Просмотр кода страницы Проблема Гильберта — Арнольда

== Математический контекст и постановка задачи ==
Напомним один из вариантов 16-й проблемы Гильберта. Рассмотрим систему [[полином]]иальных [[обыкновенное дифференциальное уравнение|дифференциальных уравнений]] на плоскости
{{формула| <math>
	\begin{cases}
		\dot x=P_n(x,y),\\
		\dot y=Q_n(x,y),
	\end{cases}\quad (x,y)\in \mathbb R^2,
</math>|*}}
где <math>P_n</math>, <math>Q_n</math> — многочлены степени не выше <math>n</math>.

{{problem|Экзистенциальная проблема Гильберта}} Доказать, что для всякого <math>n\in \mathbb N</math> существует такое число <math>H(n)<\infty</math>, что любая система вида (*) обладает не более чем <math>H(n)</math> предельными циклами.
{{/problem}}

Числа <math>H(n)</math> называются ''числами Гильберта для предельных циклов''.

Для дальнейшего, нам будет удобно перейти к [[Компактное пространство|компактному]] [[фазовое пространство|фазовому пространству]] и компактной базе параметров. Для этого мы используем приём, известный как [[компактификация Пуанкаре]]. Продолжая полиномиальное векторное поле на плоскости до [[аналитическая функция|аналитического]] [[поле направлений|поля направлений]] на [[проективная плоскость|проективной плоскости]] мы компактифицируем базу параметров, а затем используя [[центральная проекция|центральную проекцию]] сферы на проективную плоскость, получаем аналитическое поле направлений на сфере (с конечным числом особых точек). Тем самым, в пространстве всех аналитических полей направлений на сфере выделяется конечно-параметрическое семейство полей с компактной базой параметров, порождаемых полиномиальными системами заданной степени. При этом экзистенциальная проблема Гильберта становится частным случаем следующей (более сильной) гипотезы:
{{problem|Проблема глобальной конечности}} В ''любом''  конечно-параметрическом аналитическом семействе аналитических векторных полей на сфере с компактной базой параметров <math>B</math> число предельных циклов равномерно ограничено при всех значениях параметра <math>\varepsilon\in B</math>.
{{/problem}}

Полиномиальные векторные поля представляют собой естественный пример конечно-параметрического семейства, и на момент постановки 16-й проблемы Гильберта это было, вероятно, единственным известным явным семейством такого рода.  Однако со временем подходы изменились, и внимание математиков стали привлекать вопросы не о конкретном семействе, а о свойствах [[типичность (математика)|типичных]] семейств из некоторого класса. В ходе работы над обзором {{lcite|AAIS}} (1986), [[В. И. Арнольд]] предложил рассматривать конечно-параметрические семейства [[гладкая функция|гладких]] векторных полей и сформулировал несколько гипотез на эту тему.

Какие содержательные вопросы можно задавать о предельных циклах в типичных конечно-параметрических семействах? Очевидно, прямой аналог 16-й проблемы Гильберта в данном случае не имеет смысла: у типичной гладкой системы на сфере может быть сколь угодно большое число гиперболических предельных циклов, не разрушаемых малым шевелением, а значит спрашивать о верхней оценке на число предельных циклов в типичном семействе бессмысленно.  Однако, гладкий аналог гипотезы глобальной конечности имеет смысл. Он был сформулирован явно [[Ильяшенко, Юлий Сергеевич|Ю. С. Ильяшенко]] {{lcite|I94}} и получил название '''проблемы Гильберта — Арнольда''':
{{problem|Проблема Гильберта — Арнольда}} В любом типичном конечно-параметрическом семействе гладких векторных полей на сфере с компактной базой параметров число предельных циклов равномерно ограничено при всех значениях параметра.
{{/problem}}
Аналитические семейства весьма сложны для изучения — например, они не допускают локальных возмущений в окрестности точки, поэтому нет оснований считать, что решение проблемы Гильберта — Арнольда само по себе позволит доказать гипотезу глобальной конечности, а с ней и 16-ю проблему Гильберта. Однако, исследователи полагают, что изучение гладких векторных полей может дать полезные идеи по поводу 16-й проблемы, а также представляет собой самостоятельную содержательную задачу.