Просмотр кода страницы Гравитационная задача N тел

== Интегралы движения ==
Несмотря на кажущуюся простоту формул, решения в виде конечных аналитических выражений для данной задачи в общем виде для <math>N\ge 3</math> не существует. Как показал [[Брунс, Генрих|Генрих Брунс]], задача многих тел имеет только 10 независимых алгебраических [[интегралы движения|интегралов движения]], которые были найдены в XVIII веке и которых недостаточно для интегрирования задачи трёх и более тел<ref>Bruns H. Ueber die Integrale der Vielkoerper-Problems // Acta math. Bd. 11 (1887), p. 25—96.</ref><ref>Уитекер. Аналитическая динамика.</ref>. Свои обобщения этой теоремы предложили [[Пенлеве, Поль|Пенлеве]] и [[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]]. Пенлеве удалось отказаться от требования алгебраичности зависимости от координат, Пуанкаре же высказал гипотезу о том, что не существует нового однозначного интеграла (все классические интегралы, кроме интеграла энергии, являются однозначными функциями). Это последнее утверждение, по всей видимости, до сих пор строго не доказано в столь общей формулировке.

В 1971 году [[Алексеев, Владимир Михайлович (математик)|В. М. Алексеев]] так прокомментировал соответствующий пассаж в «Небесной механике» Пуанкаре<ref>В. В. Козлов. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. — Ижевск, 1995.</ref>:

{{начало цитаты}}
Несуществование однозначного аналитического интеграла в задаче трёх тел до сих пор не доказано с полной строгостью… Первое аккуратное доказательство неинтегрируемости гамильтоновой системы достаточно общего вида принадлежит [[Зигель, Карл Людвиг|Зигелю]]<ref>Математика. — 1961. — № 5, вып. 2. — С. 129—155.</ref>. Интересно отметить, что неаналитические интегралы в рассматриваемых задачах возможны; их существование вытекает из одной теоремы [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогорова]]<ref>Колмогоров А. Н. // ДАН, 1954, 48, № 4, 527—530</ref><ref>Арнольд В. И. // УМН, 1963, 18 , № 5—6</ref>. Напротив, в случае, когда число переменных более двух, вероятнее всего, невозможен даже непрерывный интеграл<ref>Арнольд В. И. // ДАН, 1964, 154, № 1, 9—12.</ref>.
{{конец цитаты}}