Просмотр кода страницы Гамильтониан (квантовая механика)

{{О|операторе Гамильтона в квантовой механике|функции Гамильтона в классической механике|Функция Гамильтона}}
{{квантовая механика}}

'''Гамильтониа́н''' (<math>\hat H</math> или ''H'') в [[квантовая механика|квантовой теории]] — [[Оператор (физика)|оператор]] полной [[энергия|энергии]] системы (ср. [[функция Гамильтона]]). Название «гамильтониан», как и название «функция Гамильтона», происходит от фамилии ирландского математика [[Гамильтон, Уильям Роуэн|Уильяма Роуэна Гамильтона]].

Его [[Спектр оператора|спектр]] — это множество возможных значений при измерении полной энергии системы. [[Спектр оператора|Спектр]] гамильтониана может быть дискретным или непрерывным. Также может быть ситуация (например, для кулоновского потенциала), когда спектр состоит из дискретной и непрерывной части.

Так как энергия — [[Вещественное число|вещественная]] величина, гамильтониан является [[Эрмитов оператор|самосопряжённым оператором]].

== Уравнение Шрёдингера ==
{{Main|Уравнение Шрёдингера}}
Гамильтониан генерирует временную эволюцию [[Состояние (квантовая механика)|квантовых состояний]]. Если <math> \left| \psi (t) \right\rangle</math> — [[Состояние (квантовая механика)|состояние системы]] в момент времени ''t'', то

: <math> \hat H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle.</math>

Это уравнение называется [[Уравнение Шрёдингера|уравнением Шрёдингера]] (оно выглядит так же, как и [[уравнение Гамильтона — Якоби]] в классической механике). Зная состояние в начальный момент времени (''t'' = 0), мы можем решить уравнение Шрёдингера и получить вектор состояния в любой последующий момент времени. В частности, если ''H'' не зависит от времени, то

: <math> \left| \psi (t) \right\rangle = e^{-iHt/\hbar} \left| \psi (0) \right\rangle.</math>

Оператор экспоненты в правой части уравнения Шрёдингера определяется через степенной ряд по ''H''.

По свойству *-[[гомоморфизм]]а, оператор

: <math> U = e^{-iHt/\hbar} </math>

[[унитарный оператор|унитарен]]. Это ''оператор временной эволюции'', или ''пропагатор'' замкнутой квантовой системы.

Если гамильтониан не зависит от времени, {U(t)} образует однопараметрическую группу; отсюда следует [[принцип детального равновесия]].

== Выражения для гамильтониана в координатном представлении ==

=== Свободная частица ===
Если у частицы нет потенциальной энергии, то гамильтониан самый простой. Для одного измерения:

: <math>\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} </math>

и для трёх измерений:

: <math>\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta </math>

=== Потенциальная яма ===
Для частицы в постоянном потенциале ''V'' = ''V''<sub>0</sub> (нет зависимости от координаты и времени) в одном измерении гамильтониан такой:

: <math>\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V_0 </math>

В трёх измерениях:

: <math>\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_0 </math>

=== Простой гармонический осциллятор ===
Для простого [[гармонический осциллятор|гармонического осциллятора]] в одном измерении потенциал зависит от координаты (но не от времени) как

: <math>V = \frac{k}{2}x^2 = \frac{m\omega^2}{2}x^2  ,</math>

где [[угловая частота]] <math>\omega</math> коэффициент упругости ''k'' и масса ''m'' осциллятора удовлетворяют соотношению

: <math>\omega^2 = \frac{k}{m} ,</math>

поэтому гамильтониан имеет вид

: <math>\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{m\omega^2}{2}x^2 .</math>

Для трёх измерений гамильтониан принимает вид

: <math>\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + \frac{m\omega^2}{2} r^2 ,</math>

где трёхмерный радиус-вектор '''r''', его модуль определяется так:

: <math>r^2 = \mathbf{r}\cdot\mathbf{r} = |\mathbf{r}|^2 = x^2+y^2+z^2 </math>

Полный гамильтониан — это сумма одномерных гамильтонианов:

: <math>\begin{align} \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) + \frac{m\omega^2}{2} (x^2+y^2+z^2) \\
 = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{m\omega^2}{2}x^2\right) + \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{m\omega^2}{2}y^2 \right ) + \left(- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial z^2} +\frac{m\omega^2}{2}z^2 \right) \\
\end{align}</math>

== В квантовой теории поля ==
В классической теории поля роль обобщённых координат играют функции поля в каждой точке [[пространство-время|пространства-времени]], в квантовой теории поля они становятся операторами. Для системы взаимодействующих полей гамильтониан представляет собой сумму операторов энергии свободных полей и энергии их взаимодействия. В отличие от [[лагранжиан]]а, гамильтониан не даёт ''явно'' релятивистски-инвариантного описания системы — энергия в разных инерциальных системах отсчёта различна, хотя для релятивистских систем эта инвариантность может быть доказана.

== Ссылки ==
{{wiktionary|гамильтониан}}
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Blohincev1976ru.djvu ''Блохинцев Д. И.'' Основы квантовой механики. 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с.]
* ''Боум А.'' Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720 c.
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Dirak1979ru.djvu ''Дирак П.'' Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с.]
* {{книга
 |автор         = Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М.
 |часть         = 
 |заглавие      = Квантовая механика (нерелятивистская теория)
 |оригинал      = 
 |ссылка        = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = 
 |издательство  = Физматлит
 |год           = 2008
 |том           = 
 |страницы      = 
 |страниц       = 800
 |серия         = «Теоретическая физика», том III
 |isbn          = 978-5-9221-0530-9
 |тираж         = 3000
}}

{{Производные буквы H|nocat=1}}

[[Категория:Квантовая механика]]
[[Категория:Теория операторов]]
[[Категория:Гамильтонова механика]]
[[Категория:Объекты, названные в честь Уильяма Роуэна Гамильтона]]