Просмотр кода страницы Числа харшад

'''Числа харшад''', или '''числа Нивена''' — это [[натуральные числа]], делящиеся нацело на сумму своих [[цифры|цифр]]<ref name="mw" /><ref name="nap" /><ref name="oeis-a005349" /><ref name="mactutor" />.
Таким числом является, например, {{num1|1729}}, так как {{s|1=1729 = (1 + 7 + 2 + 9) &times; 91}}.

Очевидно, что ''все числа от 1 до 10'' являются числами харшад.

Первые 50 чисел харшад, не меньших 10<ref name="oeis-a005349" />:
: {{nums|link=nrl|10|12|18|20|21|24|27|30|36|40}}, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200.

Имеет смысл также рассматривать числа харшад в других [[система счисления|системах счисления]]. Числа, которые являются числами харшад ''во всех системах счисления'', называются '''обобщёнными числами харшад'''. Их всего четыре: 1, 2, 4, 6.

Числа харшад были исследованы индийским математиком {{нп5|Капрекар, Даттарая Рамчандра|Даттараей Рамчандрой Капрекаром|en|D. R. Kaprekar|nocat=1}}. Слово «харшад» происходит от [[санскрит]]ского {{IAST|harṣa}} ‘великая радость’<ref name="mactutor" />.

== Оценка плотности распределения чисел харшад ==

Пусть <math>N(x)</math> — количество чисел харшад, не больших <math>x</math>, тогда для любого ε > 0,

: <math>x^{1-\varepsilon} \ll N(x) \ll \frac{x\log\log x}{\log x}</math>

Жан-Мари де Конинк, Николас Доён и Катаи показали и доказали, что

: <math>N(x)=(c+o(1))\frac{x}{\log x}</math>

где

: <math>c = \frac{14}{27} \ln 10 \approx 1{,}1939</math>.

== См. также ==
* [[Нивен, Айвен]]

== Примечания ==
{{примечания|1|refs =

<ref name="mw">{{MathWorld3|Harshad Number}}</ref>

<ref name="nap">{{cite web |url=http://www.numbersaplenty.com/set/Harshad_number/ |title=Harshad numbers |publisher=Numbers Aplenty}}</ref>

<ref name="mactutor">{{cite web |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Kaprekar.html |title=Dattatreya Ramachandra Kaprekar |author=J. J. O'Connor, E. F. Robertson |publisher=MacTutor History
of Mathematics archive |date=08-2007}}</ref>

<ref name="oeis-a005349">{{OEIS long|A005349|en=Niven (or Harshad) numbers: numbers that are divisible by the sum of their digits}}</ref>

}}

{{math-stub}}

[[Категория:Целочисленные последовательности]]