Просмотр кода страницы Теоремы Гёделя о неполноте

{{Значения|Теорема Гёделя}}
'''Теорема Гёделя о неполноте''' и '''вторая теорема Гёделя'''{{#tag:ref|Иногда упоминается как вторая теорема Гёделя «о доказательствах непротиворечивости»<ref>Клини 1957 с.513</ref>, «о неполноте»<ref>{{Cite web |url=http://lpcs.math.msu.su/vml2009/ |title=чл.-корр. РАН Лев Дмитриевич Беклемишев в «Введении в математическую логику» |access-date=2010-01-07 |archive-date=2009-03-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090321120047/http://lpcs.math.msu.su/vml2009/ |deadlink=no }}</ref><ref>Толковый словарь по вычислительным системам - Page 205</ref><ref>Доклады Академии наук СССР, Volume 262 - Page 799 (1982)</ref>, «о неполноте арифметики»<ref>Известия Академии наук СССР, Volume 50 - Page 1140 (1986)</ref>.|group=~}} — две теоремы [[Математическая логика|математической логики]] о принципиальных ограничениях [[Формальная арифметика|формальной арифметики]] и, как следствие, всякой [[Формальная система|формальной системы]], в которой можно определить основные арифметические понятия: [[натуральные числа]], [[0 (число)|0]], [[1 (число)|1]], [[сложение]] и [[умножение]].

Первая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула.

Вторая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики.

Обе эти теоремы были доказаны [[Гёдель, Курт|Куртом Гёделем]] в 1930 году (опубликованы в 1931) и имеют непосредственное отношение ко [[Вторая проблема Гильберта|второй проблеме]] из знаменитого [[Проблемы Гильберта|списка Гильберта]].

== История ==
Ещё в начале XX века [[Давид Гильберт]] провозгласил цель аксиоматизировать всю математику, и для завершения этой задачи оставалось доказать непротиворечивость и [[Формальная система|логическую полноту]] арифметики [[Натуральное число|натуральных чисел]]. 7 сентября 1930 года в [[Кёнигсберг]]е проходил научный конгресс по основаниям математики, и на этом конгрессе 24-летний [[Курт Гёдель]] впервые обнародовал две фундаментальные теоремы о неполноте, показавшие, что программа Гильберта не может быть реализована: при любом выборе аксиом арифметики существуют теоремы, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть простыми (''финитными'') средствами, предусмотренными Гильбертом, а финитное доказательство непротиворечивости арифметики невозможно<ref name="PIN13" />.

Это выступление не было заявлено заранее и произвело ошеломляющий эффект, Гёдель сразу стал всемирной знаменитостью, а программа Гильберта по формализации основ математики потребовала срочного пересмотра. 23 октября 1930 года результаты Гёделя были представлены [[Венская академия наук|Венской академии наук]] [[Хан, Ханс|Хансом Ханом]]. Статья с обеими теоремами («''О принципиально неразрешимых положениях в системе Principia Mathematica и родственных ей системах''») была опубликована в научном ежемесячнике ''Monatshefte für Mathematik und Physik'' в 1931 году. Хотя доказательство второй теоремы Гёдель дал только в виде идеи, его результат был настолько ясен и неоспорим, что не вызвал сомнений ни у кого. Гильберт сразу признал ценность открытий Гёделя. Первые полные доказательства обеих теорем были опубликованы в книге Гильберта и [[Бернайс, Пауль|Бернайса]] «Основания математики» в 1938 году. В предисловии ко второму тому авторы признали, что для достижения поставленной цели финитных методов недостаточно, и добавили в число логических средств [[Трансфинитная индукция|трансфинитную индукцию]]. В 1936 году [[Герхард Генцен]] сумел {{нп5|Доказательство непротиворечивости Генцена|доказать||Gentzen's consistency proof}} непротиворечивость аксиом [[Арифметика Пеано|арифметики первого порядка]], однако логическая полнота так и осталась недостижимой{{sfn |Пиньейро|2015|с=13, 48—49, 66, 89—90|name=PIN13}}.

== Теорема Гёделя о неполноте ==

=== В первоначальной форме ===
В своей формулировке теоремы о неполноте Гёдель использовал понятие ω-непротиворечивой формальной системы — более сильное условие, чем просто непротиворечивость. Формальная система называется ''ω-непротиворечивой'', если для всякой формулы ''A''(''x'') этой системы невозможно одновременно вывести формулы ''А''('''0'''), ''А''('''1'''), ''А''('''2'''), … и ∃''x'' ¬''A''(''x'') (другими словами, из того, что для каждого натурального числа ''n'' выводима формула ''A''('''''n'''''), следует невыводимость формулы ∃''x'' ¬''A''(''x'')). Легко показать, что ω-непротиворечивость влечёт простую непротиворечивость (то есть любая ω-непротиворечивая формальная система непротиворечива)<ref name=autogenerated1>Клини 1957 с.187</ref>.

В процессе доказательства теоремы строится такая формула ''A'' арифметической формальной системы S, что<ref name=autogenerated1 />:

: ''Если формальная система ''S'' непротиворечива, то формула A невыводима в ''S''; если система ''S'' ω-непротиворечива, то формула ¬A невыводима в ''S''. Таким образом, если система ''S'' ω-непротиворечива, то она неполна<ref group=~ name="df_i">Формальная система, содержащая неразрешимую, то есть невыводимую и неопровержимую, формулу, называется неполной.</ref> и A служит примером неразрешимой формулы.''

Формулу ''A'' иногда называют ''гёделевой неразрешимой формулой''<ref>Мендельсон 1971 с.165</ref>.

==== Интерпретация неразрешимой формулы ====

В стандартной интерпретации<ref group=~ name="si">Интерпретация формул теории S называется стандартной, если её областью является множество неотрицательных целых чисел, символ 0 интерпретируется числом 0, функциональные буквы ', +, • интерпретируются прибавлением единицы, сложением и умножением соответственно, предикатная буква = интерпретируется отношением тождества.</ref> формула ''A'' означает «не существует вывода формулы ''A''», то есть утверждает свою собственную невыводимость в S. Следовательно, по теореме Гёделя, если только система S непротиворечива, то эта формула и в самом деле невыводима в S и потому истинна в стандартной интерпретации. Таким образом, для натуральных чисел формула ''A'' верна, но в S невыводима<ref>Это рассуждение заимствовано из Мендельсон 1971 с.160</ref>.

=== В форме Россера ===

В процессе доказательства теоремы строится такая формула ''B'' арифметической формальной системы S, что<ref>См., например, Клини 1957 с.188</ref>:

: ''Если формальная система ''S'' непротиворечива, то в ней невыводимы обе формулы B и ¬B; иначе говоря, если система S непротиворечива, то она неполна<ref group=~ name="df_i" />, и B служит примером неразрешимой формулы.''

Формулу ''B'' иногда называют ''россеровой неразрешимой формулой''<ref>Мендельсон 1971 с.162</ref>. Эта формула немного сложнее гёделевой.

==== Интерпретация неразрешимой формулы ====

В стандартной интерпретации<ref group=~ name="si" /> формула ''B'' означает «если существует вывод формулы ''B'', то существует вывод формулы ¬''B''». Согласно же теореме Гёделя в форме Россера, если формальная система S непротиворечива, то формула ''B'' в ней невыводима; поэтому, если система S непротиворечива, то формула ''B'' верна в стандартной интерпретации<ref>Мендельсон 1971 с.162-163</ref>.

=== Обобщённые формулировки ===

Доказательство теоремы Гёделя обычно проводят для конкретной формальной системы (не обязательно одной и той же), соответственно утверждение теоремы оказывается доказанным только для одной этой системы. Исследование достаточных условий, которым должна удовлетворять формальная система для того, чтобы можно было провести доказательство её неполноты, приводит к обобщениям теоремы на широкий класс формальных систем. Пример обобщённой формулировки<ref>Мендельсон 1971 с.176</ref>:

: ''Всякая достаточно сильная рекурсивно аксиоматизируемая непротиворечивая теория первого порядка неполна.''

В частности, теорема Гёделя справедлива для каждого непротиворечивого конечно аксиоматизируемого расширения арифметической формальной системы S.

=== Полиномиальная форма ===
После того как [[Юрий Матиясевич]] доказал [[диофантовость]] любого эффективно перечислимого множества и были найдены примеры универсальных [[диофантово уравнение|диофантовых уравнений]], появилась возможность сформулировать теорему о неполноте в полиномиальной (или диофантовой) форме<ref>[http://www.ams.org/bull/1980-03-02/S0273-0979-1980-14832-6/S0273-0979-1980-14832-6.pdf Jones J. P., Undecidable diophantine equations]</ref><ref>{{Cite web |url=http://www.uc09.uac.pt/Presentations/Tutorials/Martin_Davis/Tutorial_I.pdf |title=Martin Davis, Diophantine Equations & Computation |access-date=2009-11-17 |archive-date=2010-05-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100524162921/http://www.uc09.uac.pt/Presentations/Tutorials/Martin_Davis/Tutorial_I.pdf |deadlink=yes }}</ref><ref>{{Cite web |url=http://www.ams.org/notices/200604/fea-davis.pdf |title=Martin Davis, The Incompleteness Theorem |access-date=2011-11-30 |archive-date=2016-03-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304052239/http://www.ams.org/notices/200604/fea-davis.pdf |deadlink=no }}</ref><ref>{{Cite web |url=http://www.ltn.lv/~podnieks/gt_rus/gram6.htm#glava65 |title=К. Подниекс, Теорема Геделя в диофантовой форме |access-date=2009-11-17 |archive-date=2017-09-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170910065127/http://www.ltn.lv/~podnieks/gt_rus/gram6.htm#glava65 |deadlink=no }}</ref>:

: ''Для каждой непротиворечивой теории ''T'' можно указать такое целое значение параметра K, что уравнение
:: <math>\begin{align}&(elg^2 + \alpha - (b - xy) q^2)^2 + (q - b^{5^{60}})^2 + (\lambda + q^4 - 1 - \lambda b^5)^2 + \\
&(\theta + 2z - b^5)^2 + (u + t \theta - l)^2 + (y + m \theta - e)^2 + (n - q^{16})^2 + \\
&((g + eq^3 + lq^5 + (2(e - z \lambda)(1 + xb^5 + g)^4 + \lambda b^5 + \lambda b^5 q^4)q^4)(n^2 - n) + \\
&(q^3 - bl + l + \theta \lambda q^3 + (b^5-2)q^5)(n^2 - 1) - r)^2 + \\
&(p - 2w s^2 r^2 n^2)^2 + (p^2 k^2 - k^2 + 1 - \tau^2)^2 + \\
&(4(c - ksn^2)^2 + \eta - k^2)^2 + (r + 1 + hp - h - k)^2 + \\
&(a - (wn^2 + 1)rsn^2)^2 + (2r + 1 + \phi - c)^2 + \\
&(bw + ca - 2c + 4\alpha \gamma - 5\gamma - d)^2 + \\
&((a^2 - 1)c^2 + 1 - d^2)^2 + ((a^2 - 1)i^2c^4 + 1 - f^2)^2 + \\
&(((a + f^2(d^2 - a))^2 - 1) (2r + 1 + jc)^2 + 1 - (d + of)^2)^2 + \\
&(((z+u+y)^2+u)^2 + y-K)^2 = 0
\end{align}</math>

: ''не имеет решений в неотрицательных целых числах, но этот факт не может быть доказан в теории ''T''. Более того, для каждой непротиворечивой теории множество значений параметра K, обладающих таким свойством, [[Бесконечное множество|бесконечно]] и [[Перечислимое множество|алгоритмически неперечислимо]].

Степень данного уравнения может быть понижена до 4 ценой увеличения количества переменных.

=== Набросок доказательства ===

В своей статье Гёдель даёт набросок основных идей доказательства<ref>{{статья |автор = Gödel, Kurt |заглавие = On Formally Undecidable Propositions of the Principia Mathematica and Related Systems. I |год = 1931}} в книге {{книга |автор = Davis, Martin (ed.) |заглавие = The Undecidable: Basic Papers On Undecidable Propositions, Unsolvable Problems And Computable Functions |ссылка = https://archive.org/details/undecidablebasic0000davi |место = New York |издательство = Raven Press |год = 1965 |страницы = [https://archive.org/details/undecidablebasic0000davi/page/6 6]-8}}</ref>, который приведён ниже с незначительными изменениями.

Каждому примитивному символу, выражению и последовательности выражений некоторой формальной системы<ref group=~>Гёдель использовал систему [[Principia Mathematica]] Уайтхеда и Рассела с оговоркой, что рассуждения применимы к широкому классу формальных систем</ref> S поставим в соответствие определённое натуральное число<ref group=~>Подобное сопоставление формул и натуральных чисел называется арифметизацией математики и было осуществлено Гёделем впервые. Эта идея впоследствии стала ключом к решению многих важных задач математической логики. См. [[Нумерация Гёделя|Гёделева нумерация]]</ref>. Математические понятия и утверждения таким образом становятся понятиями и утверждениями о натуральных числах, и, следовательно, сами могут быть выражены в символизме системы S. Можно показать, в частности, что понятия «формула», «вывод», «выводимая формула» определимы внутри системы S, то есть можно восстановить, например, формулу ''F''(''v'') в S с одной свободной натурально-числовой переменной ''v'' такую, что ''F''(''v''), в интуитивной интерпретации, означает: ''v'' — выводимая формула. Теперь построим неразрешимое предложение системы S, то есть предложение ''A'', для которого ни ''A'', ни ''не-A'' невыводимы, следующим образом:

Формулу в S с точно одной свободной натурально-числовой переменной назовём ''класс-выражением''. Упорядочим класс-выражения в последовательность каким-либо образом, обозначим ''n''-е через ''R''(''n''), и заметим, что понятие «класс-выражение», также как и отношение упорядочения ''R'' можно определить в системе S. Пусть α — произвольное класс-выражение; через [α;''n''] обозначим формулу, которая образуется из класс-выражения α заменой свободной переменной на символ натурального числа ''n''. Тернарное отношение ''x'' = [''y'';''z''] тоже оказывается определимым в S. Теперь определим класс ''K'' натуральных чисел следующим образом:

: ''n''∈''K'' ≡ ¬Bew[''R''(''n'');''n'']    (*)

(где Bew ''x'' означает: ''x'' — выводимая формула<ref group=~>«Bew» сокр. от нем. «Beweisbar» — ''доказуемый'', ''выводимый''</ref>). Так как все определяющие понятия из этого определения можно выразить в S, то это же верно и для понятия ''K'', которое из них построено, то есть имеется такое класс-выражение ''C'', что формула [''C'';''n''], интуитивно интерпретируемая, обозначает, что натуральное число ''n'' принадлежит ''K''. Как класс-выражение, ''C'' идентично некоторому определённому ''R''(''q'') в нашей нумерации, то есть

''C'' = ''R''(''q'')
 
выполняется для некоторого определённого натурального числа ''q''. Теперь покажем, что предложение [''R''(''q'');''q''] неразрешимо в S. Так, если предложение [''R''(''q'');''q''] предполагается выводимым, тогда оно оказывается истинным, то есть, в соответствии со сказанным выше, ''q'' будет принадлежать ''K'', то есть, в соответствии с (*), будет выполнено ¬Bew[''R''(''q'');''q''], что противоречит нашему предположению. С другой стороны, если предположить выводимым отрицание [''R''(''q'');''q''], то будет иметь место ¬''q''∈''K'', то есть Bew[''R''(''q'');''q''] будет истинным. Следовательно, [''R''(''q'');''q''] вместе со своим отрицанием будет выводимо, что снова невозможно.

=== Связь с парадоксами ===

В стандартной интерпретации<ref group=~ name="si" /> гёделева неразрешимая формула ''A'' означает «не существует вывода формулы ''A''», то есть утверждает свою собственную невыводимость в системе S. Таким образом, ''A'' является аналогом [[парадокс лжеца|парадокса лжеца]]. Рассуждения Гёделя в целом очень похожи на [[парадокс Ришара]]. Более того, для доказательства существования невыводимых утверждений может быть использован любой [[семантический парадокс]]<ref name="Гёдель 1931">Гёдель 1931</ref>.

Выражаемое формулой ''A'' утверждение не содержит порочного круга, поскольку изначально утверждается только, что некоторая конкретная формула, явную запись которой получить несложно (хоть и громоздко), недоказуема. «Только впоследствии (и, так сказать, по воле случая) оказывается, что эта формула в точности та, которой выражено само это утверждение»<ref name="Гёдель 1931"/>.

== Вторая теорема Гёделя ==
В формальной арифметике S можно построить такую формулу, которая в стандартной интерпретации<ref group=~ name="si"/> является истинной в том и только в том случае, когда теория S непротиворечива. Для этой формулы справедливо утверждение второй теоремы Гёделя:

: ''Если формальная арифметика ''S'' непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость ''S''.

Иными словами, непротиворечивость формальной арифметики не может быть доказана средствами этой теории. Однако, могут существовать доказательства непротиворечивости формальной арифметики, использующие средства, невыразимые в ней.

=== Набросок доказательства ===
Сначала строится формула ''Con'', содержательно выражающая невозможность вывода в теории S какой-либо формулы вместе с её отрицанием. Тогда утверждение первой теоремы Гёделя выражается формулой ''Con'' ⊃ ''G'', где ''G'' — Гёделева неразрешимая формула. Все рассуждения для доказательства первой теоремы могут быть выражены и проведены средствами S, то есть в S выводима формула ''Con'' ⊃ ''G''. Отсюда, если в S выводима ''Con'', то в ней выводима и ''G''. Однако, согласно первой теореме Гёделя, если S непротиворечива, то ''G'' в ней невыводима. Следовательно, если S непротиворечива, то в ней невыводима и формула ''Con''.

== Историческое влияние ==
Специалисты дают самые разные, иногда даже полярные оценки исторической значимости теорем Гёделя. Часть учёных считает, что эти теоремы «перевернули» основания математики или даже всю [[Эпистемология|теорию познания]], и значение гениального открытия Гёделя будет постепенно открываться ещё долгое время<ref>{{cite web|author=[[Stephen Hawking]]|title=Godel and the End of the Universe|url=http://www.hawking.org.uk/godel-and-the-end-of-physics.html|accessdate=2018-04-08|archive-date=2020-05-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529232552/http://www.hawking.org.uk/godel-and-the-end-of-physics.html|deadlink=yes}}</ref>. Другие же (например, [[Бертран Рассел]]) призывают не преувеличивать, поскольку теоремы опираются на финитный формализм Гильберта<ref>{{книга|автор=Михайлова Н. В.|часть=Проблема обоснования современной математики в контексте новых философско-методологических кризисов|заглавие=Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. Тезисы Третьей всероссийской научной конференции; 27-28 сентября 2013 г.|ссылка=http://www.pyrkov-professor.ru/Portals/0/Knigi/filosofiya/filosofiya_matematiki_aktualnye_problemy_matematika_i_realno.pdf|место=М.|издательство=Центр стратегической конъюнктуры|год=2013|страниц=270|страницы=187|isbn=978-5-906233-39-4|archive-date=2017-12-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20171216201334/http://www.pyrkov-professor.ru/Portals/0/Knigi/filosofiya/filosofiya_matematiki_aktualnye_problemy_matematika_i_realno.pdf}}</ref>{{sfn|Музыкантский А.}}.

{{начало цитаты}}
Вопреки распространённому заблуждению, теоремы о неполноте Гёделя не предполагают, что некоторые истины так и останутся навеки непознанными. Кроме того, из этих теорем не следует, что человеческие способности к познанию так или иначе ограничены. Нет, теоремы всего лишь показывают слабости и недостатки формальных систем<ref>{{книга |автор=Ливио, Марио. |место=М. |издательство=АСТ |год=2016 |страниц=384 |заглавие=Был ли Бог математиком? Глава «Истина в неполноте»|isbn=978-5-17-095136-9 |серия=Золотой фонд науки}}</ref>.
{{конец цитаты}}

Рассмотрим, например, следующее доказательство непротиворечивости арифметики{{sfn|Пиньейро|2015|с=155—162|name=PIN}}.
{{начало цитаты}}
Допустим, что [[аксиоматика Пеано]] для арифметики противоречива. Тогда из неё можно вывести любое утверждение, в том числе ложное. Однако все аксиомы Пеано очевидным образом истинны, а из истинных утверждений не может следовать ложный вывод — получаем противоречие. Следовательно, арифметика непротиворечива.
{{конец цитаты}}
С точки зрения повседневной человеческой логики, это доказательство приемлемо и убедительно. Но оно не может быть записано по правилам теории доказательств Гильберта, поскольку в этих правилах семантика заменена на синтаксис, а истинность — на «выводимость»<ref name=PIN/>. В любом случае теоремы Гёделя подняли философию математики на новый уровень.

== См. также ==
{{кол}}
* [[Антиномия]]
* [[Натуральное число]]
* [[Недоказуемые утверждения]]
* [[Парадокс лжеца]]
* [[Теорема Гёделя о полноте]]
* [[Теорема Гудстейна]]
* [[Теорема Лёба]]
* [[Теорема Тарского о невыразимости истины]]
* [[Теорема Хайтина о неполноте]]
* [[Формальная теория]]
{{кол|конец}}

== Примечания ==
; Комментарии
{{примечания|group=~}}

; Источники
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{книга |автор=[[Бирюков, Борис Владимирович|Бирюков Б. В.]], [[Тростников, Виктор Николаевич|Тростников В. Н.]]
  |заглавие=Жар холодных чисел и пафос бесстрастной логики. Формализация мышления от античных времен до эпохи кибернетики |место= М. |издательство=Едиториал УРСС |год= 2004 |страниц= 232 |isbn = 5-354-00310-5
  |ref= Бирюков }}
* [[Ершов, Юрий Леонидович|Ершов Ю. Л.]] ''[https://web.archive.org/web/20090719063356/http://rutube.ru/tracks/1543805.html Доказательность в математике]'', программа [[Гордон, Александр Гарриевич|А. Гордона]] от 16 июня 2003 года.
* {{книга
 | автор           = [[Ершов, Юрий Леонидович|Ершов Ю. Л.]], [[Палютин, Евгений Андреевич|Палютин Е.А.]]
 | заглавие      = Математическая логика
 | место          = М.
 | издательство  = Наука
 | год           = 1987
 | страниц    = 336
 | ref             = Ершов
 }}
* {{книга |автор=Клини Стефен Коул |заглавие=Введение в метаматематику
  |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Klini1957ru.djvu
  |место=М. |издательство=ИЛ |год=1957 |страниц=526}}
* {{книга  |автор=Клини Стефен Коул |заглавие=Математическая логика
  |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Klini1973ru.djvu
  |место=М. |издательство=«Мир» |год=1973 |страниц=480}}
* {{книга |автор=Кордонский М. |заглавие=Конец истины |isbn=5-946448-001-04
  |ссылка=http://old.russ.ru/krug/kniga/20021003_mk-pr.html}}
* {{статья |автор=Коэн П. Дж. |заглавие=Об основаниях теории множеств
  |издание=[[Успехи математических наук]] |год=1974 |том=29 |номер=5(179) |страницы=169–176
  |ссылка=http://mi.mathnet.ru/umn4418 |id={{MR|id=386990}}}}
* {{книга |автор=Мендельсон Эллиот |заглавие=Введение в математическую логику
  |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Mendelson1971ru.djvu
  |место=М. |издательство=«Наука» |год=1971 |страниц=320}}
* {{статья |автор=[[Паршин, Алексей Николаевич|Паршин А. Н.]] |заглавие=Размышления над теоремой Гёделя|издание=[[Историко-математические исследования]] |номер=40 (5) |издательство=Янус-К|место={{М.}} |год=2000 |страницы=26—55}}
* {{статья |автор=Пиньейро Г. Э. |заглавие=У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте
  |издание=Наука. Величайшие теории |выпуск=17 |issn=2409-0069 |страниц=168 |ref=Пиньейро
  |место=М. |издательство=Де Агостини |год=2015 }}
* {{статья |автор=Сосинский А. Б. |заглавие=Теорема Геделя |ссылка=http://www.math.ru/media/lecture/12
  |издание=Летняя школа [http://www.mccme.ru/dubna/ «Современная математика»] |место=Дубна |год=2006}}
* {{книга |автор=[[Успенский, Владимир Андреевич|Успенский В. А.]] |заглавие=Теорема Гёделя о неполноте
  |серия=[[Популярные лекции по математике]] |место=М. |издательство=Наука |год=1982 |страниц=110
  |ссылка=http://plm.mccme.ru/ann/a57.htm}}
* {{статья |автор=[[Успенский, Владимир Андреевич|Успенский В. А.]]
  |заглавие=Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней
  |издание=Летняя школа [http://www.mccme.ru/dubna/ «Современная математика»] |место=Дубна |год=2007
  |ссылка=http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=122}}
* {{книга
 |автор = Davis, Martin (ed.)
 |заглавие = The Undecidable: Basic Papers On Undecidable Propositions, Unsolvable Problems And Computable Functions
 |ссылка = https://archive.org/details/undecidablebasic0000davi
 |место = New York
 |издательство = Raven Press
 |год = 1965
 |allpages = 440}}
* {{книга
 |автор = Heijenoort, Jean van (ed.)
 |заглавие = From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931
 |ссылка = https://archive.org/details/fromfregetogodel0000vanh
 |место = Cambridge, Massachusetts
 |издательство = Harvard University Press
 |год = 1967
 |allpages = 660}}

== Ссылки ==
* {{cite web|author=Музыкантский А.|title=Теория противоречивости бытия|url=http://elementy.ru/lib/430446
  |accessdate=2017-09-10 |ref=Музыкантский А.}}

== Библиография — статьи Гёделя ==
* 1931, ''Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I.'' ''Monatshefte für Mathematik und Physik 38'': 173—198.
* 1931, ''Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I.'' and ''On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I'' in [[Феферман, Соломон|Solomon Feferman]], ed., 1986. ''Kurt Gödel Collected works, Vol. I''. Oxford University Press: 144—195. - Оригинальный немецкий текст с параллельным английским переводом, с элементарным введением, написанным [[Клини, Стивен Коул|Стивеном Клини]].
* Hirzel, Martin, 2000, ''[http://www.research.ibm.com/people/h/hirzel/papers/canon00-goedel.pdf On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I.]''.  - Современный перевод Марина Херцеля.
* 1951, ''Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications'' in [[Феферман, Соломон|Solomon Feferman]], ed., 1995. ''Kurt Gödel Collected works, Vol. III''. Oxford University Press: 304—323.

[[Категория:Математическая логика]]
[[Категория:Теоремы математической логики|Гёделя о неполноте]]
[[Категория:Теория алгоритмов]]
[[Категория:Метаматематика]]
[[Категория:Основания математики]]
[[Категория:Именные законы и правила|Гёделя о неполноте]]
[[Категория:Теория доказательств]]
[[Категория:Метатеоремы|Гёделя]]