Просмотр кода страницы Метод Якоби для собственных значений

{{другие значения термина|Якоби|Якоби}}
{{Об|итерационном алгоритме нахождения собственных значений|методе решения систем линейных алгебраических уравнений|метод Якоби}}
'''Метод Якоби для собственных значений''' — итерационный [[алгоритм]] для вычисления [[собственные значения|собственных значений]] и [[собственные векторы|собственных векторов]] [[вещественные числа|вещественной]] [[симметричная матрица|симметричной матрицы]]. Назван в честь [[Якоби, Карл Густав Якоб|Карла Густава Якоба Якоби]], предложившего этот метод в [[1846 год в науке|1846 году]]<ref>{{cite journal
 |last=Jacobi |first=C.G.J. |authorlink=Carl Gustav Jacob Jacobi
 |url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl/?GDZPPN002144522
 |title=Über ein leichtes Verfahren, die in der Theorie der Säkularstörungen vorkommenden Gleichungen numerisch aufzulösen
 |journal=[[Crelle's Journal]]
 |volume=30 |year=1846 |pages=51–94
 |language=German
}}</ref>, хотя использоваться метод начал только в 1950-х годах с появлением компьютеров<ref>{{cite journal
 |first=G.H. |last=Golub 
 |first2=H.A. |last2=van der Vorst
 |title=Eigenvalue computation in the 20th century
 |journal=Journal of Computational and Applied Mathematics
 |volume=123 |issue=1-2 |year=2000 |pages=35–65
 |doi=10.1016/S0377-0427(00)00413-1
}}</ref>.

== Описание ==
Пусть <math>A</math> — симметричная матрица, а <math>G = G(i, j, \theta)</math> — [[Матрица поворота|матрица вращения]]. Тогда

: <math>A'=G^\top A G</math>

симметрична и [[Подобие матриц|подобна]] матрице <math>A</math>.

Более того, <math>A'</math> содержит следующие компоненты:

: <math>\begin{align}
 A'_{ii} &= c^2\, A_{ii}  -  2\, s c \,A_{ij}  +  s^2\, A_{jj} \\
 A'_{jj} &= s^2 \,A_{ii}  +  2 s c\, A_{ij}  +  c^2 \, A_{jj} \\
 A'_{ij} &= A'_{ji} = (c^2 - s^2 ) \, A_{ij}  +  s c \, (A_{ii} - A_{jj} ) \\
 A'_{ik} &= A'_{ki} = c \, A_{ik}  -  s \, A_{jk} & k \ne i,j \\
 A'_{jk} &= A'_{kj} = s \, A_{ik}  + c \, A_{jk} & k \ne i,j \\
 A'_{kl} &= A_{kl} &k,l \ne i,j
\end{align}</math>

где <math>s = \sin \theta</math> и <math>c = \cos \theta</math>.

Поскольку <math>G</math> — ортогональная матрица, у матриц <math>A</math> и <math>A'</math> равны [[Фробениусова норма|фробениусовы нормы]] <math>||\cdot||_F</math> (корни из сумм квадратов всех компонент), причём мы можем выбрать <math>\theta</math> так, чтобы <math>A'_{ij} = 0</math>, и в этом случае <math>A'</math> будет иметь бóльшую сумму квадратов диагональных элементов:

: <math> A'_{ij} = \cos(2\theta) A_{ij} + \tfrac{1}{2} \sin(2\theta) (A_{ii} - A_{jj}) </math>

Приравнивая это нулю, получим

: <math> \operatorname{tg}(2\theta) = \frac{2 A_{ij}}{A_{jj} - A_{ii}} </math>

Если <math>  A_{jj} = A_{ii} </math>, то

: <math> \theta = \frac{\pi} {4} . </math>

Чтобы достичь оптимального эффекта, необходимо потребовать, чтобы <math>A_{ij}</math> был наибольшим по модулю внедиагональным элементом, т. н. ''опорным'' элементом.

Метод Якоби для собственных значений производит вращения до тех пор, пока матрица не станет почти диагональной. Тогда элементы на диагонали аппроксимируют собственные значения матрицы <math>A</math>.

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Линейная алгебра]]
[[Категория:Численные методы]]
[[Категория:Численные методы линейной алгебры]]