Просмотр кода страницы Уравнение Эйлера — Лагранжа

== Доказательство ==
Вывод одномерного уравнения Эйлера — Лагранжа является одним из классических доказательств в математике. Оно основывается на основной лемме [[вариационное исчисление|вариационного исчисления]].

Мы хотим найти такую функцию <math>f</math>, которая удовлетворяет граничным условиям <math>f(a)=c</math>, <math>f(b)=d</math> и доставляет экстремум функционалу

: <math> J = \int\limits_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx. </math>

Предположим, что <math>F</math> имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно.

Если <math>f</math> даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение <math>f</math>, которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение <math>J</math> (если <math>f</math> минимизирует его) или уменьшать <math>J</math> (если <math>f</math> максимизирует). <!-- это вроде неправда, «слабое возмущение» может просто не изменять значение, разве нет? -->

Пусть <math>\eta(x)</math> — любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию <math>\eta(a)=\eta(b)=0</math>. Определим

: <math> J(\varepsilon) = \int\limits_a^b F(x,f(x) + \varepsilon \eta(x), f'(x) + \varepsilon \eta'(x))\, dx. </math>

где <math>\varepsilon</math> — произвольный параметр.

Поскольку <math>f</math> даёт экстремум для <math>J(0)</math>, то <math>J'(0)=0</math>, то есть

: <math> J'(0) = \int\limits_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]\,dx = 0. </math>

Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что

: <math> 0 = \int\limits_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b. </math>

Используя граничные условия на <math>\eta</math>, получим

: <math> 0 = \int\limits_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx. </math>

Отсюда, так как <math>\eta(x)</math> — любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:

: <math> \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}=0. </math>

Если не вводить граничные условия на <math>f(x)</math>, то также требуются условия трансверсальности:

: <math>\frac{\partial F}{\partial f'}(a,f(a),f'(a))=0 </math>

: <math>\frac{\partial F}{\partial f'}(b,f(b),f'(b))=0 </math>