Просмотр кода страницы Деление на ноль

[[Файл:Hyperbola one over x.svg|thumb|Функция <math>y = {1\over x}</math>. Когда <math>x</math> стремится к нулю справа, <math>y</math> стремится к плюс бесконечности; когда <math>x</math> стремится к нулю слева, <math>y</math>{{nbsp}}стремится к минус бесконечности.]]

'''Деление на [[0 (число)|ноль]]''' в [[Математика|математике]] — [[деление (математика)|деление]], при котором делитель равен нулю. Такое деление может быть формально записано как <math>a\over 0</math>, где <math>a</math> — делимое.

== В арифметике ==
В [[Арифметика|арифметике]] с [[Вещественное число|вещественными числами]] данное выражение не имеет смысла, так как:

* при {{math|<var>а</var> ≠ 0}} не существует числа, которое при [[Умножение|умножении]] на {{math|0}} даёт {{math|<var>а</var>}}, поэтому ни одно число не может быть принято за частное {{math|{{frac|<var>а</var>|0}}}};
* при {{math|<var>а</var> {{=}} 0}} деление на ноль также не определено, поскольку любое число при умножении на {{math|0}} даёт {{math|0}} и может быть принято за частное {{math|{{frac|0|0}}}}.

Исторически одна из первых ссылок на математическую невозможность присвоения значения {{math|{{frac|<var>а</var>|0}}}} содержится в критике [[Беркли, Джордж|Джорджа Беркли]] [[Бесконечно малая и бесконечно большая|исчисления бесконечно малых]].

== В алгебре ==
Деление на ноль недопустимо во многих [[Алгебраическая система|алгебраических структурах]] (например, в [[Поле (алгебра)|полях]], [[Кольцо (алгебра)|кольцах]]). Однако понятие кольца можно расширить так, чтобы деление на ноль было возможным. Получившаяся структура называется [[колесо (алгебра)|колесо]].

== Делимость ==
{{основная статья|Делимость}}
В то же время, согласно определению [[Делимость|делимости]] целых чисел, если для некоторого целого числа <math>a</math> и целого числа <math>b</math> существует такое целое число <math>q</math>, что <math>a=q\,b</math>, то говорят, что число <math>a</math> '''делится нацело''' на <math>b</math> (обозначается <math>a\,\vdots\,b</math>) или что <math>b</math> '''делит''' <math>a</math> (обозначается <math>b\mid a</math>).

В соответствии с этим определением выполняются следующие [[Делимость#Свойства|свойства]]:

* Любое целое число является делителем нуля:
: <math>0\,\vdots\,a</math>,
: и частное (при <math>a \ne 0</math>) равно нулю.

* На ноль делится только ноль:
: <math>a\,\vdots\,0\quad\Rightarrow\quad a = 0</math>,
: причём частное в этом случае не определено.

== Логические ошибки ==
Поскольку при умножении любого числа на ноль в результате мы всегда получаем ноль, при делении обеих частей выражения {{math|<var>x</var> × 0 {{=}} <var>y</var> × 0}}, верного вне зависимости от значения {{math|<var>x</var>}} и {{math|<var>y</var>}}, на {{math|0}} получаем неверное в случае произвольно заданных переменных выражение {{math|<var>x</var> {{=}} <var>y</var>}}. Поскольку ноль может быть задан не явно, но в виде достаточно сложного математического выражения, к примеру в форме [[Вычитание|разности]] двух значений, сводимых друг к другу путём алгебраических преобразований, такое деление может быть достаточно неочевидной ошибкой. Незаметное внесение такого деления в процесс [[Математическое доказательство|доказательства]] с целью показать идентичность заведомо разных величин, тем самым доказывая любое [[абсурд]]ное утверждение, является одной из разновидностей [[Математический софизм#Деление на ноль|математического софизма]]<ref>{{Книга|автор=Чарльз Сейфе|часть=Устрашающие свойства пустоты|заглавие=[[Ноль. Биография опасной идеи]]|оригинал=Zero: The Biography of a Dangerous Idea|ответственный=|издание=|место=|издательство=Neoclassic, АСТ|год=2014 |страницы=|страниц=|isbn=978-5-17-083294-1, 978-985-18-3018-9|тираж=2000}}</ref>.

== В информатике ==
В [[Программирование|программировании]], в зависимости от [[Язык программирования|языка программирования]], [[Тип данных|типа данных]] и значения делимого, попытка деления на ноль может приводить к различным последствиям. Принципиально различны последствия деления на ноль в [[целое число|целой]] и вещественной арифметике:
* Попытка ''целочисленного'' деления на ноль всегда является критической ошибкой, делающей невозможным дальнейшее исполнение программы. Она приводит либо к генерации [[Обработка исключений|исключения]] (которое программа может обработать сама, избежав тем самым аварийной остановки), либо к немедленной остановке программы с выдачей сообщения о неисправимой ошибке и, возможно, содержимого [[Стек вызовов|стека вызовов]]. В некоторых языках программирования, например, в [[Go]], целочисленное деление на нулевую константу считается синтаксической ошибкой и приводит к аварийному прекращению компиляции программы.
* В ''вещественной'' арифметике последствия могут быть различным в разных языках:
:* генерация исключения или остановка программы, как и при целочисленном делении;
:* получение в результате операции специального нечислового значения. Вычисления при этом не прерываются, а их результат впоследствии может быть интерпретирован самой программой или пользователем как осмысленное значение или как свидетельство некорректности вычислений. Широко используется принцип, согласно которому при делении вида {{math|{{дробь|<var>a</var>|0}}}}, где {{math|<var>a</var> ≠ 0}} — [[число с плавающей запятой]], результат оказывается равен положительной или отрицательной (в зависимости от знака делимого) бесконечности — <code>+INF</code> или <code>−INF</code>, а при {{math|<var>a</var> {{=}} 0}} в результате получается специальное значение [[NaN]] (сокр. от {{lang-en|not a number}} — «не число»). Такой подход принят в стандарте [[IEEE 754-2008|IEEE{{nbsp}}754]], который поддерживается многими современными языками программирования.

Случайное деление на ноль в компьютерной программе порой становится причиной дорогих или опасных сбоев в работе управляемого программой оборудования. К примеру, 21 сентября 1997 года в результате деления на ноль в компьютеризированной управляющей системе крейсера [[USS Yorktown (CG-48)]] Военно-морского флота США произошло отключение всего электронного оборудования в системе, в результате чего силовая установка корабля прекратила свою работу<ref>[http://archive.wired.com/science/discoveries/news/1998/07/13987]{{Wayback|url=http://archive.wired.com/science/discoveries/news/1998/07/13987|date=20150712183120}}<span> Sunk by Windows</span>{{nbsp}}<span>NT</span> // Wired News. 1998-07-24.</ref><ref>{{cite web|url=https://people.eecs.berkeley.edu/~wkahan/Boulder.pdf|title=Desperately Needed Remedies for the Undebuggability of Large Floating-Point Computations in Science and Engineering|author=William Kahan|date=April 24, 2012 6:41 AM|format=PDF|pages=54/90|access-date=2016-09-28|archive-date=2016-09-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20160924172828/https://people.eecs.berkeley.edu/~wkahan/Boulder.pdf|deadlink=no}}</ref>.

== См. также ==
* [[Деление (математика)]]
* [[Делитель нуля]]
* [[Асимптота]]

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Деление]]
[[Категория:Компьютерная арифметика]]
[[Категория:Математический анализ]]
[[Категория:Арифметика]]
[[Категория:Элементарная алгебра]]
[[Категория:Ноль]]
[[Категория:Бесконечность]]