Просмотр кода страницы Конструктивное доказательство

=== Иррациональная степень иррационального ===
Теперь рассмотрим теорему
* Существуют [[Иррациональное число|иррациональные числа]] <math>a</math> и <math>b</math> такие, что <math>a^b</math> является [[Рациональное число|рациональным]].

Эта теорема может быть доказана конструктивно и неконструктивнo.

;Неконструктивное доказательство

Следующее доказательство Дова Джардена 1953 года широко использовалось в качестве примера неконструктивного доказательства, по крайней мере с 1970 года<ref>{{Статья|ссылка=|автор=Dov Jarden|заглавие=A simple proof that a power of an irrational number to an irrational exponent may be rational|год=1953|язык=en|издание={{нп3|Scripta Mathematica|}}|тип=|месяц=|число=|том=|номер=19|страницы=229|issn=}}</ref>.

Напомним, что <math>\sqrt{2}</math> [[Квадратный корень из 2|иррационален]].
Заметим, что <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> рационально либо иррационально.
Если <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> рационально, то теорема верна, с <math>a=\sqrt{2}</math> и <math>b=\sqrt{2}</math>.
Если <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> иррационально, то теорема верна, с <math>a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> и <math>b=\sqrt{2}</math> поскольку

:<math>(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^2=2</math>

Это доказательство не является конструктивным, потому что оно опирается на утверждение, что любое число рационально или иррационально.
Это пример применения [[Закон исключённого третьего|закона исключенного третьего]], который не является допустимым в рамках конструктивного доказательства.

Заметим, что неконструктивное доказательство не даёт пример <math>a</math> и <math>b</math>; оно лишь дает несколько возможностей (в данном случае двух) и показывает, что одно из них есть нужный пример, но не говорит, какой.

* На самом деле, <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> иррационально по [[Теорема Гельфонда—Шнайдера|теореме Гельфонда — Шнайдера]], но этот факт не имеет отношения к справедливости неконструктивного доказательства приведённого выше.

;Конструктивное доказательство

Пусть
: <math>a = \sqrt{2}, \quad b = \log_2 9, \quad\text{тогда}\quad a^b = 3.</math>
Оба числа иррациональны; <math>a</math> — [[квадратный корень из 2]] и если <math>b=\tfrac mn</math>, то <math>3^{2\cdot n}=2^m</math>, что невозможно, так как первое число нечетное, а второе четное.