Просмотр кода страницы Магнитная индукция

{{не путать|Электромагнитная индукция|явлением электромагнитной индукции}}
{{Физическая величина
 |Название    = Магнитная индукция
 |Символ      = <math>\vec B</math>
 |Размерность = MT<sup>−2</sup>I<sup>−1</sup>
 |СИ          = [[Тесла (единица измерения)|Тл]]
 |СГС         = [[Гаусс (единица измерения)|Гс]]
 |Примечания  = [[Векторная величина]]
}}
{{Электродинамика}}
'''Магни́тная инду́кция''' — [[Вектор (математика)|векторная]] физическая величина, являющаяся силовой характеристикой [[Магнитное поле|магнитного поля]], а именно характеристикой его действия на движущиеся [[Электрический заряд|заряженные]] частицы и на обладающие [[магнитный момент|магнитным моментом]] тела. 

Стандартное обозначение: <math>\vec B</math>; единица измерения в [[Международная система единиц|СИ]] — [[Тесла (единица измерения)|тесла]]{{nbsp}}(Тл), в [[СГС]] — [[Гаусс (единица измерения)|гаусс]]{{nbsp}}(Гс) (связь: 1 Тл = 10<sup>4</sup> Гс).

Величина магнитной индукции фигурирует в ряде важнейших формул [[Электродинамика|электродинамики]], включая [[уравнения Максвелла]].

Для измерения магнитной индукции <math>\vec B</math> используются [[Магнитометр|магнитометры-тесламетры]]. Также она может быть найдена расчётным путём — в статической ситуации для этого достаточно знать пространственное распределение [[Электрический ток|токов]]. 

Вектор <math>\vec B</math> в общем случае зависит от координат рассматриваемой точки и времени <math>t</math>. Он [[Инвариант (физика)|не инвариантен]] относительно [[Преобразования Лоренца|преобразований Лоренца]] и изменяется при смене [[Инерциальная система отсчёта|системы отсчёта]]. 

== Физический смысл ==
Магнитная индукция <math>\vec B</math> — это такой вектор, что [[сила Лоренца]] <math>\vec F</math>, действующая со стороны магнитного поля<ref>Если учитывать и действие электрического поля <math>\vec{E}</math>, то формула (полной) силы Лоренца принимает вид:
:<math>\vec F = q^* \vec E + q^* [\vec v \times \vec B].</math>
При отсутствии электрического поля (или если член, описывающий его действие, специально вычесть из полной силы) имеем формулу, приведённую в основном тексте.
</ref> на заряд <math>q^*</math>, движущийся со скоростью <math>\vec v</math>, равна
: <math>\vec F = q^* \left[ \vec v \times \vec B \right]</math>
: (по величине <math>F = q^* v B \sin\alpha</math>).
Косым крестом обозначено [[векторное произведение]], α — угол между векторами скорости и магнитной индукции (вектор <math>\vec F</math> перпендикулярен им обоим и направлен по [[Правило буравчика#Первое правило левой руки|правилу левой руки]]).

Также магнитная индукция может быть определена<ref>Это определение с современной точки зрения менее фундаментально, чем приведённое выше (и является просто его следствием), однако с точки зрения близости к одному из практических способов измерения магнитной индукции может быть полезным; также и с исторической точки зрения.</ref> как отношение максимального механического [[Момент силы|момента сил]], действующих на рамку с [[Электрический ток|током]], помещённую в предполагаемое однородным (на расстояниях порядка размера рамки) магнитное поле, к произведению [[Сила тока|силы тока]] <math>I^*</math> в рамке на её [[площадь]]. Момент сил зависит от ориентации рамки и достигает максимального значения при каких-то определённых углах. Звёздочка у символа указывает на то, что заряд или ток являются «[[Пробное тело|пробными]]», то есть используемыми именно для регистрации поля, в отличие от тех же величин без звёздочки. 

Магнитная индукция выступает основной, фундаментальной характеристикой магнитного поля, аналогичной вектору [[Напряжённость электрического поля|напряжённости электрического поля]] <math>\vec{E}</math>.

== Способы расчёта ==
=== Общий случай ===
В общем случае расчёт магнитной индукции проводится совместно с расчётом электрической составляющей электромагнитного поля посредством решения системы уравнений Максвелла:
: <math>\mathrm{div}\,(\varepsilon\vec E) = \frac{\rho}{\varepsilon_0},\ \ \ 
\mathrm{rot}\,\vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t},
</math>
: <math>\mathrm{div}\,\vec B = 0,\ \ \ \ \, \mathrm{rot}\,\frac{\vec B}{\mu} = \mu_0\vec j + \frac{\varepsilon}{c^2}\frac{\partial \vec E}{\partial t}
</math>,
где <math>\mu_0</math> — [[магнитная постоянная]], <math>\mu</math> — [[магнитная проницаемость]], <math>\varepsilon</math> — [[диэлектрическая проницаемость]], а <math>c</math> — [[скорость света]] в вакууме. Через <math>\rho</math> обозначена [[плотность заряда]] (Кл/м<sup>3</sup>) и через <math>\vec{j}</math> плотность тока (А/м<sup>2</sup>).

=== [[Магнитостатика]] ===
В магнитостатическом пределе<ref>То есть в частном случае постоянных токов и постоянных электрического и магнитного полей или — приближённо — если изменения настолько медленны, что ими можно пренебречь.</ref> расчёт магнитного поля может быть выполнен с использованием [[Закон Био — Савара — Лапласа|формулы Био—Савара—Лапласа]]. Вид этой формулы несколько различен для ситуаций, когда поле создаётся текущим по проводу <math>L_1</math> током <math>I</math> и когда оно создаётся объёмным распределением тока: 
: <math>\vec B \left( \vec r \right)
= {\mu_0 \over 4\pi}\int\limits_{L_1} \frac{ I \left( \vec r_1 \right)d \vec{l}_1 \times \left( \vec r - \vec r_1 \right)}{\left| \vec r - \vec r_1 \right|^3},\qquad
\vec B \left( \vec r \right)
= {\mu_0 \over 4\pi}\int \frac{ \vec{j} \left( \vec r_1 \right) dV_1 \times \left( \vec r - \vec r_1 \right)}{ \left| \vec r - \vec r_1 \right|^3}</math>.
В магнитостатике эта формула играет ту же роль, что [[закон Кулона]] в электростатике. Формула позволяет вычислить магнитную индукцию в вакууме. Для случая магнитной среды необходимо использовать уравнения Максвелла (без слагаемых с производными по времени).

Если заранее очевидна геометрия поля, помогает [[Теорема о циркуляции магнитного поля|теорема Ампера о циркуляции магнитного поля]]<ref>Являющаяся частным магнитостатическим случаем [[Закон Ампера — Максвелла|закона Ампера — Максвелла]].</ref> (эта запись является интегральной формой уравнения Максвелла для <math>\mathrm{rot}\,\vec B</math> в вакууме):
: <math>\oint\limits_{L} \vec B\cdot d\vec{l}
= \mu_0\int\limits_S \vec j \cdot d\vec{S}</math>.
Здесь <math>S</math> — произвольная поверхность, натянутая на выбранный замкнутый контур <math>L</math>.

; Простые примеры
Вектор магнитной индукции прямого провода с током <math>I</math> на расстоянии <math>a</math> от него составляет
: <math>\vec{B} = \frac{\mu_0\mu I}{2\pi a}\cdot\vec{e}_{\varphi} </math>,
где <math>\vec{e}_{\varphi}</math> — единичный вектор вдоль окружности, по оси симметрии которой проложен провод. Предполагается, что среда однородна. 

Вектор магнитной индукции прямого внутри [[соленоид]]а с током <math>I</math> и числом витков на единицу длины <math>n</math> равен
: <math>\vec{B} = \mu_0\mu nI\cdot\vec{e}_z</math>,
где <math>\vec{e}_{z}</math> — единичный вектор вдоль оси соленоида. Здесь также предполагается однородность магнетика, которым заполнен соленоид.

== Связь с напряжённостью ==
Магнитная индукция и [[напряжённость магнитного поля]] связаны через соотношение
: <math> \vec{B} = \mu_0\mu\vec{H}</math>,
где <math>\mu</math> — [[магнитная проницаемость]] среды (в общем случае это [[тензор]]ная величина, но в большинстве реальных случаев её можно считать скаляром, то есть просто константой конкретного материала).

== Основные уравнения ==
Поскольку вектор магнитной индукции является одной из основных фундаментальных физических величин в теории электромагнетизма, он входит в большое число уравнений, иногда непосредственно, иногда через связанную с ним [[напряжённость магнитного поля]]. По сути, единственная область в классической теории электромагнетизма, где он отсутствует, — это [[электростатика]].

Некоторые из уравнений:
* Три из выписанных выше [[Уравнения Максвелла|четырех уравнений Максвелла]] (основных уравнений электродинамики). Их физическое содержание: уравнение для <math>\mathrm{div}\,\vec B</math> — закон отсутствия [[Магнитный монополь|монополя]], для <math>\mathrm{rot}\,\vec E</math> — [[закон электромагнитной индукции Фарадея]], для <math>\mathrm{rot}\,\vec B</math> — [[закон Ампера — Максвелла]].
* Формула [[Сила Лоренца|силы Лоренца]] при наличии и магнитного (<math>\vec{B}</math>), и электрического (<math>\vec{E}</math>) поля:
*: <math>\vec F = q^* \vec E + q^* \left[ \vec v \times \vec B \right]</math>.
* Выражение для [[Закон Ампера|силы Ампера]], действующей со стороны магнитного поля на ток (участок провода с током):
*: <math>d \vec F = \left[ I^* \vec{dl} \times \vec B \right] </math> или <math>d \vec F = \left[ \vec j^* dV \times \vec B \right]</math>.
* Выражение для [[Момент силы|момента силы]], действующего со стороны магнитного поля на [[Диполь (электродинамика)#Магнитный диполь|магнитный диполь]] <math>m^*</math> (виток с током, катушку или постоянный магнит):
*: <math>\vec M = \vec m^* \times \vec B</math>.
* Выражение для потенциальной энергии магнитного диполя в магнитном поле:
*: <math>U = - \vec m^* \cdot \vec B</math>,
: из которого следуют выражения для силы, действующей на магнитный диполь в неоднородном магнитном поле,
* Выражение для силы, действующей со стороны магнитного поля на точечный [[Магнитный монополь|магнитный заряд]]:
*: <math>\vec F = K \frac{q_m^* \vec r}{r^3}.</math>
: (это выражение, точно соответствующее обычному закону Кулона, широко используется для формальных вычислений, для которых ценна его простота, несмотря на то, что реальных магнитных зарядов в природе не обнаружено; также может прямо применяться к вычислению силы, действующей со стороны магнитного поля на полюс длинного тонкого магнита или соленоида).
* Выражение для плотности энергии магнитного поля
*: <math>w = \frac{B^2}{2 \mu_0\mu}</math>.
: Оно входит (вместе с энергией электрического поля) и в выражение для энергии электромагнитного поля, и в [[лагранжиан]] электромагнитного поля, и в его [[Действие (физическая величина)|действие]]. Последнее же с современной точки зрения является фундаментальной основой электродинамики (как классической, так в принципе и квантовой).

== Типичные значения ==
{| class="wikitable"
|+ характерные значения магнитной индукции
|-
! объект !! <math>B</math>, Тл !! объект !! <math>B</math>, Тл
|-
| магнитоэкранируемая комната || 10<sup>-14</sup> || солнечное пятно || 0,15 
|-
| межзвёздное пространство || 10<sup>-10</sup> || небольшой магнит (Nd-Fe-B) || 0,2 
|-
| магнитное поле Земли  || 5*10<sup>-5</sup> || большой электромагнит 	|| 1,5
|-
| 1 см от провода с током 100 А|| 2*10<sup>-3</sup> || сильный лабораторный магнит 	 || 10
|-
| небольшой магнит (феррит) || 0,01 || поверхность нейтронной звезды|| 10<sup>8</sup> 
|}

== Примечания ==
{{примечания}}

== См. также ==
* [[Векторный потенциал]]
* [[Уравнения Максвелла]]
* [[Электромагнитное поле]]
* [[Тензор электромагнитного поля]]
* [[Напряжённость магнитного поля]]

{{rq|sources|img|topic=physics}}

[[Категория:Магнетизм]]
[[Категория:Физические величины]]