Просмотр кода страницы Открытые проблемы в теории чисел

[[Теория чисел]] — это раздел [[математика|математики]], занимающийся преимущественно изучением [[Натуральное число|натуральных]] и [[целое число|целых чисел]] и их свойств, часто с привлечением методов [[Математический анализ|математического анализа]] и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем, попытки решения которых предпринимались математиками в течение десятков, а иногда даже сотен лет, но которые пока так и остаются открытыми. Ниже приведены некоторые из наиболее известных нерешённых проблем.

== Гипотезы о [[Простое число|простых числах]] ==
* Сильная [[проблема Гольдбаха]]. Каждое чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
* [[Число Ризеля|Проблема Ризеля]]: поиск такого минимального нечётного <math>k < 509203</math>, что число <math>k \cdot 2^n - 1</math> является составным для всех натуральных <math>n</math>.
* [[Проблема Серпинского]]: поиск такого минимального нечётного натурального <math>k < 78557</math>, что число <math>k \cdot 2^n + 1</math> является составным для всех натуральных <math>n</math>.
** [[Простая проблема Серпинского]]: поиск такого минимального нечётного простого натурального <math>k < 271129</math>, что число <math>k \cdot 2^n + 1</math> является составным для всех натуральных <math>n</math>.
** [[Двойственная проблема Серпинского]]: поиск такого минимального нечётного натурального <math>k</math>, что число <math>2^n \pm k</math> является составным для всех натуральных <math>n</math>. Связанный вопрос о тесте на простоту: если существует алгоритм, позволяющий быстро (за полиномиальное время) узнать, является ли число <math>k \cdot 2^n \pm 1</math> простым (строго, то есть не псевдопростым), то существует ли двойственный к нему алгоритм теста на простоту для чисел вида <math>2^n \pm k</math>? Ответ на последний вопрос позволил бы узнать, являются ли пять больших возможно простых из задания «Пять или провал» простыми или составными.
* [[Гипотеза Артина]] о бесконечности множества простых чисел, [[сравнение по модулю натурального числа|по модулю]] которых заданное целое число является [[первообразный корень (теория чисел)|первообразным корнем]].
* [[Гипотеза Лежандра]]. Для любого натурального <math>n</math> между <math>n^2</math> и <math>(n+1)^2</math> найдётся хотя бы одно простое число.
* [[Гипотеза Оппермана]]. Для любого натурального <math>n</math> между <math>n^2</math> и <math>n(n+1)</math> найдётся хотя бы одно простое число и между <math>n(n+1)</math> и <math>(n+1)^2</math> — ещё хотя бы одно (другое) простое число.
* [[Гипотеза Андрицы]]. Функция <math>f(n) = \sqrt{p_{n+1}} - \sqrt{p_n}</math> (где <math>p_n</math> — это <math>n</math>-ое простое число) принимает значения, меньшие 1 для любого n.
* [[Гипотеза Брокара]]. Для любого натурального <math>n</math> между <math>p_n^2</math> и <math>p_{n+1}^2</math> (где <math>p_n</math> — это <math>n</math>-ое простое число) найдётся хотя бы четыре простых числа.
* [[Гипотеза Фирузбэхт]]. Последовательность <math>(p_n)^{1/n}</math> — строго убывающая (здесь <math>p_n</math> — это <math>n</math>-ое простое число).
* [[Гипотеза Полиньяка]]. Для любого чётного числа <math>n</math> найдётся бесконечно много пар соседних простых чисел, разность между которыми равна <math>n</math>.
* [[Гипотеза Аго — Джуги]]: верно ли, что если
*: <math>\sum_{i=1}^{p-1} i^{p-1} = 1^{p-1}+2^{p-1}+ \cdots +(p-1)^{p-1} \equiv -1 \pmod p</math>, то p — простое?
* Верно ли, что для любого положительного иррационального числа <math>\theta</math> и любого положительного <math>\epsilon</math> существует бесконечное количество пар простых чисел <math>(p, q),</math> для которых выполняется неравенство <math>\left|\theta-\frac{p}{q}\right|<q^{-2+\epsilon}</math>?<ref>[https://books.google.ru/books?id=4lT3M6F745sC Mathematical developments arising from Hilbert problems], стр. 39</ref>
* Сходится ли ряд <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{k}{p_k}</math>?<ref>{{MathWorld|PrimeSums|Prime Sums}}</ref> Но если он сходится, то [[Числа-близнецы|простых чисел-близнецов]] конечно много. Это вытекает из [[Теорема о распределении простых чисел|теоремы о распределении простых чисел]] и [[Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов|признака Лейбница]]{{нет АИ|6|01|2019|comment=А не наоборот? — [[У:Alexei Kopylov|Алексей Копылов]] 06:39, 6 января 2019 (UTC)}}.
* [[Гипотеза Гильбрайта]]. Для любого натурального числа <math>n</math> последовательность абсолютных разностей <math>n</math>-го порядка для последовательности простых чисел начинается с 1. Абсолютные разности 1-го порядка — это [[Абсолютная величина|абсолютные величины]] разностей между соседними простыми числами: <math>1, 2, 2, 4, 2, \dots,</math> разности 2-го порядка — это абсолютные величины разностей между соседними элементами в последовательности абсолютных разностей 1-го порядка: <math>1, 0, 2, 2, 2, \dots</math> и т. д. Гипотеза проверена для всех ''n'' < 3,4×10<sup>11</sup><ref>{{MathWorld|GilbreathsConjecture|Гипотеза Гильбрайта}}</ref>
* [[Гипотеза Буняковского]] Если <math>f(x)</math> — целозначный неприводимый многочлен и ''d'' — наибольший общий делитель всех его значений, то целозначный многочлен <math>f(x)/d</math> принимает бесконечно много простых значений. 4-я проблема Ландау — частный случай этой гипотезы при <math>f(x)=x^2+1</math>.
* [[Гипотеза Диксона]] Если <math>a_1n+b_1, a_2n+b_2...,a_rn+b_r</math> — конечное число арифметических прогрессий, то существует бесконечно много натуральных чисел ''n'' таких, что для каждого такого ''n'' все ''r'' чисел <math>a_1n+b_1, a_2n+b_2...,a_rn+b_r</math> являются простыми одновременно. Причём из рассмотрения исключается тривиальный случай, когда существует такое простое ''p'', что при любом ''n'' хотя бы одно число <math>a_jn+b_j</math> кратно ''p''.
* [[Гипотеза Эллиота — Халберстама]] и её обобщение в теории простых чисел в модулях.
* Все ли [[Число Ферма|числа Ферма]] составные при n > 4?
* Все ли [[Число Мерсенна|числа Мерсенна]] с простыми индексами [[Свободное от квадратов число|свободны от квадратов]]?
* Имеются ли [[Число Мерсенна|двойные числа Мерсенна]] с индексами n > 60?
* Является ли число M<sub>M<sub>127</sub></sub> и следующие члены последовательности Каталана-Мерсенна простыми?
* Имеются ли [[Простое число Вольстенхольма|простые числа Вольстенхольма]], отличные от {{nobr|16 843}} и {{nobr|2 124 679}}?
* Открытым является вопрос бесконечности количества простых чисел в каждой из следующих последовательностей<ref>{{MathWorld3|Integer Sequence Primes}}</ref>:
{| align="center" width="500px;" border="1"
|----- align="center"
| '''Последовательность'''
| '''Название'''
|----- align="center"
| <math>2^n-1</math>
| [[числа Мерсенна]]
|----- align="center"
| <math>n^2+1</math>
| 4-я [[проблема Ландау]]
|----- align="center"
| <math>n^{2^k}+1</math>, <math>k>0</math>
| обобщение [[проблема Ландау|проблемы Ландау]]{{sfn|Стюарт|с=68|2015}}.
|----- align="center"
| <math>n\cdot 2^n+1</math>
| [[числа Каллена]]
|----- align="center"
| <math>n\cdot 2^n-1</math>
| [[Число Вудала|числа Вудала]]
|----- align="center"
| <math>2^{2^n}+1</math>
| [[числа Ферма]]
|----- align="center"
| <math>F_n</math>
| [[числа Фибоначчи]]
|----- align="center"
| пары <math>(n,\;n+2)</math>
| [[простые близнецы]]
|----- align="center"
| пары <math>(n,\;2n+1)</math>
| [[простые числа Софи Жермен]]
|----- align="center"
| <math>n! \pm 1</math>
| [[Факториальное простое число|факториальные числа]]
|----- align="center"
| <math>n\# \pm 1</math>
| [[Праймориальное простое|праймориальные числа]]
|----- align="center"
| <math>k \cdot 2^n + 1</math>, <math>k</math> — нечетно, <math>2^n > k</math>
| [[Число Прота|числа Прота]]
|}
* Существует ли многочлен <math>f(x)</math> , кроме линейного, среди значений которого существует бесконечно много простых чисел?<ref name ="Mati">[[Матиясевич, Юрий Владимирович|Матиясевич, Ю. В.]] [http://kvant.mccme.ru/au/matiyasevich_yu.htm Формулы для простых чисел] {{Wayback|url=http://kvant.mccme.ru/au/matiyasevich_yu.htm |date=20160304114619 }} // Квант. — 1975. — Т. 1. — № 5. — С. 8.</ref>
* Почему простые числа располагаются в цепочки вдоль диагоналей [[Скатерть Улама|скатерти Улама]]?<ref name ="Mati"></ref>
* Верно ли, что только три простых числа, а именно 5, 13 и 97, представимы в виде <math>2^k + 3^k</math> при некотором натуральном <math>k</math>?

== Гипотезы о совершенных числах ==
* Не существует нечётных [[Совершенное число|совершенных чисел]].{{sfn|Стюарт|2015|с=404}}
* Количество совершенных чисел бесконечно.

== Гипотезы о дружественных числах ==
* Не существует [[Взаимно простые числа|взаимно простых]] [[Дружественные числа|дружественных чисел]].
* Любая пара дружественных чисел имеет одинаковую чётность.
* Дружественных чисел бесконечно много.

== [[Гауссовы целые числа|Гауссовы числа]] ==
* Найти количество гауссовых чисел, норма которых меньше заданной натуральной константы <math>R</math>. В эквивалентной формулировке эта тема известна как «[[проблема круга Гаусса]]» в [[Геометрия чисел|геометрии чисел]]<ref>{{книга|автор=Conway J. H., Sloane N. J. A.|заглавие=Sphere Packings, Lattices and Groups|издательство=Springer-Verlag|pages=106}}</ref>. См. {{OEIS|id=A000328}}.
* Найти прямые на комплексной плоскости, содержащие бесконечно много простых гауссовых чисел. Две такие прямые очевидны — это координатные оси; неизвестно, существуют ли другие<ref>{{книга|автор=Ribenboim, Paulo.|заглавие=The New Book of Prime Number Records, Ch.III.4.D Ch. 6.II, Ch. 6.IV |ссылка=https://archive.org/details/newbookofprimenu0000ribe|издание=3rd ed| место=New York |издательство=Springer|год=1996|isbn=0-387-94457-5 }}</ref>.
* Вопрос, известный под названием «[[ров Гаусса]]»: можно ли дойти до бесконечности, переходя от одного простого гауссова числа к другому скачками заранее ограниченной длины? Задача поставлена в 1962 году и до сих пор не решена<ref>{{книга|автор=Guy Richard K.|заглавие=Unsolved problems in number theory |ссылка=https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr/page/55|издание=3rd ed |место=New York|издательство=Springer|год=2004|isbn=978-0-387-20860-2|pages=55—57}}</ref>.

== [[Диофантовы уравнения]] ==
* Каждое ли [[перечислимое множество]] имеет [[Диофантово представление#Однократное диофантово представление|однократное диофантово представление]]?<ref name="ReferenceA"/>
* Может ли не иметь однократного диофантова представления объединение двух множеств, каждое из которых имеет однократное диофантово представление?
* Каждое ли перечислимое множество имеет диофантово представление в виде уравнения степени 3 относительно всех переменных (параметров и неизвестных)?
* Каждое ли перечислимое множество имеет диофантово представление в виде уравнения степени 3 относительно неизвестных?
* Какое наименьшее число переменных может иметь [[универсальное диофантово уравнение]]? Какую наименьшую степень оно может иметь при таком числе переменных? Наименьший известный результат — 9 переменных. Наименьшая известная степень уравнения при 9 переменных превышает <math>10^{45}.</math><ref>{{статья |заглавие=Undecidable diophantine equations |издание=[[Bulletin of the American Mathematical Society|Bull. Amer. Math. Soc.]] |том=3 |страницы=859—862 |doi=10.1090/S0273-0979-1980-14832-6 |ссылка=http://www.ams.org/bull/1980-03-02/S0273-0979-1980-14832-6/S0273-0979-1980-14832-6.pdf |язык=en |автор=Jones J. P. |год=1980 |тип=journal}}</ref>
* Какое наименьшее число переменных может иметь универсальное диофантово уравнение степени 4? Наименьший известный результат составляет 58.
* Существует ли универсальное диофантово уравнение степени 3? Если да, то какое наименьшее число переменных оно может иметь?
* Какое наименьшее количество операций (сложений, вычитаний и умножений) может иметь универсальное диофантово уравнение? Наименьший известный результат составляет 100.
* Бесконечно ли множество решений диофантова уравнения <math>9(u^2+7v^2)^2-7(r^2+7s^2)^2=2</math>?<ref name="ReferenceA">{{книга
|автор = [[Матиясевич, Юрий Владимирович|Ю. В. Матиясевич]]
|часть = Упражнение 2.10
|заглавие = Десятая проблема Гильберта
|ссылка = http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat/H10Pbook/index.html
|место = {{М}}
|издательство = Наука
|год = 1993
|страниц = 223
|серия = Математическая логика и основания математики; выпуск № 26
|isbn = 502014326X
|archive-date = 2013-10-28
|archive-url = https://web.archive.org/web/20131028230444/http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat/H10Pbook/index.html
}}</ref>
* Существование [[Рациональный кубоид|прямоугольного параллелепипеда с тремя целочисленными рёбрами и целочисленными диагоналями]].
* [[Гипотеза Холла]] об оценке сверху для решений диофантова [[Уравнение Морделла|уравнения Морделла]] <math>y^2=x^3+k</math> при заданном <math>k\neq 0</math>.

Многие нерешённые проблемы (например, [[проблема Гольдбаха]] или [[гипотеза Римана]]) могут быть переформулированы как вопросы о разрешимости [[Диофантово уравнение|диофантовых уравнений]] 4-й степени некоторого специального вида, однако такая переформулировка обычно не делает проблему проще ввиду отсутствия общего метода решения диофантовых уравнений<ref>Yuri Matiyasevich, [http://www.claymath.org/events/h10/matiyasevich2.pdf Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done] {{Wayback|url=http://www.claymath.org/events/h10/matiyasevich2.pdf |date=20100613113440 }}</ref><ref name="ReferenceA"/>.

== [[Аналитическая теория чисел]] ==
* [[Гипотеза Римана]] (теоретико-числовая формулировка). Верна ли следующая [[Асимптотическая оценка|асимптотическая]] формула для распределения простых чисел:
*: <math>\pi(x) = \int\limits_2^x\!\frac{dt}{\ln t} + O\left(\sqrt x\ln x\right) ?</math>
* Известно, что количество точек с положительными целочисленными координатами в области, ограниченной гиперболой <math>x y=N</math> и положительными полуосями, выражается асимптотической формулой
*: <math>\Phi(N) = \sum_{k=1}^N \tau(k) = N \ln N + (2\gamma-1)N+O(N^\theta),</math>
: где <math>\tau(k)</math> — количество [[Делитель|делителей]] числа ''k'', <math>\gamma</math> — [[постоянная Эйлера — Маскерони]], а <math>\theta</math> может быть выбрано равным <math>\frac{131}{416}.</math> Однако, неизвестно, при каком наименьшем значении <math>\theta</math> эта формула останется верной (известно, что оно не меньше, чем <math>\frac{1}{4}</math>)<ref>{{книга |автор=А. А. Бухштаб |заглавие=Теория чисел |место=М. |издательство=Просвещение |год=1966 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Buhshtab1966ru.djvu |archive-date=2012-01-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120113174306/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Buhshtab1966ru.djvu }}</ref><ref>{{книга|заглавие=Математическая энциклопедия. —  Советская энциклопедия|часть=Аналитическая теория чисел|год=1977—1985|автор=И. М. Виноградов|место=М.|язык=ru}}</ref><ref>{{MathWorld3|Dirichlet Divisor Problem}}</ref>. Равно ли оно в точности <math>\frac{1}{4}</math>? Прямые вычисления <math>\theta</math> приводят к этой гипотезе, поскольку <math>x^{\theta}/x^{1/4}</math> оказывается почти нормальным распределением с дисперсией 1 для x вплоть до <math>10^{16}</math>.
* [[Гипотеза Крамера]] о [[Пробелы между простыми|пробелах между простыми числами]]: <math>\max_{i\le n} (p_{i+1}-p_i)=O(\ln ^2 p_n)</math>.
* Ослабленная [[гипотеза Мертенса]]: доказать, что [[функция Мертенса]] <math>M(n)</math> оценивается как <math>M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon})</math>. Ослабленная гипотеза Мертенса эквивалентна гипотезе Римана.
* [[Первая гипотеза Харди — Литлвуда]] — гипотеза о плотности распределения кортежей простых чисел вида <math>(p,p+a_2...,p+a_k)</math>, утверждающая, в частности, что число таких кортежей бесконечно, исключая тривиальные случаи. Эта гипотеза является уточнением гипотезы о простых близнецах, а также является частным случаем гипотезы Диксона.
* [[Вторая гипотеза Харди — Литлвуда]] — гипотеза о логарифмическом свойстве [[Функция распределения простых чисел|функции числа простых чисел]]: <math>\pi(x+y)\leqslant\pi(x)+\pi(y)</math>. Доказано, что гипотезы Харди-Литлвуда обе сразу не могут быть верными и верна максимум одна<ref>{{cite web|title=447-tuple calculations|url=http://www.opertech.com/primes/residues.html|accessdate=2008-08-12|archiveurl=https://www.webcitation.org/6DFVOfgxk?url=http://www.opertech.com/primes/residues.html|archivedate=2012-12-28}}</ref>.
* [[Гипотеза Сингмастера]]. Обозначим через <math>N(a)</math> количество раз, которое натуральное число <math>a</math>, большее единицы, встречается в [[Треугольник Паскаля|треугольнике Паскаля]]. [[Сингмастер, Дэвид|Сингмастер]] показал, что <math>N(a)=O(\ln a)</math>, что в дальнейшем было улучшено до <math>N(a) = O(\ln a \cdot \ln \ln \ln a \cdot {\ln}^{-3} \ln a)</math>. Верно ли более сильное утверждение <math>N(a)=O(1)</math>?
* [[Гипотеза Зарембы]]. Для любого натурального числа ''q'' найдётся такое число ''p'', что в разложении <math>\frac pq</math> в [[цепная дробь|цепную дробь]] все неполные частные не превосходят пяти. В [[2011 год]]у [[Жан Бурган|Жаном Бургейном]] и Алексом Конторовичем было доказано, что для дробей с неполными частными, ограниченными 50, гипотеза верна на множестве плотностью 1<ref>J. Bourgain, A. Kontorovich. [https://arxiv.org/abs/1103.0422 On Zaremba’s Conjecture].</ref>.

== [[Теория Рамсея]] ==
* Значения [[Числа Рамсея|чисел Рамсея]] <math>R(r,\;s)</math><ref>{{Статья|автор=Stanisław Radziszowski|заглавие=Small Ramsey Numbers|ссылка=http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/DS1|язык=en|издание=The Electronic Journal of Combinatorics|тип=|год=2017|месяц=03|число=03|том=|выпуск=|номер=|страницы=|issn=1077-8926|archivedate=2017-05-29|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170529185313/http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/DS1}} (revision 15)</ref>. Точно известны только несколько первых чисел. Например, неизвестно, при каком наименьшем N в любой группе из N человек найдутся 5 человек, попарно знакомых друг с другом, или 5 человек, попарно незнакомых друг с другом — это число обозначается <math>R(5,\;5)</math>, про него известно только, что <math>43\leqslant R(5,\;5)\leqslant 48</math>.
{| class="wikitable"
! <math>r,\;s</math>
! 1
! 2
! 3
! 4
! 5
! 6
! 7
! 8
! 9
! 10
|-
! 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
|-
! 2
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
| 10
|-
! 3
| 1
| 3
| 6
| 9
| 14
| 18
| 23
| 28
| 36
| [40, 42]
|-
! 4
| 1
| 4
| 9
| 18
| 25
| [36, 41]
| [49, 61]
| [59, 84]
| [73, 115]
| [92, 149]
|-
! 5
| 1
| 5
| 14
| 25
| [43, 48]
| [58, 87]
| [80, 143]
| [101, 216]
| [133, 316]
| [149, 442]
|-
! 6
| 1
| 6
| 18
| [36, 41]
| [58, 87]
| [102, 165]
| [115, 298]
| [134, 495]
| [183, 780]
| [204, 1171]
|-
! 7
| 1
| 7
| 23
| [49, 61]
| [80, 143]
| [115, 298]
| [205, 540]
| [217, 1031]
| [252, 1713]
| [292, 2826]
|-
! 8
| 1
| 8
| 28
| [56, 84]
| [101, 216]
| [127, 495]
| [217, 1031]
| [282, 1870]
| [329, 3583]
| [343, 6090]
|-
! 9
| 1
| 9
| 36
| [73, 115]
| [133, 316]
| [183, 780]
| [252, 1713]
| [329, 3583]
| [565, 6588]
| [580, 12677]
|-
! 10
| 1
| 10
| [40, 42]
| [92, 149]
| [149, 442]
| [179, 1171]
| [289, 2826]
| [343, 6090]
| [581, 12677]
| [798, 23556]
|}
* Значения [[Число ван дер Вардена|чисел ван дер Вардена]]. На данный момент известны значения только 6 первых чисел<ref>{{OEIS long|A005346}}</ref>: {{nums|link=nrl|xx=и|1|3|9|35|178|1132}}. Например, неизвестно, при каком наименьшем N при любом разбиении множества <math>\{1, 2, \dots, N\}</math> на два подмножества хотя бы одно из них будет содержать арифметическую прогрессию длиной 7 (известно, что <math>3704 \leqslant N \leqslant {}^8 2</math>, где выражение для верхней границы использует [[Тетрация|тетрацию]])<ref>{{MathWorld|vanderWaerdenNumber|Число ван дер Вардена}}</ref>.

== Другие проблемы ==
* Пусть <math>x</math> — положительное число такое, что <math>2^x</math> и <math>3^x</math> — целые числа. Может ли <math>x</math> не быть целым числом?
* Существование [[Слегка избыточные числа|слегка избыточных чисел]].
* Существование цикла из трёх [[компанейские числа|компанейских чисел]].
* Существуют ли попарно различные натуральные числа <math>a,\;b,\;c,\;d</math> такие, что <math>a^5+b^5=c^5+d^5</math>?<ref>[http://cage.ugent.be/~hvernaev/problems/Proble18.html Unsolved Problem 18: Are there distinct positive integers, a, b, c, and, d such that a^5+b^5=c^5+d^5?] {{Wayback|url=http://cage.ugent.be/~hvernaev/problems/Proble18.html |date=20120306103847 }} [http://cage.ugent.be/~hvernaev/problems/archive.html Unsolved Problem of the Week] {{Wayback|url=http://cage.ugent.be/~hvernaev/problems/archive.html |date=20110725105459 }}. MathPro Press.</ref>
* Существуют ли две различные [[Пифагоровы числа|пифагоровы тройки]], имеющие одинаковое произведение?<ref>{{MathWorld|PythagoreanTriple|Пифагорова тройка}}</ref>
* [[Гипотеза Била]]. Если <math>A^x+B^y=C^z,</math> где <math>A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z</math> — натуральные и <math>x,\;y,\;z>2</math>, то <math>A,\;B,\;C</math> имеют общий [[простое число|простой]] делитель.
* [[Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях|Гипотеза Эрдёша]]. Если сумма обратных величин для некоторого множества натуральных чисел расходится, то в этом множестве можно найти сколь угодно длинную [[Арифметическая прогрессия|арифметическую прогрессию]].
* Насколько велика может быть сумма [[обратная величина|обратных величин]] последовательности натуральных чисел, в которой никакой элемент не равен сумме нескольких других различных элементов? (Эрдёш)<ref>{{MathWorld3|A-Sequence}}</ref>
* [[Гипотеза Коллатца]] (гипотеза 3n+1).
* [[Гипотеза жонглёра]]. Любая последовательность жонглёра достигает 1<ref>{{OEIS long|A007320|A094716}}</ref>. Последовательность жонглёра описывается рекурсивной формулой:
*: <math>a_{k+1}=\begin{cases}
 \left\lfloor a_k^{1/2}\right\rfloor, & \text{if}\ a_k\ \text{is even}; \\ \\
 \left\lfloor a_k^{3/2}\right\rfloor, & \text{if}\ a_k\ \text{is odd}.
\end{cases}</math><!-- Убрать английский текст в формуле -->
* [[Задача Брокара]]. Имеет ли уравнение <math>n!+1=m^2</math> решения в натуральных числах, кроме (4, 5), (5, 11) и (7, 71)?<ref>{{MathWorld|BrocardsProblem|Проблема Брокарда}}</ref>
* [[Гипотеза Томашевски]]. Только числа 1, 6 и 120 являются одновременно [[Треугольное число|треугольными]] и [[факториал]]ами<ref>{{OEIS long|A000142|A000217}}</ref>. В альтернативной формулировке сводится к решению уравнения <math>8\cdot n!+1=m^2</math> в натуральных числах.
* Конечно ли множество решений уравнения <math>2^n \equiv 3 \pmod n?</math> В настоящее время известно только 5 решений<ref>{{MathWorld|2|Число 2}}</ref>.<ref>{{Cite web |url=http://oeis.org/wiki/2%5En_mod_n |title=2^n mod n — OeisWiki<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2014-01-06 |archive-date=2014-01-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140106181029/http://oeis.org/wiki/2%5En_mod_n |deadlink=no }}</ref><ref>[https://web.archive.org/web/20120104074313/http://www.immortaltheory.com/NumberTheory/2nmodn.htm Internet Archive: Scheduled Maintenance<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref>
* Верно ли утверждение, что квадрат всякого рационального числа представим в виде суммы четвёртых степеней четырёх рациональных чисел?
* [[Проблема Варинга]] и её обобщения:
** Конечно ли множество натуральных чисел, которые нельзя представить в виде суммы 6 кубов неотрицательных целых чисел?<ref>{{MathWorld3|Cubic Number}}</ref> Аналогичный вопрос стоит для сумм 5 и 4 кубов, а также для многих чисел слагаемых со степенями выше 4.
** С какой точностью натуральное число можно представить суммой квадратов двух целых чисел?
* [[Проблема 196]]. Существуют ли такие натуральные числа, которые в результате повторения операции «перевернуть и сложить», никогда не превратятся в [[палиндром]]?
* Возможно ли представление любого целого числа в виде (алгебраической) суммы четырёх кубов?<ref name="NKJ2020_9">{{статья |автор=Дмитрий Максимов |заглавие=О суммах квадратов и кубов |издание=[[Наука и жизнь]] |год=2020 |номер=9 |страницы=85 |ссылка=https://www.nkj.ru/archive/articles/39392/ |язык=ru |archivedate=2020-09-23 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20200923110519/https://www.nkj.ru/archive/articles/39392/ }}</ref> 
** неизвестно доказательство этого утверждения; 
** неизвестен пример числа, которое представить таким образом нельзя.
* Три из четырёх [[Гипотезы Поллока|гипотез Поллока]] о [[Фигурные числа|фигурных числах]].
* Существует ли точная четвёртая степень с суммой цифр, равной четырём?

== См. также ==
* [[Открытые математические проблемы]] — проблемы из других разделов математики

== Примечания ==
{{примечания|colwidth=25em}}

== Литература ==
* {{книга
 | автор           = [[Стюарт, Иэн (математик)|Иэн Стюарт]]
 | заглавие        = Величайшие математические задачи
 | место           = М.
 | издательство    = Альпина нон-фикшн
 | год             = 2015
 | страниц         = 460
 | isbn            = 978-5-91671-318-3 
 | ref             = Стюарт
 }}
* {{книга|автор=[[Дэниел Шенкс|Shanks, Daniel]]|заглавие=Solved and Unsolved Problems in Number Theory|издание=5th ed.|место=New York|издательство=AMS Chelsea|год=2002|isbn=978-0-8218-2824-3}}

== Ссылки ==
* [http://garden.irmacs.sfu.ca/ Open Problem Garden]{{ref-en}}
* [https://web.archive.org/web/20081020190213/http://openquestions.com/oq-math.htm Open Questions: Mathematics]{{ref-en}}
* [https://web.archive.org/web/20081217042405/http://maven.smith.edu/~orourke/TOPP/ The Open Problems Project]{{ref-en}}
* [http://www.google.com/Top/Science/Math/Research/Open_Problems/ Открытые математические проблемы в Google Directory]{{ref-en}}
* [https://etudes.ru Видеоклипы о нерешённых математических проблемах]
* http://unsolvedproblems.org/

[[Категория:Математические гипотезы]]
[[Категория:Списки:Математика]]
[[Категория:Текущие списки]]
[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Аналитическая теория чисел]]
[[Категория:Открытые математические проблемы|чисел]]
[[Категория:Нерешённые проблемы]]