Просмотр кода страницы Теорема Декарта (геометрия)

== Комплексная теорема Декарта ==
Для определения окружности полностью нужно знать не только её радиус (или кривизну), но нужно ещё знать и её центр. Соответствующее уравнение лучше всего написать, когда координаты <math>(x,y)</math> представлены в виде [[Комплексное число|комплексного числа]] <math>z=x+iy</math>. Уравнение тогда выглядит подобно уравнению в теореме Декарта и поэтому называется '''комплексной теоремой Декарта'''.

Если даны четыре окружности с кривизнами <math>k_i</math> и центрами <math>z_i</math> (<math>i=1,\ldots,4</math>), вдобавок к равенству (1) выполняется следующее равенство:

: <math>(k_1z_1+k_2z_2+k_3z_3+k_4z_4)^2=2\,(k_1^2z_1^2+k_2^2z_2^2+k_3^2z_3^2+k_4^2z_4^2).</math> (4)

После того, как <math>k_4</math> будет найдено при помощи равенства (2), можно начать вычисление <math>z_4</math> путём изменения уравнения (4) к виду, похожему на (2):
: <math>z_4 = \frac{z_1 k_1 + z_2 k_2 + z_3 k_3 \pm 2 \sqrt{k_1 k_2 z_1 z_2 +  k_2 k_3 z_2 z_3 + k_1 k_3 z_1 z_3} }{k_4}.</math>

Снова, в общем случае, имеется два решения для <math>z_4</math>, соответствующие двум решениям для <math>k_4</math>.