Просмотр кода страницы Неравенство Мюрхеда

{{Универсальная карточка}}

'''Неравенство [[Мюрхед, Роберт Франклин|Мюрхеда]]''' позволяет сравнивать значения некоторых [[симметрический многочлен|симметрических многочленов]] на одном и том же наборе неотрицательных значений аргументов.

== Вводные определения ==
Пусть <math>\alpha = (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)</math> — [[Кортеж (математика)|упорядоченный набор]] целых неотрицательных чисел <math>\alpha_1\leqslant \alpha_2\leqslant \dots\leqslant \alpha_n</math>. Через <math>T_\alpha (x_1,x_2,\dots,x_n)</math> будем обозначать [[симметрический многочлен]] от ''n'' переменных, который есть по определению сумма одночленов вида <math> x_{\pi(1)}^{\alpha_1} x_{\pi(2)}^{\alpha_2} \cdots x_{\pi(n)}^{\alpha_n} </math> по всем [[перестановка]]м <math>\pi</math> порядка ''n''.

== Неравенство Мюрхеда ==
Пусть <math>\displaystyle \alpha = (\displaystyle \alpha_{1}^{},...,\displaystyle \alpha_{n}^{}) </math> и <math> \displaystyle \beta = (\displaystyle \beta_{1}^{},...,\displaystyle \beta_{n}^{})</math> — два набора показателей с равной суммой такие, что <math>\alpha</math> [[Мажорирование множеств|мажорирует]] <math>\beta</math>, то при всех неотрицательных <math>x_1,...,x_n</math> выполняется неравенство: 
:<math> T_\alpha(x_1,\dots, x_n) \geqslant T_\beta(x_1,\dots, x_n).</math>

== См. также ==
* [[Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим]]
* [[Дважды стохастическая матрица]]

== Ссылки ==
* [http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=61424 Неравенство Мюрхеда] {{Wayback|url=http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=61424 |date=20141020221200 }} на сайте problems.ru
* {{книга
 |автор=[[Прасолов, Виктор Васильевич|В. В. Прасолов]]
 |заглавие=Многочлены
 |часть=Глава 11.3. Неравенства Мюрхеда
 |место=М.
 |издательство=[[МЦНМО]]
 |год=2003
 |страниц=336
 |ссылка=http://www.mccme.ru/prasolov/
 |isbn=5-94057-077-1
}}

{{math-stub}}
{{дописать|дата=2023-03-09}}

[[Категория:Неравенства]]
[[Категория:Многочлены]]
[[Категория:Теоремы алгебры|М]]
[[Категория:Числовые неравенства]]