Просмотр кода страницы Конические координаты

[[File:Conical coordinates.png|thumb|380px|right|Координатные поверхности конических координат. Постоянные   {{math|''b''}} и {{math|''c''}} равны 1 и 2 соответственно. Красная сфера соответствует  {{math|1=''r'' = 2}}, синий эллиптический конус вокруг оси {{math|''z''}} соответствует μ=cosh(1), жёлтый эллиптический конус вокруг оси {{mvar|x}} соответствует {{math|1=''ν''<sup>2</sup> = 2/3}}.  Три поверхности пересекаются в точке  {{math|'''P'''}} (показана чёрным цветом) с [[Прямоугольная система координат|декартовыми координатами]] примерно (1.26, -0.78, 1.34).]]
'''Конические координаты''' — трёхмерная [[Ортогональная система координат|ортогональная]] [[система координат]], состоящая из концентрических сфер (радиус {{mvar|r}}) и двумя семействами перпендикулярных конусов, направленных вдоль осей  {{math|''z''}} и {{math|''x''}}.

== Основные определения ==

Конические координаты <math>(r, \mu, \nu)</math> определяются выражениями

:<math>
x = \frac{r\mu\nu}{bc},
</math> 

:<math>
y = \frac{r}{b} \sqrt{\frac{\left( \mu^{2} - b^{2} \right) \left( \nu^{2} - b^{2} \right)}{\left( b^{2} - c^{2} \right)} },
</math>

:<math>
z = \frac{r}{c} \sqrt{\frac{\left( \mu^{2} - c^{2} \right) \left( \nu^{2} - c^{2} \right)}{\left( c^{2} - b^{2} \right)} },
</math>

при этом на координаты накладываются ограничения

:<math>
\nu^{2} < c^{2} < \mu^{2} < b^{2}. 
</math>

Поверхности постоянного {{mvar|r}} представляют собой сферы радиуса {{mvar|r}} с центром в начале координат:
:<math>
x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2},
</math>

поверхности постоянных <math>\mu</math>  и <math>\nu</math> являются взаимно перпендикулярными [[конус]]ами: 

:<math>
\frac{x^{2}}{\mu^{2}} + \frac{y^{2}}{\mu^{2} + b^{2}} + \frac{z^{2}}{\mu^{2} - c^{2}} = 0
</math>
и
:<math>
\frac{x^{2}}{\nu^{2}} + \frac{y^{2}}{\nu^{2} - b^{2}} + \frac{z^{2}}{\nu^{2} + c^{2}} = 0.
</math>

== Масштабные множители ==
Масштабным множителем для радиуса  {{mvar|r}} является единица ({{math|1=''h<sub>r</sub>'' = 1}}), как в сферических координатах. Для конических координат масштабные множители имеют вид

:<math>
h_{\mu} = r \sqrt{\frac{\mu^{2} - \nu^{2}}{\left( b^{2} - \mu^{2} \right) \left( \mu^{2} - c^{2} \right)}}
</math>
и
:<math>
h_{\nu} = r \sqrt{\frac{\mu^{2} - \nu^{2}}{\left( b^{2} - \nu^{2} \right) \left( c^{2} - \nu^{2} \right)}}.
</math>

== Другой вариант определения ==
[[File:LightConeConicCoords.pdf|thumb]]
Существует другой набор конических координат:<ref>{{статья |заглавие=Causal association of electromagnetic signals using the Cayley–Menger determinant |ссылка=http://scitation.aip.org/content/aip/journal/apl/95/3/10.1063/1.3180815 |издание=[[Applied Physics Letters]] |том=95 |номер=3 |страницы=034106 |doi=10.1063/1.3180815 |issn=0003-6951 |язык=en |тип=journal |автор=Drake, Samuel Picton; Anderson, Brian D. O.; Yu, Changbin |число=20 |месяц=7 |год=2009 |archivedate=2016-03-09 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160309195946/http://scitation.aip.org/content/aip/journal/apl/95/3/10.1063/1.3180815 }}</ref>

<math>\begin{align}
\xi   &=  r\cos\phi\sin\theta,\\
\psi  &=  r\sin\phi\sin\theta, \\ 
\zeta &=  \theta,
\end{align}</math>   

где <math>\{r, \theta, \phi\}</math> — сферические полярные координаты. Обратное преобразование:

<math>\begin{align}
r      & =  \sqrt{\xi^2 + \psi^2},\\
\phi   & =  \frac{1}{\sin\zeta}\operatorname{arctg}(\frac{\psi}{\xi}), \\
\theta & =  \zeta.
\end{align}
</math>

Малое евклидово расстояние между двумя точками в данных координатах:

:<math>\begin{align}
ds^2  & =  d\xi^2 + d\psi^2+(\xi^2 + \psi^2)(1+\operatorname{arctg}(\frac{\psi}{\xi})^2\operatorname{ctg}\zeta^2) d\zeta^2 +\\
&+ 2\psi\operatorname{arctg}(\frac{\psi}{\xi})\operatorname{ctg}\zeta d\xi d\zeta - 2\xi\operatorname{arctg}(\frac{\psi}{\xi})\operatorname{ctg}\zeta d\psi d\zeta.
\end{align}</math>

Если путь между двумя точками ограничен поверхностью конуса, задаваемого <math>\zeta = \frac{\pi}{4}</math>, то геодезическое расстояние между двумя точками
<math>\{\xi_1,\psi_1,\zeta_1=\frac{\pi}{4}\}</math> и <math>\{\xi_2,\psi_2,\zeta_2=\frac{\pi}{4}\}</math> выражается как
<math>s^2_{12} = (\xi_1-\xi_2)^2+(\psi_1-\psi_2)^2.</math>

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
*{{книга |год=1953 |заглавие=Methods of Theoretical Physics, Part I |издательство=[[S&P Global|McGraw-Hill Education]] |место=New York |isbn=0-07-043316-X |lccn=52011515 |страницы=659 |язык=und |автор=Morse P.M., Feshbach H.}}
*{{книга |год=1956 |заглавие=The Mathematics of Physics and Chemistry |ссылка=https://archive.org/details/mathematicsphysi00marg_501 |издательство=D. van Nostrand |место=New York |страницы=[https://archive.org/details/mathematicsphysi00marg_501/page/n196 183]—184 |lccn=55010911 |язык=und |автор=Margenau H., Murphy G.M.}}
*{{книга |год=1961 |заглавие=Mathematical Handbook for Scientists and Engineers |издательство=[[S&P Global|McGraw-Hill Education]] |место=New York |id=ASIN B0000CKZX7 |страницы=179 |lccn=59014456 |язык=en |автор=Korn G.A., Korn T.M.}}
*{{книга |год=1967 |заглавие=Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]] |место=New York |страницы=991—100 |lccn=67025285 |язык=und |автор=Sauer R., Szabó I.}}  
*{{книга |год=1970 |заглавие=Mathematical Methods for Physicists |издание=2nd |издательство=[[Academic Press]] |место=Orlando, FL |страницы=118—119 |id=ASIN B000MBRNX4 |язык=und |автор=Arfken G.}}
*{{книга |год=1988 |часть=Conical Coordinates (r, θ, λ) |заглавие=Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions |издание=corrected 2nd ed., 3rd print |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |место=New York |страницы=37—40 (Table 1.09) |isbn=978-0-387-18430-2 |язык=en |автор=Moon P., Spencer D.E.}}

== Ссылки ==
* [http://mathworld.wolfram.com/ConicalCoordinates.html Описание конических координат в MathWorld]

{{Системы координат}}
[[Категория:Системы координат]]