Просмотр кода страницы Построение Витхоффа

[[Файл:Wythoffian construction diagram.png|400px|thumb|Построения Витхоффа с тремя зеркалами, образующими прямоугольный треугольник.]]

'''Построение Витхоффа''', или '''конструкция Витхоффа'''{{sfn|Веснин|2017}} — метод построения [[Однородный многогранник|однородных многогранников]] или [[Паркет (геометрия)|мозаик]] на плоскости. Метод назван по имени математика {{не переведено 5|Витхофф, Виллем Абрахам|В. А. Витхоффа||Willem Abraham Wythoff}}. Часто метод построения Витхоффа называют [[калейдоскоп]]ным построением.

== Построение ==
Построение основано на идее [[Паркет (геометрия)|мозаик]] на [[Сфера|сфере]] с использованием [[Сферическая тригонометрия|сферических треугольников]] — см. [[Треугольник Шварца|треугольники Шварца]]. Это построение использует отражения относительно сторон треугольника подобно [[калейдоскоп]]у. Однако, в отличие от калейдоскопа, отражения не параллельны, а пересекаются в одной точке. Многократные отражения образуют несколько копий треугольника. Если углы сферического треугольника выбраны правильно, треугольники покрывают сферу мозаикой один или более раз.

Если поместить точку в подходящее место внутри сферического треугольника, окружённого зеркалами, можно добиться, чтобы отражения этой точки дали однородный многогранник. Для сферического треугольника ''ABC'' имеются четыре позиции, которые дают однородный многогранник:
# Точка расположена в вершине ''A''. Она даёт многогранник с символом Витхоффа ''a''|''b''&nbsp;''c'', где ''a'' равен π, делённому на угол треугольника в вершине ''A''. Аналогично для ''b'' и ''c''.
# Точка расположена на отрезке ''AB'' в основании [[Биссектриса|биссектрисы]] угла в вершине ''C''. Она даёт многогранник с символом Витхоффа ''a''&nbsp;''b''|''c''.
# Точка расположена в [[инцентр]]е треугольника ''ABC''. Она даёт многогранник с символом Витхоффа ''a''&nbsp;''b''&nbsp;''c''|.
# Точка расположена таким образом, что при вращении её вокруг вершин треугольника на удвоенный угол при этих вершинах, она перемещается на одно и то же расстояние. Используются только чётные отражения. Многогранник имеет символ Витхоффа |''a''&nbsp;''b''&nbsp;''c''.

Процесс, в общем случае, применим и для получения [[Правильные многомерные многогранники|правильных политопов]] в пространствах более высоких размерностей, включая 4-мерные {{не переведено 5|Однородный 4-мерный политоп|однородные политопы||Uniform 4-polytope}}.

{| class=wikitable width=650px
|+ Примеры
|[[Файл:Hexagonal prism.png|240px]]<BR>[[Файл:Uniform polyhedron-23-t012.png|240px]]<BR> [[Шестиугольная призма]] строится как из семейства (6 2 2), так и из семейства (3 2 2).
|[[Файл:Uniform tiling 44-t12.png|200px]][[Файл:Uniform tiling 44-t012.png|200px]]<BR> {{не переведено 5|Обрезанная квадратная мозаика|||truncated square tiling}} строится с помощью двух различных позиций в семействе (4 4 2).
|}

== Невитхоффово построение ==
[[Однородный многогранник|Однородные многогранники]], которые нельзя построить с помощью зеркального построения Витхоффа, называются невитхоффовыми. Их, в общем случае, можно получить из витхоффовых построений либо {{не переведено 5|Альтернация (геометрия)|альтернацией||Alternation (geometry)}} (удаление вершин через одну) или вставкой чередующихся рядов некоторых фигур. Оба типа таких фигур обладают вращательной симметрией. Иногда [[Обрезок (геометрия)|''обрезки'']] считаются витхоффовыми, даже если они могут быть получены путём альтернации обрезанных со всех сторон фигур.

{| class=wikitable width=500px
|+ Примеры
|[[Файл:Hexagonal antiprism.png|240px]]<BR>[[Шестиугольная антипризма]] строится с помощью альтернации {{не переведено 5|Двенадцатиугольная призма|двенадцатиугольной призмы||dodecagonal prism}}.
|[[Файл:Tiling Semiregular 3-3-3-4-4 Elongated Triangular.svg|240px]]<BR>{{не переведено 5|Удлинённая треугольная мозаика|||elongated triangular tiling}} строится путём чередования строк [[Квадратный паркет|квадратной мозаики]] и [[Треугольный паркет|треугольной мозаики]].
|[[Файл:Great dirhombicosidodecahedron.png|240px]]<BR>{{не переведено 5|Большой биромбоикосододекаэдр|||great dirhombicosidodecahedron}} является единственным невитхоффовым однородным многогранником.
|}

== См. также ==
* {{не переведено 5|Символ Витхоффа|||Wythoff symbol}} — символ для построения Витхоффа [[Однородный многогранник|однородных многогранников]] и [[Однородная мозаика|однородных мозаик]].
* [[Диаграммы Коксетера — Дынкина]] — обобщённый символ для построения Витхоффа [[Однородный многогранник|однородных многогранников]] и сот.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{refbegin}}
* {{книга
|автор= H. S. M. Coxeter 
|заглавие={{не переведено 5|Regular Polytopes (книга)|''Regular Polytopes''||Regular Polytopes (book)}}
|ссылка= https://archive.org/details/regularpolytopes0000coxe_q0b5
|год=1973
|издательство=Dover edition
|ISBN=0-486-61480-8
|часть=Chapter 5: The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's construction
}}
* {{книга
|автор=[[Коксетер, Гарольд|Coxeter]]
|заглавие=The Beauty of Geometry: Twelve Essays
|ссылка=https://archive.org/details/beautyofgeometry0000coxe
|издательство=Dover Publications
|год=1999
|ISBN=978-0-486-40919-1
|часть=Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes
}}
* {{статья |автор=Har'El, Z. |заглавие=Uniform Solution for Uniform Polyhedra |место= |издание=[[Geometriae Dedicata]] |год=1993 |страницы=57—110 |номер=47 |ссылка=http://www.math.technion.ac.il/~rl/docs/uniform.pdf |deadlink=да |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090715034226/http://www.math.technion.ac.il/%7Erl/docs/uniform.pdf |archivedate=2009-07-15 }} Section 4: The Kaleidoscope.
* {{статья |автор={{не переведено 5|Витхофф, Виллем Абрахам|W.A. Wythoff||Willem Abraham Wythoff}} |заглавие=A relation between the polytopes of the C600-family|издание=Proceedings of the Section of Sciences |издательство=Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam |год=1918|номер=20 |страницы=966—970}}
* {{публикация|статья|автор=[[Веснин, Андрей Юрьевич|А. Ю. Веснин]]|заглавие=Прямоугольные многогранники и трехмерные гиперболические многообразия|издание=УМН|год=2017|том=72|ref=Веснин|страницы=147–190|doi=10.4213/rm9762}}
{{refend}}

== Ссылки ==
* {{MathWorld3|Wythoff Construction}}
* Olshevsky, George [https://web.archive.org/web/20070204075028/http://members.aol.com/Polycell/glossary.html#Wythoff Wythoff construction] at Glossary for Hyperspace
* [https://web.archive.org/web/20051110171044/http://gregegan.customer.netspace.net.au/APPLETS/26/26.html Однородные многоугольники, полученные с помощью построения Витхоффа]
* [https://web.archive.org/web/20051109092730/http://gregegan.customer.netspace.net.au/APPLETS/26/WythoffNotes.html Описание построения Витхоффа]
* [http://www.math.cmu.edu/~fho/jenn/ «Jenn»], программное обеспечение для просмотра (сферических) многоугольников и четырёхмерных политопов из их групп симметрии

{{rq|checktranslate}}
{{Геометрические мозаики}}
[[Категория:Многоугольники]]
[[Категория:Многогранники]]