношения следует, что операторы координаты и импульса являются [[Преобразование Фурье|преобразованиями Фурье]] друг друга. Описание объекта в импульсном пространстве задаётся преобразованием Фурье его координатного описания. Тот факт, что зависимость от импульса является преобразованием Фурье координатной зависимости, означает, что оператор импульса эквивалентен (с точностью до <math>i/\hbar</math> множителя) взятию производной по координате, так как в анализе Фурье операции [[Преобразование Фурье|дифференцирования соответствует умножение в двойственном пространстве]]. Поэтому в квантовых уравнениях в координатном представлении импульс <math> p_i</math> заменяется выражением <math>-i \hbar \frac {\partial}{\partial x}</math>, и, в частности, в [[Уравнение Шрёдингера|нерелятивистском уравнении Шрёдингера в координатном пространстве]] квадрат импульса заменён умноженным на <math>-\hbar^2</math> [[лапласиан]]ом<ref name="Cohen-Tannoudji" />.

=== Составные системы и запутанность ===
{{main|Квантовая запутанность}}
Когда две разные квантовые системы рассматриваются вместе, гильбертово пространство объединённой системы представляет собой [[тензорное произведение]] гильбертовых пространств двух компонент. Например, пусть {{Mvar|A}} и {{Mvar|B}} — две квантовые системы с гильбертовыми пространствами <math> \mathcal H_A </math> и <math> \mathcal H_B </math> соответственно. Тогда гильбертово пространство составной системы равно

: <math> \mathcal H_{AB} = \mathcal H_A \otimes \mathcal H_B.</math>

Если состояние для первой системы есть вектор <math>\psi_A</math>, а состояние для второй системы — <math>\psi_B</math>, то состояние составной системы равно

: <math>\psi_A \otimes \psi_B.</math>

Не все состояния в совместном гильбертовом пространстве <math>\mathcal H_{AB}</math> можно записать в такой форме, потому что принцип суперпозиции подразумевает, что линейные комбинации этих «разделимых» или «составных» состояний также возможны. Например, если <math>\psi_A</math> и <math>\phi_A</math> оба возможных состояния системы <math>A</math>, и <math>\psi_B</math> и <math>\phi_B</math> — возможные состояния системы <math>B</math>, тогда новое состояние

: <math>\tfrac{1}{\sqrt{2}} \left ( \psi_A \otimes \psi_B + \phi_A \otimes \phi_B \right )</math>

описывает допустимое совместное состояние, которое не является разделимым. Состояния, которые не являются разделимыми, называются [[Квантовая запутанность|запутанными]] или сцепленными<ref name=":0">{{Cite book|last1=Nielsen|first1=Michael A.|last2=Chuang|first2=Isaac L.|title=[[Quantum Computation and Quantum Information]]|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|year=2010|edition=2nd|isbn=978-1-107-00217-3 }}</ref><ref name=":1">{{Cite book|title=Quantum Computing: A Gentle Introduction|last1=Rieffel|first1=Eleanor G.|last2=Polak|first2=Wolfgang H.|year=2011|publisher=MIT Press|isbn=978-0-262-01506-6|language=en}}</ref>.

Если состояние составной системы запутано, то ни компонентную систему {{Mvar|A}} ни систему {{Mvar|B}} невозможно описать вектором состояния. Вместо этого можно определить [[Квантовая запутанность|матрицы плотности подсистемы]], которые описывают результаты, которые можно получить, выполняя измерения только над любым из компонент системы. Однако это неизбежно приводит к потере информации: знания матриц плотности отдельных систем недостаточно для восстановления состояния составной системы<ref name=":0" /><ref name=":1" />. Точно так же, как матрицы плотности определяют состояние подсистемы более крупной системы. Аналогичным образом {{iw|POVM|положительные операторнозначные меры|en|POVM}} (POVM) описывают влияние на подсистему измерения, выполненного в более крупной системе. POVM широко используются в квантовой теории информации<ref name=":0" /><ref name="wilde">{{Cite book|last=Wilde|first=Mark M.|title=Quantum Information Theory|year=2017|isbn=9781107176164|doi=10.1017/9781316809976.001}}</ref>.

Как описано выше, запутанность — это ключевая особенность моделей процесса измерения, в котором детектор запутывается с измеряемой системой. Системы, взаимодействующие с окружающей средой, в которой они находятся, обычно запутываются с этой средой — явление, известное как [[Декогеренция|квантовая декогеренция]]. Оно может объяснить, почему на практике квантовые эффекты трудно наблюдать в макроскопических системах<ref>{{Cite journal|author=Schlosshauer|first=Maximilian|date=October 2019|title=Quantum decoherence|journal=Physics Reports|language=en|volume=831|pages=1–57|arxiv=1911.06282|bibcode=2019PhR...831....1S|doi=10.1016/j.physrep.2019.10.001}}</ref>.

=== Эквивалентность формулировок ===
Существует множество математически эквивалентных формулировок квантовой механики. Одной из старейших и наиболее распространённых является «{{iw|Теория трансформации (квантовая механика)|теория преобразований|en|Transformation theory (quantum mechanics)}}», предложенная [[Дирак, Поль|Полем Дираком]], которая объединяет и обобщает две самые ранние формулировки квантовой механики — [[Матричная квантовая механика|матричную механику]] (изобретена [[Гейзенберг, Вернер|Вернером Гейзенбергом]]) и [[Уравнение Шрёдингера|волновую механику]] (изобретена [[Шрёдингер, Эрвин|Эрвином Шредингером]])<ref>{{Cite journal|author=Rechenberg, =Helmut|year=1987|title=Erwin Schrödinger and the creation of wave mechanics|url=http://www.actaphys.uj.edu.pl/fulltext?series=Reg&vol=19&page=683|format=PDF|journal=[[Acta Physica Polonica B]]|volume=19|issue=8|pages=683–695|accessdate=13 June 2016|archive-date=2021-02-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20210224213502/http://www.actaphys.uj.edu.pl/fulltext?series=Reg&vol=19&page=683|deadlink=no}}</ref>. Альтернативно, квантовую механику можно [[Формулировка квантовой теории через интегралы по траекториям|сформулировать на языке интеграла по траекториям]] [[Фейнман, Ричард|Фейнмана]], в которой квантовомеханическая амплитуда рассматривается как сумма всех возможных классических и неклассических путей между начальным и конечным состояниями, что представляется собой квантовомеханический аналог [[Действие (физическая величина)|принципа действия]] в классической механике<ref>{{книга
 |автор        = Фейнман Р., Хибс А.
 |заглавие     = Квантовая механика и интегралы по траекториям
 |город        = М.
 |издательство = Мир
 |год          = 1968
 |страниц      = 384
 }}</ref>.

=== Симметрии и законы сохранения ===
{{main|Теорема Нётер}}
Гамильтониан <math>H</math> известен как ''генератор'' эволюции во времени, поскольку он определяет унитарный оператор эволюции во времени <math>U(t) = e^{-iHt/\hbar}</math> для каждого значения <math>t</math>{{sfn|Griffiths and Schroeter|2018|p=336}}. Из этого соотношения между <math>U(t)</math> и <math>H</math> следует, что любая наблюдаемая <math>A</math>, которая коммутирует с <math>H</math> будет ''сохраняться,'' поскольку его ожидаемое значение не изменяется с течением времени{{sfn|Griffiths and Schroeter|2018|p=307}}. Это утверждение обобщается таким образом: любой эрмитов оператор <math>A</math> может порождать семейство унитарных операторов, параметризованных переменной <math>t</math>{{sfn|Griffiths and Schroeter|2018|p=307}}. Под эволюцией, порождённой <math>A</math>, здесь понимается, что любая наблюдаемая <math>B</math>, которая коммутирует с <math>A</math> будет сохраняться. Более того, если <math>B</math> сохраняется при эволюции порождённой <math>A</math>, тогда <math>A</math> сохраняется при эволюции, порождённой <math>B</math>. Это подразумевает квантовую версию результата, доказанного [[Нётер, Эмми|Эмми Нётер]] в классической ([[Лагранжева механика|лагранжевой]]) механике: для каждого непрерывного преобразования [[Симметрия (физика)|симметрии]], оставляющего [[Действие (физическая величина)|действие]] инвариантным имеется соответствующий [[Законы сохранения|закон сохранения]]{{sfn|Ченг и Ли|1987|с=154}}.

== Примеры ==

=== Свободная частица ===
{{main|Свободная частица}}
[[Файл:Guassian_Dispersion.gif|справа|мини| Плотность вероятности гауссового [[Волновой пакет|волнового пакета]] в координатном пространстве, движущегося в одном измерении в свободном пространстве.]]
Простейшим примером квантовой системы с координатной степенью свободы является свободная частица в одном пространственном измерении{{sfn|Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ|2000|с=75—79}}. Свободная частица — это частица, не подверженная внешним воздействиям, поэтому её гамильтониан состоит только из её кинетической энергии, а уравнение Шрёдингера принимает вид{{sfn|Флюгге|1974|с=40}}:

: <math>\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial t} = - \frac {\hbar ^2}{2m} \frac {\partial^2\psi}{\partial x^2}\,,</math>
где <math>i</math> — мнимая единица, <math>\hbar</math> — редуцированная постоянная Планка, <math>m</math> — масса частицы. Это уравнение допускает разделение переменных, и общее решение уравнения Шрёдингера даётся выражением в виде любого сходящегося интеграла, который описывает волновой пакет плоских волн общего вида{{sfn|Флюгге|1974|с=43}}

: <math>\psi (x,t)=\int_{-\infty}^{+\infty}C(k)e^{i(kx-\omega t)}dk\,,</math>

где <math>\omega</math> — частота, <math>k</math> — волновое число и условие конечности интеграла: <math>\lim_{|k|\rightarrow\infty}C(k)\approx |k|^{-\alpha}</math> при <math>\alpha \geq 1</math>. В частном случае гауссова пакета волновая функция для частицы с волновым числом <math>k_0</math> в момент времени <math>t=0</math> представляется в виде{{sfn|Флюгге|1974|с=44}}
: <math>\psi (x,0)=A\exp\left(-\frac{x^2}{2a^2}+ik_0x\right)\,,</math>
где <math>a</math> — размер волнового пакета, <math>A</math> — нормировочный множитель. Для такой частицы скорость задаётся выражением <math>v_0=\hbar k_0/m\,.</math> Это выражение можно разложить по плоским волнам, чтобы найти коэффициент <math>C(k)\,,</math> который выражается в явном виде
: <math>C(k) =\frac{Aa}{\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{1}{2}(k-k_0)\right]\,.</math>
Чтобы найти поведение волновой функции в любой момент времени достаточно проинтегрировать. Плотность задаётся квадратом модуля волновой функции. Она равна в любой момент времени
: <math>\rho(x,t)=|\psi(x,t)|^2=\frac{|A|^2}{\sqrt{1+\left(\frac{\hbar t}{ma^2}\right)^2}}\exp\left[-\frac{\left(x-\frac{\hbar k_0}{m}t\right)}{a^2\left[1+\left(\frac{\hbar t}{ma^2}\right)^2\right]}\right]\,.</math>

Центр гауссового волнового пакета движется в пространстве с постоянной скоростью <math>\hbar k_0/m</math>, как классическая частица, на которую не действуют никакие силы. Однако с течением времени волновой пакет также будет расплываться на величину <math>\hbar t/ma</math>, то есть положение становится всё более и более неопределённым как показано на анимации{{sfn|Флюгге|1974|с=45}}.

=== Частица в ящике ===
{{main|Квантовая яма с бесконечными стенками}}
[[Файл:Infinite_potential_well.svg|мини| Одномерный ящик потенциальной энергии (или бесконечная потенциальная яма)]]
Частица в одномерном потенциале с бесконечными стенками является математически наиболее простым примером, где ограничения приводят к квантованию энергетических уровней. Ящик определяется как имеющая нулевую потенциальную энергию везде ''внутри'' определённой области и, следовательно, бесконечную потенциальную энергию повсюду ''за пределами'' этой области<ref name="Cohen-Tannoudji" />{{Rp|77–78}}. Для одномерного случая в <math>x</math> направлении, независимое от времени уравнение Шрёдингера можно записать в виде

: <math> - \frac {\hbar ^2}{2m} \frac {d ^2 \psi}{dx^2} = E \psi\,.</math>

С дифференциальным оператором, определённым как

: <math> \hat{p}_x = -i\hbar\frac{d}{dx} </math>

предыдущее уравнение напоминает [[Кинетическая энергия|классический аналог кинетической энергии]],

: <math> \frac{1}{2m} \hat{p}_x^2 = E\,,</math>

с состоянием <math>\psi</math> в этом случае с энергией <math>E</math> совпадает с кинетической энергией частицы.

Общие решения уравнения Шредингера для частицы в ящике таковы{{sfn|Флюгге|1974|с=46}}:

: <math> \psi(x) = A e^{ikx} + B e ^{-ikx} \qquad\qquad E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}</math>

или, [[Формула Эйлера|по формуле Эйлера]],

: <math> \psi(x) = C \sin(kx) + D \cos(kx)\,.</math>

Бесконечные потенциальные стенки ящика определяют значения неопределённых коэффициентов <math>C, D, </math> и <math>k</math> в <math>x=0</math> и <math>x=L</math>, где <math>\psi</math> должна быть равна нулю. Таким образом, при <math>x=0</math>,

: <math>\psi(0) = 0 = C\sin(0) + D\cos(0) = D</math>

и <math>D=0</math>. В <math>x=L</math>,

: <math> \psi(L) = 0 = C\sin(kL)\,,</math>

в котором <math>C</math> не может быть равно нулю, так как это противоречило бы постулату о том, что <math>\psi</math> имеет норму равную 1. Следовательно, поскольку <math>\sin(kL)=0</math>, <math>kL</math> должно быть целым числом, кратным <math>\pi</math> , то есть

: <math>k_n = \frac{n\pi}{L}\qquad\qquad n=1,2,3,\ldots\,.</math>

Это ограничение на <math>k</math> подразумевает ограничение на уровни энергии, что даёт{{sfn|Флюгге|1974|с=47}}

: <math>E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2mL^2} = \frac{n^2h^2}{8mL^2}\,.</math>

[[Прямоугольная квантовая яма]] — это обобщение задачи с бесконечной потенциальной ямой на потенциальные ямы конечной глубины. Проблема конечной потенциальной ямы математически более сложна, чем задача о частице в ящике, поскольку волновая функция не привязана к нулю на стенках ямы. Вместо этого волновая функция должна удовлетворять более сложным граничным условиям, поскольку она отлична от нуля в областях вне ямы{{sfn|Флюгге|1974|с=62—63}}. Другая родственная проблема связана с [[Туннелирование через прямоугольный барьер|прямоугольным потенциальным барьером]], который представляет собой модель [[Квантовое туннелирование|эффекта квантового туннелирования]]{{sfn|Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ|2000|с=87—88}}, играющего важную роль в работе современных технологий, таких как [[Флеш-память|флэш-память]]<ref>{{статья |автор = Bez, R., Camerlenghi, E., Modelli, A., & Visconti, A.|заглавие = Introduction to flash memory|оригинал = |ссылка = |издание =  Proceedings of the IEEE|год = 2003|том = 91(4)|страницы = 489—502 |doi = 10.1109/jproc.2003.811702|pmid = |bibcode = |arxiv = |ref = }}</ref> и [[Сканирующий туннельный микроскоп|сканирующая туннельная микроскопия]]<ref>{{cite journal| vauthors = Binnig G, Rohrer H |date=1987-07-01|title=Scanning tunneling microscopy---from birth to adolescence |journal=Reviews of Modern Physics|volume=59|issue=3|pages=615–625|doi=10.1103/RevModPhys.59.615|bibcode=1987RvMP...59..615B|doi-access=free}}</ref>.

=== Гармонический осциллятор ===
{{main|Квантовый гармонический осциллятор}}
[[Файл:QuantumHarmonicOscillatorAnimation.gif|справа|мини| Некоторые траектории [[Гармонический осциллятор|гармонического осциллятора]], то есть шарика, прикреплённого к [[Закон Гука|пружине]], в [[Классическая механика|классической механике]] (AB) и квантовой механике (CH). В квантовой механике положение шарика представлено [[Волна|волной]] (называемой [[Волновая функция|волновой функцией]]), [[Комплексное число|реальная часть которой]] показана синим цветом, а [[Комплексное число|мнимая —]] красным. Некоторые траектории (например, C, D, E и F) представляют собой [[Стоячая волна|стоячие волны]] (или «[[Стационарное состояние (квантовая физика)|стационарные состояния]]»). Каждая частота стоячей волны пропорциональна возможному [[Энергетический уровень|уровню энергии]] осциллятора. Это «квантование энергии» не происходит в классической физике, где осциллятор может иметь ''любую'' энергию.]]
Потенциал квантового гармонического осциллятора как и в классическом случае определяется выражением{{sfn|Флюгге|1974|с=81}}

: <math>V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2\,.</math>

Эту задачу можно решить либо путём непосредственного решения уравнения Шрёдингера, что не является тривиальной задачей{{sfn|Флюгге|1974|с=81—84}}, либо с помощью более элегантного [[Лестничный оператор|«лестничного метода»]], впервые предложенного Полем Дираком{{sfn|Флюгге|1974|с=87—89}}. Собственные [[Квантовое состояние|состояния]] квантового гармонического осциллятора задаются{{sfn|Флюгге|1974|с=83}}

: <math> \psi_n(x) = \sqrt{\frac{1}{2^n\, n!}} \left(\frac{\lambda}{\pi}\right)^{1/4} e^{
- \frac{\lambda x^2}{2}} H_n\left(\sqrt{\lambda} x \right)\,,</math>

где <math>\lambda=m\omega/\hbar</math> и <math>n = 0,1,2,\ldots\,,</math> ''H<sub>n</sub>'' — [[Многочлены Эрмита|полиномы Эрмита]]{{sfn|Флюгге|1974|с=88}}

: <math>H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x^2}\right),</math>

и соответствующие уровни энергии дискретны

: <math> E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right)\,.</math>

Это ещё один пример, иллюстрирующий дискретизацию энергии для [[связанное энергетическое состояние|связанных состояний]]{{sfn|Флюгге|1974|с=86}}.

=== Интерферометр Маха — Цендера ===
{{main|Интерферометр Маха — Цендера}}
[[Файл:Mach-Zehnder_interferometer.svg|справа|мини| Схема интерферометра Маха — Цендера.]]
Интерферометр Маха — Цендера иллюстрирует концепции суперпозиции и интерференции с линейной алгеброй в дискретном пространстве размерности 2 без использования дифференциальных уравнений. Его можно рассматривать как упрощённую версию эксперимента с двумя щелями, хотя он представляет интерес сам по себе, например, в эксперименте о [[Квантовый ластик с отложенным выбором|квантовом ластике]] с отложенным выбором, [[эксперимент Элицура — Вайдмана|эксперименте с бомбами Элицура — Вайдмана]] и в исследованиях квантовой запутанности<ref name="Paris1999">{{Cite journal|author=Paris|first=M. G. A.|title=Entanglement and visibility at the output of a Mach–Zehnder interferometer|journal=[[Physical Review A]]|date=1999|volume=59|issue=2|pages=1615–1621|arxiv=quant-ph/9811078|bibcode=1999PhRvA..59.1615P|doi=10.1103/PhysRevA.59.1615}}</ref><ref name="Haack2010">{{Cite journal|author=Haack|first=G. R.|title=Parity detection and entanglement with a Mach-Zehnder interferometer|doi=10.1103/PhysRevB.82.155303|journal=[[Physical Review B]]|volume=82|issue=15|pages=155303|year=2010|arxiv=1005.3976|bibcode=2010PhRvB..82o5303H}}</ref>.

Если рассмотреть фотон, проходящий через интерферометр, то в каждой точке он может находиться в суперпозиции только двух путей: «нижнего» пути, который начинается слева, проходит прямо через оба светоделителя и заканчивается вверху, и «верхний» путь, который начинается снизу, проходит прямо через оба светоделителя и заканчивается справа. Таким образом, квантовое состояние фотона представляет собой вектор <math>\psi \in \mathbb{C}^2</math> — это суперпозиция «нижнего» пути <math>\psi_l = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> и «верхнего» пути <math>\psi_u = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>, или, <math>\psi = \alpha \psi_l + \beta \psi_u</math> для комплексных коэффициентов <math>\alpha,\beta</math>. Для соблюдения постулата <math>\langle \psi,\psi\rangle = 1</math> требуется, чтобы <math>|\alpha|^2+|\beta|^2 = 1</math>{{sfn|Vedral|2006|p=25}}<ref>{{статья |автор = Marshman, Emily; Singh, Chandralekha|заглавие = Interactive tutorial to improve student understanding of single photon experiments involving a Mach–Zehnder interferometer|оригинал = |ссылка = |издание = Eur. J. Phys.|год = 2016|том = 37|страницы = 024001 |doi =10.1088/0143-0807/37/2/024001 |pmid = |bibcode = |arxiv = 1602.06162|ref = Marshman and Chandralekha}}</ref>.

Нижний и верхний [[Разделитель луча|светоделители]] задаются матрицами <math>B_l = \frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}</math> и <math>B_u = \frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}</math>, что означает, что когда фотон встречает светоделитель, он либо остаётся на том же пути с амплитудой вероятности <math>1/\sqrt{2}</math>, либо отражается на другой путь с амплитудой вероятности <math>1/\sqrt{2}</math> (со сдвигом фазы на π). Зеркало задаётся матрицей <math>M = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\,.</math> Фазовращатель на плече моделируется унитарной матрицей <math>P = \begin{pmatrix} e^{i\Delta\Phi} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>, что означает, что если фотон находится на «верхнем» пути, то он приобретёт относительную фазу <math>\Delta\Phi</math>, или останется неизменным, если он находится на нижнем пути{{sfn|Vedral|2006|p=102}}{{sfn|Marshman and Chandralekha|2016}}.

Фотон, который входит в интерферометр слева, затем подвергается воздействию светоделителя <math>B_l</math>, зеркала, фазовращателя <math>P</math> и ещё одного светоделителя <math>B_u</math>, оказывается в состоянии

: <math>B_uPMB_l\psi_l = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} e^{i\Delta\Phi} + 1 \\ e^{i\Delta\Phi} - 1  \end{pmatrix}\,,</math>

а вероятности того, что он будет обнаружен справа или вверху, равны соответственно

: <math> p(u) = |\langle \psi_u, B_uPMB_l\psi_l \rangle|^2 = \cos^2 \frac{\Delta \Phi}{2}\,,</math>
: <math> p(l) = |\langle \psi_l, B_uPMB_l\psi_l \rangle|^2 = \sin^2 \frac{\Delta \Phi}{2}\,.</math>

Поэтому можно использовать интерферометр Маха — Цендера для оценки [[Фаза колебаний|фазового сдвига]] путём расчёта этих вероятностей{{sfn|Marshman and Chandralekha|2016}}.

Можно также определить, что произошло бы, если бы фотон с определённостью находился либо на «нижнем», либо на «верхнем» пути между светоделителями. Этого можно добиться, заблокировав один из путей или, что то же самое, удалив первый светоделитель (и запуская фотон слева или снизу, по желанию). В обоих случаях между путями больше не будет интерференции, и вероятности определяются выражением <math>p(u)=p(l) = 1/2</math>, независимо от фазы <math>\Delta\Phi</math>. Из этого можно заключить, что фотон не выбирает тот или иной путь после первого светоделителя, а скорее находится в подлинной квантовой суперпозиции двух путей<ref name="vedral">{{Cite book|first=Vlatko|last=Vedral|title=Introduction to Quantum Information Science|year=2006|publisher=Oxford University Press|isbn=9780199215706 |ref=Vedral}}</ref>.

== Приложения ==
Квантовая механика добилась огромных успехов, объяснив многие особенности нашего мира в отношении физических явлений на мелком масштабе, дискретных величин и взаимодействий, которые невозможно объяснить [[Классическая физика|классическими методами]]{{Refn|See, for example, [[the Feynman Lectures on Physics]] for some of the technological applications which use quantum mechanics, e.g., [[transistor]]s (vol '''III''', pp. 14–11 ff), [[integrated circuit]]s, which are follow-on technology in solid-state physics (vol '''II''', pp. 8–6), and [[laser]]s (vol '''III''', pp. 9–13).}}. Квантовая механика часто оказывается единственной теорией, которая может раскрыть индивидуальное поведение [[Субатомная частица|субатомных частиц]], составляющих все формы материи ([[электрон]]ы, [[протон]]ы, [[нейтрон]]ы, [[фотон]]ы и другие). Законы [[Физика твёрдого тела|физики твёрдого тела]] и [[материаловедение|материаловедения]] находят объяснение в квантовой механике<ref name="marvincohen2008">{{Cite journal|author=Cohen|first=Marvin L.|title=Essay: Fifty Years of Condensed Matter Physics|journal=Physical Review Letters|year=2008|volume=101|issue=25|doi=10.1103/PhysRevLett.101.250001|url=http://prl.aps.org/edannounce/PhysRevLett.101.250001|accessdate=31 March 2012|bibcode=2008PhRvL.101y0001C|pmid=19113681|archive-date=2013-01-31|archive-url=https://web.archive.org/web/20130131033326/http://prl.aps.org/edannounce/PhysRevLett.101.250001|deadlink=no}}</ref>.

Во многих аспектах современные технологии работают в таких масштабах, где существенны квантовые эффекты. Важные приложения квантовой теории включают [[Квантовая химия|квантовую химию]], [[Квантовая оптика|квантовую оптику]], [[Квантовый компьютер|квантовые вычисления]], [[Сверхпроводящий магнит|сверхпроводящие магниты]], [[Светодиод|светоизлучающие диоды]], [[EDFA|оптические усилители]] и [[лазер]]ы, [[транзистор]]ы и [[Полупроводник|полупроводники,]] [[микропроцессор]]ы, [[Медицинская визуализация|медицинскую и исследовательскую визуализацию]], такие как [[магнитно-резонансная томография|магнитно-резонансную томографию]] и [[Электронный микроскоп|электронную микроскопию]]<ref>{{cite magazine|last1=Matson|first1=John|title=What Is Quantum Mechanics Good for?|url=http://www.scientificamerican.com/article/everyday-quantum-physics/|magazine=Scientific American|accessdate=18 May 2016|archive-date=2022-01-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20220125184026/https://www.scientificamerican.com/article/everyday-quantum-physics/|deadlink=no}}</ref>. Объяснения многих биологических и физических явлений коренятся в природе химической связи, в первую очередь в макромолекулах [[Дезоксирибонуклеиновая кислота|ДНК]]<ref>The Nobel laureates Watson and Crick cited {{cite book |last= Pauling |first= Linus |authorlink= Linus Pauling |year= 1939 |title= The Nature of the Chemical Bond and the Structure of Molecules and Crystals |publisher= [[Cornell University Press]]}} for chemical bond lengths, angles, and orientations.</ref>.

По сути, вся современная полупроводниковая электроника построена на квантовой механике, поскольку она опирается на знание [[Зонная теория|зонной структуры]] твёрдых тел. Технология позволяет [[Легирование (металлургия)|легировать]] различными элементами слои кремния и создавать транзисторы в нанометровом масштабе. Множество таких элементов составляют компьютерные чипы, на которых работают все технологические устройства: настольные компьютеры, ноутбуки, планшеты, смартфоны, бытовая техника и детские игрушки. Источниками света, используемыми для отправки сообщений по оптоволоконным кабелям, во [[Всемирная сеть|всемирной сети]] — являются лазеры, созданные при помощи знания о квантовых свойствах материалов. Навигация смартфона обеспечивается [[Спутниковая система навигации|Глобальной системой позиционирования]], которая функционирует благодаря знанию точного времени. Приёмник [[GPS]] в вашем телефоне, чтобы определить ваше расстояние от каждого из спутников с [[Атомные часы|атомными часами]] на орбите принимает от них сигнал, чтобы вычислить единственную точку вашего местонахождения с точностью до нескольких метров. Оптический переход, используемый для атомных часов, является сверхтонким переходом. На ядерном магнитном резонансе основаны исследования мягких тканей пациента посредством магнитно-резонансной томографии<ref>{{cite web|author = Orzel, Chad|url = https://www.forbes.com/sites/chadorzel/2015/08/13/what-has-quantum-mechanics-ever-done-for-us/?sh=479812540468|title = What Has Quantum Mechanics Ever Done For Us?|lang = en|website = https://www.forbes.com|publisher = Forbes|date = 2015-08-13|accessdate = 2022-04-20|archive-date = 2022-04-20|archive-url = https://web.archive.org/web/20220420055001/https://www.forbes.com/sites/chadorzel/2015/08/13/what-has-quantum-mechanics-ever-done-for-us/?sh=479812540468|deadlink = no}}</ref>.

== Связь с другими научными теориями ==

=== Классическая механика ===
{{main|Классическая механика}}
[[Файл:Physicsdomains ru.svg|мини|Области применения классической и квантовой механики|300пкс]]
Постулаты квантовой механики гласят, что пространство состояний квантовой системы является [[Гильбертово пространство|гильбертовым пространством]], и что наблюдаемым системы соответствуют [[самосопряжённый оператор|эрмитовые операторы]], действующими на векторы в этом пространстве — хотя они не конкретизируют гильбертово пространство и операторы. Их нужно выбирать соответствующим образом, чтобы получить количественное описание квантовой системы, что является необходимым шагом для предсказания поведения физических систем. Для этого пользуются [[принцип соответствия|принципом соответствия]], эвристикой, которая утверждает, что предсказания квантовой механики сводятся к предсказаниям классической механики в пределе больших [[Квантовое число|квантовых чисел]]<ref name="Tipler">{{Cite book|last1=Tipler|first1=Paul|last2=Llewellyn|first2=Ralph|title=Modern Physics|url=https://archive.org/details/modernphysicsfif00paul|edition=5th|year=2008|publisher=W.H. Freeman and Company|isbn=978-0-7167-7550-8|pages=[https://archive.org/details/modernphysicsfif00paul/page/n177 160]–161}}</ref>. Можно также начать с установленной классической модели конкретной системы, а затем попытаться угадать лежащую в основе квантовую модель, которая сводится к классической модели в пределе соответствия{{sfn|Блохинцев|1976|с=237—241}}. Этот подход известен как [[Каноническое квантование|квантование]]{{sfn|Садовский|2003|с=45}}.

Когда квантовая механика была первоначально сформулирована, она применялась к моделям, пределом соответствия которых была [[Теория относительности|нерелятивистская]] [[классическая механика]]. Например, широко исследованная модель [[Квантовый гармонический осциллятор|квантового гармонического осциллятора]] использует явно нерелятивистское выражение для [[Кинетическая энергия|кинетической энергии]] осциллятора и, таким образом, является квантовой версией [[Гармонический осциллятор|классического гармонического осциллятора]]{{sfn|Флюгге|1974|с=81—84}}.

Сложности квантования возникают с [[Теория хаоса|хаотическими системами]], у которых нет хороших квантовых чисел, и [[квантовый хаос]] изучает взаимосвязь между классическими и квантовыми описаниями в этих системах{{sfn|Haake|2001}}.

[[Декогеренция|Квантовая декогеренция]] — это механизм, посредством которого квантовые системы теряют [[Когерентность (физика)|когерентность]] и, таким образом, становятся неспособными демонстрировать многие типично квантовые эффекты: [[Принцип суперпозиции (квантовая механика)|квантовая суперпозиция]] становится просто суммой вероятностей, а [[квантовая запутанность]] — просто классическими корреляциями. Квантовая когерентность обычно не проявляется в макроскопических масштабах, за исключением случая температур, приближающихся к [[Абсолютный нуль температуры|абсолютному нулю]], при которых квантовое поведение может проявляться макроскопически{{Refn|Смотрите {{iw|Макроскопические квантовые явления||en|macroscopic quantum phenomena}}, [[конденсат Бозе — Эйнштейна]] и [[квантовая машина]]|group=К}}<ref name="Schlosshauer">{{cite journal |last=Schlosshauer |first=Maximilian |year=2005 |title=Decoherence, the measurement problem, and interpretations of quantum mechanics |journal=[[Reviews of Modern Physics]] |volume=76 |issue=4 |pages=1267–1305 |doi=10.1103/RevModPhys.76.1267 |arxiv = quant-ph/0312059 |bibcode = 2004RvMP...76.1267S }}</ref>.

Многие макроскопические свойства классической системы являются прямым следствием квантового поведения её частей. Например, стабильность объёмного вещества (состоящего из атомов и [[Молекула|молекул]], которые быстро разрушились бы под действием одних только электрических сил), жёсткость твёрдых тел, а также механические, термические, химические, оптические и магнитные свойства вещества — всё это результат взаимодействия [[Электрический заряд|электрических зарядов]] по законам квантовой механики<ref>{{Cite web|url=http://academic.brooklyn.cuny.edu/physics/sobel/Nucphys/atomprop.html|title=Atomic Properties|publisher=Academic.brooklyn.cuny.edu|access-date=18 August 2012|archive-date=2012-04-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20120406095616/http://academic.brooklyn.cuny.edu/physics/sobel/Nucphys/atomprop.html|deadlink=no}}</ref>.

Экспериментально наблюдалось проявление квантовых эффектов в макроскопическом масштабе в активном ([[Броуновское движение|броуновском]]) движении гранул с размерами в десятые доли миллиметра в [[Сверхтекучий гелий-4|сверхтекучем гелии]]<ref name="Petrov">{{cite journal |author =Petrov, Oleg F.; Boltnev Roman E.; Vasiliev Mikhail M.|year=2022 |title=Experimental evolution of active Brownian grains driven by quantum effects in superfluid helium |journal=[[Scientific Reports]] |volume=12 |pages=6085 |doi=10.1038/s41598-022-09523-z }}</ref>.

=== Специальная теория относительности и электродинамика ===
{{main|Специальная теория относительности|Электродинамика}}
Ранние попытки объединить квантовую механику со [[Специальная теория относительности|специальной теорией относительности]] включали замену уравнения Шрёдингера ковариантным уравнением, таким как уравнение [[Уравнение Клейна — Гордона|Клейна — Гордона]] или [[уравнение Дирака]]. Хотя эти теории были успешными в объяснении многих экспериментальных результатов, они имели некоторые неудовлетворительные свойства, проистекающие из пренебрежения рождением и аннигиляцией частиц. Полностью релятивистская квантовая теория потребовала развития [[Квантовая теория поля|квантовой теории поля]], которая использует квантование поля, а не фиксированный набор частиц. Первая согласованная квантовая теория поля — [[квантовая электродинамика]], даёт полное описание [[Электромагнетизм|электромагнитного взаимодействия]]. Квантовая электродинамика, наряду с [[Общая теория относительности|общей теорией относительности]], является одной из самых точных когда-либо созданных физических теорий<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=6a-agBFWuyQC&pg=PA61|title=The Nature of Space and Time|date=2010|isbn=978-1400834747|last1=Hawking|first1=Stephen|last2=Penrose|first2=Roger}} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=6a-agBFWuyQC&pg=PA61 |date=20200728102613 }}</ref><ref>
{{Cite journal|author=Tatsumi Aoyama|year=2012|title=Tenth-Order QED Contribution to the Electron g-2 and an Improved Value of the Fine Structure Constant|journal=[[Physical Review Letters]]|volume=109|issue=11|doi=10.1103/PhysRevLett.109.111807|arxiv=1205.5368|bibcode=2012PhRvL.109k1807A|pmid=23005618}}</ref>.

Полный аппарат квантовой теории поля часто не нужен для описания электродинамических систем. Более простой подход, который использовался с момента зарождения квантовой механики, состоит в том, чтобы рассматривать [[Электрический заряд|заряженные]] частицы как объекты квантовой механики, на которые воздействует классическое [[электромагнитное поле]]<ref>{{cite book | last1 = Simmen| first1 = Benjamin | last2 = Reiher| first2 = Markus | title = Many-electron approaches in physics, chemistry and mathematics : a multidisciplinary view |chapter=Relativistic Quantum Theory of Many-Electron Systems| publisher = Springer | location = Cham | year = 2014 |page=4| isbn = 3319063782 }}</ref>. Например, элементарная квантовая модель [[Атом водорода|атома водорода]] описывает [[электрическое поле]] атома водорода с помощью классического <math>\textstyle -e^2/(4 \pi\epsilon_{_0}r)</math> [[Электростатический потенциал|кулоновского потенциала]]{{sfn|Флюгге|1974|с=180}}{{sfn|Griffiths and Schroeter|2018|p=183}}. Этот «полуклассический» подход терпит неудачу, если квантовые флуктуации электромагнитного поля играют важную роль, например, при излучении [[фотон]]ов [[Заряженная частица|заряженными частицами]]<ref>{{статья |автор = Wistisen, Tobias N.|заглавие = Quantum synchrotron radiation in the case of a field with finite extension|оригинал = |ссылка = |издание = Phys. Rev. D|год = 2015|том = 92|страницы = 045045 |doi =10.1103/PhysRevD.92.045045}}</ref>.

Также были разработаны [[Поле (физика)|квантовые]] теории поля для [[Сильное взаимодействие|сильного ядерного взаимодействия]] и [[Слабое взаимодействие|слабого ядерного взаимодействия]]. Квантовая теория поля сильного ядерного взаимодействия называется [[Квантовая хромодинамика|квантовой хромодинамикой]] и описывает взаимодействия субъядерных частиц, таких как [[кварк]]и и [[глюон]]ы. Слабое ядерное взаимодействие и электромагнитное взаимодействие были объединены в их квантованных формах в единую квантовую теорию поля (известную как [[Электрослабое взаимодействие|электрослабая теория]]) физиками [[Абдус Салам|Абдусом Саламом]], [[Глэшоу, Шелдон Ли|Шелдоном Глэшоу]] и [[Вайнберг, Стивен|Стивеном Вайнбергом]]<ref>{{Cite web|url=http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1979/index.html|title=The Nobel Prize in Physics 1979|publisher=Nobel Foundation|access-date=16 December 2020|archive-date=2009-02-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20090226040152/http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1979/index.html|deadlink=no}}</ref>.

=== Отношение к общей теории относительности ===
{{main|Общая теория относительности}}
Несмотря на то, что предсказания как квантовой теории, так и общей теории относительности были подтверждены строгими и повторяющимися [[Эмпирические данные|эмпирическими данными]], их абстрактные формализмы противоречат друг другу, в результате их оказалось чрезвычайно трудно включить в одну непротиворечивую связную модель<ref>«There is as yet no logically consistent and complete relativistic quantum field theory.», p. 4. — V.B. Berestetskii, [[Evgeny Lifshitz|E.M. Lifshitz]], L.P. Pitaevskii (1971). J.B. Sykes, J.S. Bell (translators). ''Relativistic Quantum Theory'' '''4, part I'''. ''Course of Theoretical Physics (Landau and Lifshitz)'' {{isbn|0-08-016025-5}}</ref>. Гравитацией можно пренебречь во многих областях физики элементарных частиц, поэтому объединение общей теории относительности и квантовой механики не является насущной проблемой в этих конкретных приложениях. Однако отсутствие правильной теории [[Квантовая гравитация|квантовой гравитации]] — это важная проблема [[Космология|физической космологии]] и поиска физиками элегантной «[[Теория всего|Теории всего]]». Следовательно, устранение несоответствий между обеими теориями стало главной целью физики 20-го и 21-го веков. Эта теория всего объединит не только модели субатомной физики, но и выведет четыре фундаментальные силы природы из одной силы или явления<ref>{{cite web|url=http://www.damtp.cam.ac.uk/strings02/dirac/hawking/|title=Stephen Hawking; Gödel and the end of physics|date=|work=cam.ac.uk|accessdate=11 September 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20110521123113/http://www.damtp.cam.ac.uk/strings02/dirac/hawking/|archive-date=21 May 2011|url-status=dead}}</ref>.

Одним из предложений для этого является [[теория струн]], которая утверждает, что [[Материальная точка|точечные]] [[Физика элементарных частиц|частицы в физике]] элементарных частиц заменяются [[Размерность пространства|одномерными]] объектами, называемыми [[Квантовая струна|струнами]]. Теория струн описывает, как эти струны распространяются в пространстве и взаимодействуют друг с другом. На масштабах расстояний, превышающих масштаб струны, струна выглядит как обычная частица, а её [[масса]], [[Заряд (физика)|заряд]] и другие свойства определяются [[Вибрация|колебательным]] состоянием струны. В теории струн одно из многих колебательных состояний струны соответствует [[гравитон]]у, квантовомеханической частице, переносчика гравитационного взаимодействия<ref>{{cite book|last1=Becker |first1=Katrin |last2=Becker |first2=Melanie |last3=Schwarz |first3=John |title=String theory and M-theory: A modern introduction |date=2007 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-86069-7}}</ref><ref>{{cite book |last1=Zwiebach |first1=Barton |title=A First Course in String Theory |date=2009 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-88032-9 |author-link=Barton Zwiebach}}</ref>.

Другой популярной теорией является [[петлевая квантовая гравитация]], которая описывает квантовые свойства гравитации и, таким образом, является теорией [[Квантовое пространство-время|квантового пространства-времени]]. Петлевая теория гравитации — это попытка объединить и адаптировать стандартную квантовую механику и стандартную общую теорию относительности. Эта теория описывает пространство как чрезвычайно тонкую ткань, «сотканную» из конечных петель, называемых [[Спиновая сеть|спиновыми сетями]]. Эволюция спиновой сети во времени называется [[пена спина|спиновой пеной]]. Характерным масштабом длины спиновой пены является [[планковская длина]], приблизительно равная 1,616 × 10<sup>−35</sup> м, поэтому длины короче планковской длины не имеют физического смысла в петлевой теории гравитации<ref>{{Cite book|last1=Rovelli|first1=Carlo|url=https://books.google.com/books?id=w6z0BQAAQBAJ|title=Covariant Loop Quantum Gravity: An Elementary Introduction to Quantum Gravity and Spinfoam Theory|last2=Vidotto|first2=Francesca|date=13 November 2014|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-316-14811-2|language=en}} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=w6z0BQAAQBAJ |date=20220118183310 }}</ref>.

== Философские последствия ==
{{main|Интерпретация квантовой механики}}
С момента своего создания многие результаты и нелогичные аспекты квантовой механики вызывали сильные [[Философия|философские]] споры и возникновение множества [[Интерпретация квантовой механики|интерпретаций]]. Дискуссии затрагивают вероятностную природу квантовой механики, трудности с [[Редукция фон Неймана|коллапсом волновой функции]] и связанных с этим [[Проблема измерения|проблему измерения]], а также [[Квантовая нелокальность|квантовую нелокальность]]. Возможно, единственный консенсус, который существует по этим вопросам, заключается в отсутствие консенсуса. [[Фейнман, Ричард|Ричард Фейнман]] однажды сказал: «Думаю, я могу с уверенностью сказать, что никто не понимает квантовую механику»<ref>{{Cite book|last=Feynman|first=Richard|title=The Character of Physical Law|title-link=The Character of Physical Law|publisher=MIT Press|year=1967|isbn=0-262-56003-8|pages=[https://archive.org/details/characterphysica00feyn_995/page/n131 129]|language=en|author-link=Richard Feynman}}</ref>. По словам [[Вайнберг, Стивен|Стивена Вайнберга]]: «на мой взгляд, в настоящее время нет полностью удовлетворительной интерпретации квантовой механики»<ref>{{Cite journal|arxiv=1109.6462|doi=10.1103/PhysRevA.85.062116|title=Collapse of the state vector|journal=Physical Review A|volume=85|issue=6|pages=062116|year=2012|author=Weinberg|first=Steven|bibcode=2012PhRvA..85f2116W}}</ref>.

Взгляды [[Бор, Нильс|Нильса Бора]], [[Гейзенберг, Вернер|Вернера Гейзенберга]] и других физиков на квантовую механику часто объединяют в «[[Копенгагенская интерпретация|копенгагенскую интерпретацию]]»<ref>{{Cite journal|author=Howard|first=Don|date=December 2004|title=Who Invented the 'Copenhagen Interpretation'? A Study in Mythology|url=https://www.journals.uchicago.edu/doi/10.1086/425941|journal=Philosophy of Science|language=en|volume=71|issue=5|pages=669–682|doi=10.1086/425941|issn=0031-8248|access-date=2022-01-26|archive-date=2022-01-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20220118182350/https://www.journals.uchicago.edu/doi/10.1086/425941|deadlink=no}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Camilleri|first=Kristian|date=May 2009|title=Constructing the Myth of the Copenhagen Interpretation|url=http://www.mitpressjournals.org/doi/10.1162/posc.2009.17.1.26|journal=Perspectives on Science|language=en|volume=17|issue=1|pages=26–57|doi=10.1162/posc.2009.17.1.26|issn=1063-6145|access-date=2022-01-26|archive-date=2020-09-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20200915042835/https://www.mitpressjournals.org/doi/10.1162/posc.2009.17.1.26|deadlink=no}}</ref>. Согласно этим взглядам, вероятностный характер квантовой механики — это не ''временное'' свойство, которое в будущем будет заменено детерминистской теорией, а ''окончательный'' отказ от классической идеи «причинности». Бор, в частности, подчёркивал, что любое чётко определённое применение квантовомеханического формализма всегда должно ссылаться на экспериментальную установку из-за [[Принцип дополнительности|взаимодополняющего]] характера результатов, полученных в различных экспериментальных ситуациях. Интерпретации копенгагенского типа остаются популярными и в 21 веке<ref name=":25">{{Cite journal|author=Schlosshauer|first=Maximilian|date=1 August 2013|title=A snapshot of foundational attitudes toward quantum mechanics|journal=Studies in History and Philosophy of Science Part B|volume=44|issue=3|pages=222–230|arxiv=1301.1069|bibcode=2013SHPMP..44..222S|doi=10.1016/j.shpsb.2013.04.004}}</ref>.

[[Эйнштейн, Альберт|Альберта Эйнштейна]], одного из основателей [[Старая квантовая теория|квантовой теории]], беспокоило её явное несоблюдение некоторых заветных метафизических принципов, таких как [[детерминизм]] и [[Принцип локальности|локальность]]. Давний обмен мнениями между Эйнштейном и Бором о значении и статусе квантовой механики теперь известен как [[Дискуссия Бора и Эйнштейна|дебаты Бора и Эйнштейна]]. Эйнштейн считал, что в основе квантовой механики должна лежать теория, явно запрещающая [[Дальнодействие и короткодействие|действие на расстоянии]]. Он утверждал, что квантовая механика была неполной; теория была верной, но не фундаментальной, аналогично тому, как [[Термодинамика|верна термодинамика]], но фундаментальной теорией, лежащей в её основе, является [[статистическая механика]]. В 1935 году Эйнштейн и его сотрудники [[Подольский, Борис Яковлевич|Борис Подольский]] и [[Розен, Натан|Натан Розен]] опубликовали аргумент о том, что принцип локальности подразумевает неполноту квантовой механики. Их [[мысленный эксперимент]], позже назовут [[Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена|парадоксом Эйнштейна — Подольского — Розена]] (ЭПР){{Refn|The published form of the EPR argument was due to Podolsky, and Einstein himself was not satisfied with it. In his own publications and correspondence, Einstein used a different argument to insist that quantum mechanics is an incomplete theory.<ref name="spekkens">{{cite journal|first1=Nicholas |last1=Harrigan |first2=Robert W. |last2=Spekkens |title=Einstein, incompleteness, and the epistemic view of quantum states |journal=[[Foundations of Physics]] |volume=40 |issue=2 |pages=125 |year=2010 |doi=10.1007/s10701-009-9347-0 |arxiv=0706.2661|bibcode=2010FoPh...40..125H }}</ref><ref name="howard">{{cite journal |last1=Howard |first1=D. |title=Einstein on locality and separability |journal=Studies in History and Philosophy of Science Part A |date=1985 |volume=16 |issue=3 |pages=171–201 |doi=10.1016/0039-3681(85)90001-9}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Sauer|first=Tilman|date=1 December 2007|title=An Einstein manuscript on the EPR paradox for spin observables|url=http://philsci-archive.pitt.edu/3222/|journal=Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics|language=en|volume=38|issue=4|pages=879–887|doi=10.1016/j.shpsb.2007.03.002|issn=1355-2198|bibcode=2007SHPMP..38..879S|citeseerx=10.1.1.571.6089|access-date=2022-01-26|archive-date=2022-01-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20220118230746/http://philsci-archive.pitt.edu/3222/|deadlink=no}}</ref><ref>{{cite encyclopedia |last=Einstein |first=Albert |title=Autobiographical Notes |encyclopedia=Albert Einstein: Philosopher-Scientist |year=1949 |publisher=Open Court Publishing Company |editor-last=Schilpp |editor-first=Paul Arthur}}</ref>}}. В 1964 году [[Белл, Джон Стюарт|Джон Белл]] показал, что принцип локальности ЭПР вместе с детерминизмом на самом деле несовместимы с квантовой механикой: они подразумевают ограничения на корреляции, создаваемые системами на расстоянии, теперь известные как [[неравенства Белла]], которые могут нарушаться запутанными частицами<ref>{{Cite journal|author=Bell|first=J. S.|authorlink=John Stewart Bell|date=1 November 1964|title=On the Einstein Podolsky Rosen paradox|journal=[[Physics Physique Fizika]]|language=en|volume=1|issue=3|pages=195–200|doi=10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195}}</ref>. С тех пор было проведено {{iw|Проверка неравенств Белла|несколько опытов|en|Bell test}}, в которых измерялись эти корреляции, в результате чего оказалось, что неравенства Белла действительно нарушаются и, таким образом, фальсифицируют соединение локальности с детерминизмом<ref name="wiseman15" /><ref name="wolchover17" />.

[[Теория де Бройля — Бома|Бомовская механика]] показывает, что можно переформулировать квантовую механику, сделав её детерминированной, ценой явной нелокальности. Она приписывает физической системе не только волновую функцию, но и реальное положение, которое детерминистически развивается под нелокальным управляющим уравнением. Эволюция физической системы во все времена задаётся [[Уравнение Шрёдингера|уравнением Шрёдингера]] вместе с ведущим уравнением; никогда не бывает коллапса волновой функции. Этот подход разрешает проблему измерения<ref>{{Cite book|last=Goldstein|first=Sheldon|chapter=Bohmian Mechanics|title=Stanford Encyclopedia of Philosophy|year=2017|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University}}</ref>.

Многомировая [[Многомировая интерпретация|интерпретация]] Эверетта, сформулированная в 1956 году, утверждает, что ''все'' возможности, описываемые квантовой теорией, ''одновременно'' возникают в мультивселенной, состоящей в основном из независимых параллельных вселенных. Это исключает проблему коллапса волнового пакета, поскольку все возможные состояния измеряемой системы и измерительного прибора вместе с наблюдателем присутствуют в реальной физической [[Принцип суперпозиции (квантовая механика)|квантовой суперпозиции]]. В то время как мультивселенная детерминирована, мы воспринимаем недетерминистическое поведение, управляемое вероятностями, потому что мы не наблюдаем мультивселенную в целом, а только одну параллельную вселенную в каждый момент времени. Как именно это должно работать, было предметом многочисленных споров. Было предпринято несколько попыток вывода правила Борна<ref name=dewitt73>{{cite book |editor-last1=DeWitt |editor-first1=Bryce |editor-link1=Bryce DeWitt |editor-last2=Graham |editor-first2=R. Neill |last1=Everett |first1=Hugh |author-link1=Hugh Everett III |last2=Wheeler |first2=J. A. |author-link2=John Archibald Wheeler |last3=DeWitt |first3=B. S. |author-link3=Bryce DeWitt |last4=Cooper |first4=L. N. |author-link4=Leon Cooper |last5=Van Vechten |first5=D. |last6=Graham |first6=N. |title=The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics |series=Princeton Series in Physics |publisher=[[Princeton University Press]] |location=Princeton, NJ |year=1973 |isbn=0-691-08131-X |page=v }}</ref><ref name="wallace2003">{{cite journal|last1=Wallace|first1=David|year=2003|title=Everettian Rationality: defending Deutsch's approach to probability in the Everett interpretation|journal=Stud. Hist. Phil. Mod. Phys.|volume=34|issue=3|pages=415–438|arxiv=quant-ph/0303050|bibcode=2003SHPMP..34..415W|doi=10.1016/S1355-2198(03)00036-4 }}</ref> без единого мнения о том, были ли они успешными<ref name="ballentine1973">{{cite journal|first1=L. E. |last1=Ballentine|date=1973|title=Can the statistical postulate of quantum theory be derived? – A critique of the many-universes interpretation|url=https://archive.org/details/sim_foundations-of-physics_1973_3_2/page/229 |journal=Foundations of Physics|volume=3|issue=2|pages=229–240|doi=10.1007/BF00708440|bibcode=1973FoPh....3..229B }}</ref><ref>{{cite book|first=N. P. |last=Landsman |chapter=The Born rule and its interpretation |chapter-url=http://www.math.ru.nl/~landsman/Born.pdf |quote=The conclusion seems to be that no generally accepted derivation of the Born rule has been given to date, but this does not imply that such a derivation is impossible in principle. |title=Compendium of Quantum Physics |editor-first1=F. |editor-last1=Weinert |editor-first2=K. |editor-last2=Hentschel |editor-first3=D. |editor-last3=Greenberger |editor-first4=B. |editor-last4=Falkenburg |publisher=Springer |year=2008 |isbn=978-3-540-70622-9}}</ref><ref name="kent2009">{{Cite book|last1=Kent|first1=Adrian|author-link=Adrian Kent|title=Many Worlds? Everett, Quantum Theory and Reality|publisher=Oxford University Press|year=2010|editor=S. Saunders|chapter=One world versus many: The inadequacy of Everettian accounts of evolution, probability, and scientific confirmation|arxiv=0905.0624|bibcode=2009arXiv0905.0624K|editor2=J. Barrett|editor3=A. Kent|editor4=D. Wallace}}</ref>.

[[Реляционная квантовая механика]] появилась в конце 1990-х годов как современная производная от идей копенгагенского типа<ref>{{Cite journal|author=Van Fraassen|first=Bas C.|authorlink=Bas van Fraassen|date=April 2010|title=Rovelli's World|url=http://link.springer.com/10.1007/s10701-009-9326-5|journal=[[Foundations of Physics]]|language=en|volume=40|issue=4|pages=390–417|doi=10.1007/s10701-009-9326-5|bibcode=2010FoPh...40..390V|issn=0015-9018|access-date=2022-01-26|archive-date=2022-10-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20221007183608/https://link.springer.com/article/10.1007/s10701-009-9326-5|deadlink=no}}</ref>, а несколько лет спустя была разработана теория [[Квантовое байесианство|квантового байесианства]]<ref name=":23">{{Cite book|last=Healey|first=Richard|title=[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|year=2016|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|chapter=Quantum-Bayesian and Pragmatist Views of Quantum Theory|chapter-url=https://plato.stanford.edu/entries/quantum-bayesian/}}</ref>.

== Примечания ==
;Комментарии
<references group="К"/>

;Источники
{{Примечания}} 

== Литература ==
{{Refbegin|2}}
;На русском языке
* Альбеверио С., Гестези Ф., Хёэг-Крон Р., Хольден Х. Решаемые модели квантовой механики. М.: [[Мир (издательство)|Мир]], 1991. — 568 с.
* ''[[Блохинцев, Дмитрий Иванович|Блохинцев Д. И.]]'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Blohincev1966ru.djvu Принципиальные вопросы квантовой механики.] {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Blohincev1966ru.djvu |date=20071111044450 }} М.: [[Наука (издательство)|Наука]], 1966.
* {{книга | автор = [[Блохинцев, Дмитрий Иванович|Блохинцев Д. И.]]| часть = | заглавие = Основы квантовой механики | ссылка = http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Blohincev1976ru.djvu| издание = 5-е изд| ответственный = | место = М.| издательство = Наука| год = 1976| том = | страницы = | страниц = 664 | isbn = |ref=Блохинцев}}
* {{книга | автор = Боум А.| часть = | заглавие = Квантовая механика: основы и приложения| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = | место =М. | издательство = Мир| год = 1990| том = | страницы = | страниц =720 | isbn = 5-03-001311-3}}
* {{Книга:Физическая энциклопедия|2 | автор = Герштейн  С. С., Берестецкий В. Б.| статья = Квантовая механика| ссылка = http://femto.com.ua/articles/part_1/1557.html | страницы = }}
* {{книга | автор = [[Давыдов, Александр Сергеевич|Давыдов А. С.]]| часть = | заглавие = Квантовая механика| оригинал = | ссылка = | издание = 3-е изд| ответственный = | место = СПб.| издательство = БХВ-Петербург| год = 2011| том = | страницы = | страниц =704 | isbn = 978-5-9775-0548-2}}
* {{книга | автор= [[Джеммер, Макс]] | заглавие= Эволюция понятий квантовой механики | ответственный = Пер. с англ. / Под ред. Л. И. Пономарёва | место= М. | издательство= Наука | год= 1985| страниц= 384|ref=Джеммер}}
* ''Дирак П. А. М.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Dirak1979ru.djvu Принципы квантовой механики] {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Dirak1979ru.djvu |date=20071111051227 }} (2-е издание), — {{М}}: Наука, 1979.
* ''[[Поль Дирак|Дирак П.]]'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Dirak1979ru.djvu Принципы квантовой механики]. 2-е изд. {{М.}}: Наука, 1979. — 480 с. {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Dirak1979ru.djvu |date=20071111051227 }}
* {{книга | автор = Иванов М. Г.| часть = | заглавие = Как понимать квантовую механику| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = | место = М.-Ижевск| издательство = НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»| год = 2012| том = | страницы = | страниц = 516| isbn = 978-5-93972-944-4|ref=Иванов}}
* Начальные главы квантовой механики / ''[[Карлов, Николай Васильевич|Н. В. Карлов]], [[Кириченко, Николай Александрович (физик)|Н. А. Кириченко]]'' — М. : [[Физматлит]], 2004 (ОАО Моск. тип. ј 6). — 359 с. : ил., табл.; 22 см; ISBN 5-9221-0538-8
* {{книга | автор = [[Коэн-Таннуджи, Клод|Коэн-Таннуджи К.]], Диу Б., Лалоэ Ф.| часть = | заглавие = Квантовая механика| оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = Пер. с франц.| место =Екатеринбург | издательство = [[Уральский федеральный университет|Изд-во Уральского ун-та]]| год = 2000| том = Т.1| страницы = | страниц = 944| isbn = 5-7525-1131-3|ref=Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ}}
* ''Коэн-Таннуджи К., Диу Б., Лалоэ Ф.'' Квантовая механика. Т.2. Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 2000. — 800 с.
* {{Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика|2004}}
* ''Липкин А. И.'' [https://mipt.ru/education/chair/philosophy/textbooks/lipkin.php Основания физики. Взгляд из теоретической физики.] {{Wayback|url=https://mipt.ru/education/chair/philosophy/textbooks/lipkin.php |date=20170816192313 }} М.: [[URSS]], 2014.— 207 с.
* {{книга | автор = Милантьев, Владимир Петрович | заглавие = История возникновения квантовой механики и развитие представлений об атоме | ссылка = https://archive.org/details/isbn_5397001465 | место = М.| издательство = Книжный дом «[[Либроком]]»| год = 2009 | страницы = [https://archive.org/details/isbn_5397001465/page/n187 188]| страниц = 248| isbn = 978-5-397-00146-5|ref=Милантьев}}
* ''[[Мотт, Невилл Франсис|Мотт Н.]], [[Снеддон, Иан|Снеддон И.]] ''Волновая механика и её применения. — {{М.}}, [[Наука (издательство)|Наука]], 1966. — Тираж 9400 экз. — 427 с.
* ''[[Нейман, Джон фон|Нейман И.]]'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Neumann1964ru.djvu Математические основы квантовой механики] {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Neumann1964ru.djvu |date=20071111053032 }}, — {{М.}}: Наука, 1964.
* ''Паули В.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Pauli1947-2ru.djvu Общие принципы волновой механики] {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Pauli1947-2ru.djvu |date=20071110211259 }}, — {{М.}} — {{Л.}}: [[ГИТТЛ]], 1947.
* Леонард Сасскинд, Арт Фриман — Квантовая механика: теоретический минимум / пер. с англ. А. Сергеев. — {{СПб.}}: [[Питер (издательство)|Питер]], 2015. — 400 с.
* {{книга |автор = [[Садовский Михаил Виссарионович|Садовский М. В.]] |заглавие = Лекции по квантовой теории поля |город = Ижевск |издательство = Институт компьютерных исследований |год = 2003 |страниц = 480 |ссылка = http://sadovski.iep.uran.ru/RUSSIAN/LTF/Q_fields.pdf |isbn=5-93972-241-5|ref=Садовский}}
* ''Степанов Н. Ф.'' Квантовая механика и квантовая химия.— 2013.
* [http://ivanik3.narod.ru/linksSadberiA.html ''Садбери А.'' Квантовая механика и физика элементарных частиц]. {{М.}}: Мир, 1989. — 488 с. {{Wayback|url=http://ivanik3.narod.ru/linksSadberiA.html |date=20140424193159 }}
* ''Шифф Л.'' Квантовая механика. Рипол Классик, 2013.
* [[Фаддеев, Людвиг Дмитриевич|''Фаддеев Л. Д.]], ''Якубовский О. А.'' [http://lib.prometey.org/?id=15484&page=4 Лекции по квантовой механике для студентов-математиков.] {{Wayback|url=http://lib.prometey.org/?id=15484&page=4 |date=20140424200424 }} {{Л.}}, [[Издательство ЛГУ|Изд-во ЛГУ]], 1980. — 200 c.
* ''[[Фейнман, Ричард Филлипс|Фейнман Р.]], Лейтон Р., Сэндс М.'' Феймановские лекции по физике. Пер. с англ., [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/FejnmanLejtonSends_t8_1966ru.djvu Том. 8.] {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/FejnmanLejtonSends_t8_1966ru.djvu |date=20071109155704 }} [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/FejnmanLejtonSends_t9_1967ru.djvu Том 9.] {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/FejnmanLejtonSends_t9_1967ru.djvu |date=20071109153732 }}, {{М.}}, 1966—1967.
* {{книга | автор = Флюгге Зигфрид| часть = | заглавие = Задачи по квантовой механике | оригинал = | ссылка = | издание = | ответственный = Пер. с англ. / Под ред. А. А. Соколова| место = М.| издательство = Мир| год = 1974| том = 1| страницы = | страниц = 344| isbn = |ref=Флюгге}}
* ''[[Фущич, Вильгельм Ильич|Фущич В. И.]], [[Никитин, Анатолий Глебович|Никитин А. Г.]]'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/FushchichNikitin1990ru.djvu Симметрия уравнений квантовой механики] {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/FushchichNikitin1990ru.djvu |date=20120113072624 }}, — {{М.}}: Наука, 1990.
* {{книга |автор = Ченг Т.-П., Ли Л.-Ф |заглавие = Калибровочные теории в физике элементарных частиц |ответственный = |город = М. |издательство = Мир |год = 1987 |страниц = 624|ref= Ченг и Ли}}
* ''Шрёдингер Э.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Shredinger1976ru.djvu Избранные труды по квантовой механике] {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Shredinger1976ru.djvu |date=20071110210934 }}, — {{М.}}: Наука, 1976.

;На английском языке
* {{cite book | last = Auletta | first = Gennaro |author-link=:en:Gennaro Auletta| title = Foundations and interpretation of quantum mechanics : in the light of a critical-historical analysis of the problems and of a synthesis of the results | publisher = [[World Scientific]] | location = Singapore River Edge, NJ | year = 2000 | isbn = 9810240392 |ref=Auletta}}
* {{cite book |last=von Neumann |first=John |author-link=John von Neumann |year=1955 |title=Mathematical Foundations of Quantum Mechanics |url=https://archive.org/details/mathematicalfoun0613vonn |url-access=registration |publisher=[[Princeton University Press]] |isbn=978-0-691-02893-4 }}
* {{cite book | author=Transnational College of Lex| title=What is Quantum Mechanics? A Physics Adventure | publisher=Language Research Foundation|location=Boston |year=1996 |isbn=978-0-9643504-1-0 | oclc=34661512| author-link=Transnational College of Lex }}
{{Refend}}

{{ВС}}
{{Разделы квантовой физики}}
{{Хорошая статья|Физика}}

[[Категория:Квантовая механика]]