Просмотр кода страницы W-функция Ламберта

'''<math>W</math>-функция Ламберта''' определяется как [[обратная функция]] к <math>f(w)=w e^w</math>, для [[Комплексное число|комплексных]] <math>w</math>. Обозначается <math>W(x)</math> или <math>\operatorname{LambertW}(x)</math>. Для любого комплексного <math>z</math> она определяется функциональным уравнением:
:<math>z=W(z) e^{W(z)}</math>

<math>W</math>-функция Ламберта не может быть выражена в [[элементарные функции|элементарных функциях]]. Она применяется в [[комбинаторика|комбинаторике]], например, при подсчёте числа [[дерево (граф)|деревьев]], а также при решении уравнений.

== История ==
Функция изучалась ещё в работе [[Эйлер, Леонард|Леонарда Эйлера]] в [[1779 год]]а, но не имела самостоятельного значения и названия вплоть до 1980-х годов. Как самостоятельная функция была введена в системе компьютерной алгебры [[Maple]], где для неё использовалось имя '''LambertW'''. Имя [[Ламберт, Иоганн Генрих|Иоганна Генриха Ламберта]] было выбрано, поскольку Эйлер ссылался в своей работе на труды Ламберта, и поскольку «называть ещё одну функцию именем Эйлера было бы бесполезно»<ref name="Corless">{{cite journal |url=http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.ps |author=Corless et al. |title=On the Lambert W function |journal=Adv. Computational Maths. |volume=5 |pages=329-359 |year=1996|archiveurl=http://web.archive.org/web/20050118104553/http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.ps|archivedate=2005-01-18|deadlink=404}}</ref>.

== Многозначность ==
{{обобщить|<math>W_0(x)</math>}}
[[Файл:Diagram of the real branches of the Lambert W function.png|thumb|Две главные ветви функции <math>W_0</math> и <math>W_{-1}</math>]]
[[Файл:lambertw.png|thumb|288px|right|График ''W''<sub>0</sub>(''x'') для −1/''e'' ≤ ''x'' ≤ 4]]
Поскольку функция <math>f(w)</math> не является [[инъекция (математика)|инъективной]] на интервале <math>(-\infty,0)</math>, <math>W(z)</math> является многозначной функцией на <math>[-\frac{1}{e},0)</math>. Если ограничиться вещественными <math>z = x\geqslant-1/e</math> и потребовать <math>w\geqslant -1</math>, будет определена однозначная функция <math>W_0(x)</math>.

== Асимптотики ==
Полезно знать асимптотики функции при стремлении к некоторым ключевым точкам. Например, для ускорения сходимости при выполнении рекуррентных расчетов.

<math>\left.W(z)\right|_{z \to \infty} = \log(z)-\log( \log(z) )</math>

<math>\left.W(z)\right|_{z \to -\frac{1}{e}} = \sqrt{ 2 ( ez + 1 ) }-1</math>

== Другие формулы ==
:<math>\int_{0}^{\pi} W\bigl( 2\cot^2(x) \bigr)\sec^2(x)\;\mathrm dx = 4\sqrt{\pi}</math>

:<math>\int_{0}^{+\infty} W\left(\frac{1}{x^2}\right)\;\mathrm dx = \sqrt{2\pi}</math>

:<math>\int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\mathrm dx = 2\sqrt{2\pi}</math>

== Свойства ==
С помощью дифференцирования неявной функции можно получить, что при <math>z\ne -\tfrac{1}{e}</math> функция Ламберта удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:
:<math>{dW\over dz} = \frac{1}{z} \frac{W(z)}{W(z)+1}.</math>
С помощью [[Теорема об обращении рядов|теоремы об обращении рядов]] можно получить выражение для [[Ряд Тейлора|ряда Тейлора]]; он в окрестности нуля сходится при <math>|z|<\tfrac{1}{e}</math>:
:<math>W_0(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac{3}{2}x^3 - \frac{8}{3}x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots.</math>
С помощью [[интегрирование по частям|интегрирования по частям]] можно найти интеграл от W(z):
:<math>\int W(x)\, dx = x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right) + C.</math>

=== Значения в некоторых точках ===
:<math>W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{i\pi}{2}</math>
:<math>W(-1) \approx -0.31813-1.33723{\rm{i}}</math>
:<math>W\left(-{1\over e}\right) = -1</math>
:<math>W\left(-\frac{\ln a}{a}\right)= -\ln a \left(\frac{1}{e}\le a\le e\right) </math>
:<math>W(0) = 0</math>
:<math>W(e) = 1</math>
:<math>W(1) = \Omega \approx 0{,}56714329</math> ([[постоянная Омега]])

== Решение уравнений с помощью W-функции ==
Решения многих трансцендентных уравнений могут быть выражены в форме W-функции.

'''Пример:''' <math>x^x=z</math>

:<math>\ln z=x\ln x=e^{\ln x}\,\ln x</math>, следовательно, <math>x=e^{W(\ln z)}</math>.

'''Пример:''' <math>2^x=5 x</math>

:<math>1 = 5 x\cdot 2^{-x} = 5 x\, e^{-x\ln 2}</math>

Обозначим <math>y=-x\ln 2</math>, тогда <math>y\,e^y={-\ln 2\over 5}</math>, отсюда 
<math>y=W\left({-\ln 2\over 5}\right)</math> и окончательно 
<math>x=-{1\over\ln2}W\left({-\ln 2\over 5}\right)</math>.

== Обобщенные применения W-Функции Ламберта ==
Стандартная W-функция Ламберта показывает точные решения трансцендентных алгебраических уравнений формы:

:<math> e^{-c x} = a_o (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)</math>

где ''a''<sub>0</sub>, ''c'' и ''r'' являются вещественными константами. Решением такого уравнения является <math> x = r + \frac{1}{c} W( \frac{c\,e^{-c r}}{a_o })</math>. Ниже перечислены некоторые из обобщенных применений W-функции Ламберта:<ref>{{cite journal |author=T. C. Scott, R. B. Mann |year=2006 |title=General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function |journal=AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing) |volume=17 |issue=1 |pages=41–47 |doi=10.1007/s00200-006-0196-1 |url=http://arxiv.org/abs/math-ph/0607011}}</ref><ref>{{cite journal |author=T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst|year=2013 |title=Asymptotic series of Generalized Lambert W Function |journal=SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) |volume=47 |issue=185 |pages=75–83|url=http://www.sigsam.org/cca/issues/issue185.html}}</ref><ref>{{cite journal |author=T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst, W.Z. Zhang|year=2014|title=Numerics of the Generalized Lambert W Function|journal=SIGSAM |volume=48 |issue=188 |pages=42–56|url=http://www.sigsam.org/cca/issues/issue188.html}}</ref>

* Эта функция может быть использована в [[Общая теория относительности|общей теории относительности]] и в [[Квантовая механика|квантовой механике]] ([[Квантовая гравитация|квантовой гравитации]]) в нижних измерениях. В журнале “[[Classical and Quantum Gravity]]”<ref>{{cite journal |author=P. S. Farrugia, R. B. Mann, T. C. Scott |year=2007 |title=N-body Gravity and the Schrödinger Equation |journal=[[Classical and Quantum Gravity|Class. Quantum Grav.]] |volume=24 |issue=18 |pages=4647–4659 |url=http://arxiv.org/abs/gr-qc/0611144 |doi=10.1088/0264-9381/24/18/006}}</ref> была представлена ранее неизвестная связь между этими двумя понятиями, где правая сторона уравнения превращается в квадратный многочлен по переменной ''x'':

::<math> e^{-c x} = a_o (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)</math>

:и где константы ''r''<sub>1</sub> и ''r''<sub>2</sub>, являются корнями этого квадратичного многочлена. В данном случае решением этого уравнения является функция с аргументом ''x'' , а ''r''<sub>i</sub> и ''a''<sub>o</sub> являются параметрами этой функции. С этой точки зрения, несмотря на то, что данное обобщенное применение W-функции Ламберта напоминает гипергеометрическую функцию и функцию “Meijer G", оно принадлежит к другому типу функций. Когда ''r''<sub>1</sub> = ''r''<sub>2</sub>, то обе стороны уравнения (2) могут быть упрощены к уравнению (1), и таким образом общее решение упрощается к стандартной W-функцией. Уравнение (2) показывает определяющие отношения в скалярном поле [[дилатон]]ноя, из чего следует решение задачи измерения линейной гравитации парных тел в 1+1 измерениях (измерение пространства и измерение времени) в случае неравных масс, а также решение задачи [[Туннелирование через дельтообразный потенциал|двумерного стационарного уравнения Шрёдингера]] с потенциалом в виде [[Дельта-функция|дельта-функции Дирака]] для неодинаковых зарядов в одном измерении.

* Эта функция может быть использована для решения частной задачи внутренних энергий квантовой механики, состоящей в определении относительного движения трёх тел, а именно трёхмерной [[молекулярный ион водорода]]<ref>{{cite journal |author=T. C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst |year=2006 |title=New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion |journal=Chem. Phys. |volume=324 |pages=323–338 |doi=10.1016/j.chemphys.2005.10.031 |url=http://arxiv.org/abs/physics/0607081}}</ref>. В этом случае, правая сторона уравнения (1) (или (2)) теперь становится отношением двух беспредельных многочленов по переменной ''x'':

::<math> e^{-c x} = a_o \frac{\displaystyle \prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{\displaystyle \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)</math>

:где ''r''<sub>i</sub> и ''s''<sub>i</sub> константы, а ''x'' является функцией между внутренней энергией и расстоянием внутри ядра R. Уравнение (3), а также его упрощённые формы, выраженные в уравнениях (1) и (2), относятся к типу дифференциальных уравнений с запозданием.

Применения W-Функции Ламберта в основных проблемах физики не ограничиваются стандартным уравнением (1), как было недавно показано в областях [[Физика атомов и молекул|атомной, молекулярной и оптической физики]]<ref>{{cite journal |author=T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J. D. Morgan III |year=2007 |title=The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions |journal=[[Physical Review|Phys. Rev. A]] |volume=75 |pages=060101 |doi=10.1103/PhysRevA.75.060101}}</ref>.

== Вычисление ==
<math>W</math>-функция может быть приблизительно вычислена с помощью рекуррентного соотношения<ref name="Corless"/>:

:<math>
w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)}
{2w_j+2}}
</math>

Пример программы на языке Python:
<source lang="python">
import math

def lambertW(x, prec=1e-12):
    w = 0
    for i in xrange(100):
        wTimesExpW = w*math.exp(w)
        wPlusOneTimesExpW = (w+1)*math.exp(w)
        w -= (wTimesExpW-x)/(wPlusOneTimesExpW-(w+2)*(wTimesExpW-x)/(2*w+2))
        if (prec > abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)):
            break
    if (prec <= abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)):
        raise Exception, "W(x) не сходится достаточно быстро при x=%f" % x
    return w
</source>
Для приближённого вычисления можно использовать формулу<ref name="QCDINS">[http://www.desy.de/~t00fri/qcdins/texhtml/lambertw/ Double precision function LAMBERTW(X)] в пакете [http://www.desy.de/~t00fri/qcdins/qcdins.html QCDINS]</ref>:
'''!!!Приведенная функция похожа, но более чем на 10% отличается от функции Ламберта'''
:<math>
W(x) \approx \left\{
\begin{matrix}
0{,}665\cdot (1+0{,}0195\ln(x+1))\ln(x+1) + 0{,}04 & \ :\  & 0<x\le500 \\
\ln(x-4) - (1-{1\over\ln x}) \ln\ln x              & \ :\  & x>500     \\
\end{matrix}
\right.
</math>

== Ссылки ==
<references/>

[[Категория:Специальные функции]]
[[Категория:Статьи с примерами кода Python]]