Просмотр кода страницы Теорема Вейерштрасса о функции на компакте

=== Доказательство теоремы в общем случае ===

Пусть <math>A</math> — компакт, и функция <math>f</math> непрерывна на <math>A</math>.
Рассмотрим совокупность множеств <math>V_n = f^{-1}\big((-n, n)\big)</math>, где <math>(-n, n) \subset \R</math> — открытый интервал. Эти множества суть открытые (как полные прообразы открытого множества при непрерывном отображении), и, очевидно, образуют покрытие <math>A</math>. По определению компакта из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие <math>V_{n_k}</math>, откуда имеем <math>\forall x \in A: f(x) < \max n_k</math>, ограниченность доказана. Достижение максимума и минимума легко доказать от противного, если рассмотреть функции <math>[f(x) - \sup f(A)]^{-1}</math>, <math>[f(x) - \inf f(A)]^{-1}</math>, и применить к ним только что доказанное утверждение.