Просмотр кода страницы Преобразование Вейерштрасса

В [[Математика|математике]] '''преобразование Вейерштрасса'''<ref>Ahmed I. Zayed, ''Handbook of Function and Generalized Function Transformations'', Chapter 18. CRC Press, 1996.</ref> [[Функция (математика)|функции]] {{math|''f'' : '''R''' → '''R'''}}, названное в честь [[Вейерштрасс, Карл|Карла Вейерштрасса]], представляет собой «сглаженную» версию {{math|''f''(''x'')}}, полученную путём усреднения значений {{mvar|f}}, взвешенных с помощью гауссиана с центром в точке ''x''.
[[Файл:Weierstrass_transform.svg|справа|мини|400x400пкс|График функции ''f''(''x'') (чёрный) и его обобщённые преобразования Вейерштрасса для пяти параметров ширины (''t''). Стандартное преобразование Вейерштрасса {{math|''F''(''x'')}} задаётся случаем ''t'' = 1 (выделено зелёным цветом)]]
В частности, это функция {{mvar|F}}, определённая формулой

: <math>F(x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(y) \; e^{-\frac{(x-y)^2}{4}} \; dy = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x-y) \; e^{-\frac{y^2}{4}} \; dy~,</math>

то есть [[Свёртка (математический анализ)|свёртка]] {{mvar|f}} с [[Гауссова функция|функцией Гаусса]]

: <math>\frac{1}{\sqrt{4\pi}} e^{-x^2/4}~.</math>

Коэффициент 1/√(4[[Пи (число)|π]]) выбран так, чтобы общий интеграл гауссиана был равен 1, вследствие чего [[Константная функция|постоянные функции]] не изменяются преобразованием Вейерштрасса.

Вместо {{math|''F''(''x'')}} также пишется {{math|''W''[''f''](''x'')}}. Заметим, что {{math|''F''(''x'')}} не обязательно должно существовать для каждого действительного числа {{mvar|x}}, когда определяющий интеграл не сходится.

Преобразование Вейерштрасса тесно связано с [[Уравнение теплопроводности|уравнением теплопроводности]] (или, что эквивалентно, [[Уравнение диффузии|уравнению диффузии]] с постоянным коэффициентом диффузии). Если функция {{mvar|f}} описывает начальную температуру в каждой точке бесконечно длинного стержня, который имеет постоянную [[теплопроводность]], равную 1, то распределение температуры стержня через единицу времени ''t'' = 1 будет задано функцией ''F''. Используя значения ''t'', отличные от 1, мы можем определить '''обобщённое преобразование Вейерштрасса''' для {{mvar|f}}.

Обобщённое преобразование Вейерштрасса предоставляет средство для сколь угодно хорошей аппроксимации заданной интегрируемой функции {{mvar|f}} [[Аналитическая функция|аналитическими функциями]].

== Названия ==
Вейерштрасс использовал это преобразование в своём первоначальном доказательстве [[Теорема Вейерштрасса — Стоуна|теоремы Вейерштрасса — Стоуна]]. Оно также известно как '''преобразование Гаусса''' или '''преобразование Гаусса-Вейерштрасса''' в честь [[Гаусс, Карл Фридрих|Карла Гаусса]] и как '''преобразование Хилле''' в честь {{iw|Хилле, Эйнар|Эйнара Хилле||Einar Hille}}, который его тщательно изучал. Обобщение преобразования Вейерштрасса, упомянутое ниже, известно в [[Обработка сигналов|обработке сигналов]] как [[фильтр Гаусса]], а в [[Цифровая обработка изображений|обработке изображений]] (при реализации на '''R'''<sup>2</sup>) как [[размытие по Гауссу]].

== Преобразования некоторых важных функций ==
Как упоминалось выше, каждая постоянная функция является собственным преобразованием Вейерштрасса. Преобразование Вейерштрасса любого [[многочлен]]а является многочленом той же степени и фактически тем же ведущим коэффициентом ([[асимптотическое разложение]] не меняется). Действительно, если {{math|''H''<sub>''n''</sub>}} обозначает [[многочлены Эрмита]] степени ''n'', тогда преобразование Вейерштрасса {{math|''H''<sub>''n''</sub>}}({{mvar|x}}/2) — это просто {{math|''x''<sup>''n''</sup>}}. Это можно показать, используя тот факт, что [[производящая функция последовательности]] для многочленов Эрмита тесно связана с ядром Гаусса, используемым в определении преобразования Вейерштрасса.

Преобразованием Вейерштрасса функции ''e<sup>ax</sup>'' (где ''a'' является произвольной константой) является ''e<sup>a</sup>''<sup><sup>2</sup></sup> ''e<sup>ax</sup>''. Функция ''e<sup>ax</sup>'' таким образом, является {{iw|Собственная функция|собственной функцией||Eigenfunction}} преобразования Вейерштрасса. (Это, на самом деле, в более общем случае верно для ''всех'' свёрточных преобразований.)

Установив ''a''=''bi'', где ''i'' является [[Мнимая единица|мнимой единицей]], и применив [[Тождество Эйлера (комплексный анализ)|тождество Эйлера]], можно увидеть, что преобразование Вейерштрасса функции cos(''bx'') равно ''e''<sup>−''b''<sup>2</sup></sup> cos(''bx''), а преобразование Вейерштрасса функции sin(''bx'') равна ''e''<sup>−''b''<sup>2</sup></sup> sin(''bx'').

Преобразование Вейерштрасса функции ''e<sup>ax</sup>''<sup><sup>2</sup></sup> имеет вид

: <math>\frac{1}{\sqrt{1-4a}}e^{\frac{ax^2}{1-4a}}</math>, если ''a'' < 1/4, и не определено, если ''a'' ≥ 1/4.

В частности, при выборе отрицательного значения очевидно, что преобразование Вейерштрасса гауссовой функции снова является гауссовой функцией, но «более широкой».

== Общие свойства ==
Преобразование Вейерштрасса ставит в соответствие каждой функции ''f'' новую функцию ''F''; это соответствие является [[Линейное отображение|линейным]]. Оно также является трансляционно-инвариантным, что означает, что преобразованием функции ''f''(''x'' + ''a'') является ''F''(''x'' + ''a''). Оба эти факта в более общем случае справедливы для любого интегрального преобразования, определённого с помощью свёртки.

Если преобразование ''F''(''x'') существует для действительных чисел ''x'' = ''a'' и ''x'' = ''b'', тогда оно также существует для всех промежуточных действительных значений и образует там [[Аналитическая функция|аналитическую функцию]]; кроме того, ''F''(''x'') будет существовать для всех [[Комплексное число|комплексных]] чисел ''x'' с ''a'' ≤ Re(''x'') ≤ ''b'' и образует [[Голоморфная функция|голоморфную функцию]] на этой полоске [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]]. Это формальное утверждение о «гладкости» ''F'', упомянутой выше.

Если функция ''f'' интегрируема по всей вещественной оси (то есть ''f'' ∈ [[Lp (пространство)|L<sup>1</sup>('''R''')]]), то это справедливо и для её преобразования Вейерштрасса ''F'', и если, кроме того, ''f''(''x'') ≥ 0 для всех ''x'', тогда также ''F''(''x'') ≥ 0 для всех ''x'' и интегралы от ''f'' и ''F'' равны. Это выражает физический факт, что полная тепловая энергия или [[Теплота|тепло]] сохраняется уравнением теплопроводности или что общее количество диффундирующего вещества сохраняется уравнением диффузии.

Используя вышесказанное, можно показать, что для 0 < ''p'' ≤ ∞ и ''f'' ∈ [[Lp (пространство)|L<sup>p</sup>('''R''')]], мы имеем ''F'' ∈ L<sup>p</sup>('''R''') и ||''F''||<sub>''p''</sub> ≤ ||''f''||<sub>p</sub>. Следовательно, преобразование Вейерштрасса даёт [[ограниченный оператор]] W : L<sup>p</sup>('''R''') → L<sup>p</sup>('''R''').

Если ''f'' является достаточно гладкой, тогда преобразование Вейерштрасса ''k''-й [[Производная функции|производной]] функции ''f'' равно ''k''-ой производной преобразования Вейерштрасса от ''f''.

Существует формула, связывающая преобразование Вейерштрасса ''W'' и [[двустороннее преобразование Лапласа]] ''L''. Если мы определяем

: <math>g(x)=e^{-\frac{x^2}{4}} f(x),</math>

тогда

: <math>W[f](x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi}} e^{-x^2/4} L[g]\left(-\frac{x}{2}\right).</math>

=== Фильтр нижних частот ===
{{details|Размытие по Гауссу#Фильтр нижних частот}}Мы видели выше, что преобразованием Вейерштрасса cos(''bx'') является ''e''<sup>−''b''<sup>2</sup></sup> cos(''bx''), и аналогично для sin(''bx''). В терминах [[Обработка сигналов|обработки сигналов]] это говорит о том, что если сигнал ''f'' содержит частоту ''b'' (то есть содержит слагаемое, представляющее собой комбинацию sin(''bx'') и cos(''bx'')), тогда преобразованный сигнал ''F'' будет содержать ту же частоту, но с [[Амплитуда|амплитудой]], умноженной на коэффициент ''e''<sup>−''b''<sup>2</sup></sup>. Это приводит к тому, что более высокие частоты уменьшаются больше, чем более низкие, и, таким образом, преобразование Вейерштрасса действует как [[фильтр нижних частот]]. Это также можно показать с помощью [[Преобразование Фурье|преобразования Фурье]]. Преобразование Фурье анализирует сигнал с точки зрения его частот, преобразует свёртки в произведения и преобразует функцию Гаусса в функцию Гаусса. Преобразование Вейерштрасса является свёрткой с гауссианом и, следовательно, ''произведением'' преобразования Фурье сигнала и гауссиана, с последующим применением обратного преобразования Фурье. Это умножение на гауссиан в частотном пространстве смешивает высокие частоты, что является другим способом описания свойства «сглаживания» преобразования Вейерштрасса.

== Обратное преобразование ==
Относительно легко установить следующую формулу, тесно связанную с [[Преобразование Лапласа|преобразованием Лапласа]] функции Гаусса и действительным аналогом {{iw|трансформация Хаббарда–Стратоновича|трансформации Хаббарда–Стратоновича||Hubbard–Stratonovich transformation}}:

: <math>e^{u^2}=\frac{1}{\sqrt{4\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-uy} e^{-y^2/4}\;dy.</math>

Теперь заменим в ней ''u'' оператором формального дифференцирования ''D'' = ''d''/''dx'' и используем {{iw|оператор сдвига Лагранжа|||Shift operator}}

: <math>e^{-yD}f(x)=f(x-y)</math>,

(следствие формулы [[Ряд Тейлора|ряда Тейлора]] и определения [[Показательная функция|показательной функции]]), чтобы получить

: <math>
\begin{align}
e^{D^2}f(x) & = \frac{1}{\sqrt{4\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-yD}f(x) e^{-y^2/4}\;dy \\
& =\frac{1}{\sqrt{4\pi}} \int_{-\infty}^\infty f(x-y) e^{-y^2/4}\;dy=W[f](x)
\end{align}
</math>

чтобы таким образом получить следующее формальное выражение для преобразования Вейерштрасса ''W'',{{Equation box 1|border|indent=:|equation=<math>W=e^{D^2} ~,</math>|cellpadding=6|border colour=#0073CF|bgcolor=#F9FFF7}}где оператор справа следует понимать как действующий на функцию ''f''(''x'') как

: <math>e^{D^2} f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{D^{2k}f(x)}{k!}~.</math>

Приведённый выше формальный вывод скрывает детали сходимости, а формула ''W'' = ''e<sup>D</sup>''<sup><sup>2</sup></sup>, таким образом, не является универсальной; существует несколько функций ''f'', которые имеют чётко определённое преобразование Вейерштрасса, но для которых ''e<sup>D</sup>''<sup><sup>2</sup></sup>''f''(''x'') не может быть определено осмысленно.

Тем не менее, правило всё ещё довольно полезно и может, например, использоваться для получения преобразований Вейерштрасса полиномов, экспоненциальных и тригонометрических функций, упомянутых выше.

Таким образом, формальное обратное преобразование Вейерштрасса задаётся формулой

: <math>W^{-1}=e^{-D^2}  ~. </math>

Эта формула не является универсальной, но может служить руководством. Можно показать, что она корректна для определённых классов функций, если правильно определён оператор правой части<ref>G. G. Bilodeau, «[http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077470134 The Weierstrass Transform and Hermite Polynomials] {{Wayback|url=http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077470134 |date=20160303204412 }}». ''Duke Mathematical Journal'' 29 (1962), p. 293—308</ref>.

В качестве альтернативы можно попытаться обратить преобразование Вейерштрасса немного другим способом: учитывая аналитическую функцию

: <math>F(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n  ~,</math>

применить ''W''<sup>−1</sup> для получения

: <math>f(x)=W^{-1}[F(x)]=\sum_{n=0}^\infty a_n W^{-1}[x^n]=\sum_{n=0}^\infty a_n H_n(x/2),</math>

ещё раз используя фундаментальное свойство многочленов Эрмита {{math|''H<sub>n</sub>''}}.

Опять же, эта формула для ''f''(''x'') в лучшем случае формальна, поскольку не проверялось, сходится ли конечный ряд. Но если, например, ''f'' ∈ L<sup>2</sup>('''R'''), то знание всех производных от ''F'' в ''x'' = 0 достаточно для получения коэффициентов ''a<sub>n</sub>''; таким образом, можно представить {{mvar|f}} в виде ряда многочленов Эрмита.

Третий метод обращения преобразования Вейерштрасса использует его связь с преобразованием Лапласа, упомянутым выше, и хорошо известной формулой обращения преобразования Лапласа. Результат приведён ниже для распределений.

== Обобщения ==
Мы можем использовать свёртку с ядром Гаусса <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-\frac{x^2}{4t}}</math> (для {{math|''t'' > 0}}) вместо <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{4\pi}} e^{-\frac{x^2}{4}}</math>, таким образом определяя оператор {{math|''W<sub>t</sub>''}} обобщённого преобразования Вейерштрасса.

При малых значениях {{math|''t'' ''W<sub>t</sub>''[''f'']}} очень близко к {{math|''f''}}, но гладко. Чем больше {{math|''t''}}, тем больше этот оператор усредняет и изменяет {{math|''f''}}. Физически, {{math|''W<sub>t</sub>''}} соответствует уравнению теплопроводности (или диффузии) для единицы времени {{math|''t''}} и аддитивно:<math display="block">W_s \circ W_t = W_{s+t},</math>то есть "диффузия для единицы времени {{math|''t''}}, а затем единицы времени {{math|''s''}}, эквивалентна диффузии для единицы времени {{math|''s'' + ''t''}} ". Можно распространить это на {{math|1=''t'' = 0}}, установив {{math|''W''<sub>0</sub>}} тождественным оператором (то есть свёрткой [[Дельта-функция|дельта-функции]]) и таким образом получив [[Полугруппа операторов|полугруппу операторов]].

Ядро <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-\frac{x^2}{4t}},</math> используемое для обобщённого преобразования Вейерштрасса, иногда называют '''ядром Гаусса-Вейерштрасса''', это [[Функция Грина#Таблица с функциями Грина|функция Грина для уравнения диффузии]] <math>(\partial_t -D^2) (e^{tD^2} f(x))=0 </math> на {{math|'''R'''}}.

{{math|''W<sub>t</sub>''}} может быть вычислен из {{math|''W''}}: задана функция {{math|''f''(''x'')}}, определим новую функцию {{math|1=''f''<sub>''t''</sub>(''x'') = ''f''(''x''√''t'')}}; тогда {{math|1=''W<sub>t</sub>''[''f''](''x'') = ''W''[''f<sub>t</sub>''](''x''/√''t'')}}, что является следствием правила замены переменной.

Преобразование Вейерштрасса также может быть определено для [[Обобщённая функция|обобщённой функции]]<ref>Yu A. Brychkov, A. P. Prudnikov. ''Integral Transforms of Generalized Functions'', Chapter 5. CRC Press, 1989</ref>. Например, преобразование Вейерштрасса [[Дельта-функция|дельта-функции]] является гауссианом<math display="inline">\frac{1}{\sqrt{4\pi}} e^{-x^2/4}</math>.

В этом контексте могут быть доказаны строгие формулы обращения, например,<math display="block">f(x)=\lim_{r\to\infty}\frac{1}{i\sqrt{4\pi}} \int_{x_0-ir}^{x_0+ir} F(z)e^{\frac{(x-z)^2}{4}}\;dz</math>где {{math|''x''<sub>0</sub>}} — любое фиксированное действительное число, для которого {{math|''F''(''x''<sub>0</sub>)}} существует, интеграл простирается по вертикальной линии в комплексной плоскости с вещественной частью {{math|''x''<sub>0</sub>}}, и предел следует принимать в смысле распределений.

Кроме того, преобразование Вейерштрасса может быть определено для вещественных (или комплексных) функций (или распределений), определённых на {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. Мы используем ту же формулу свёртки, что и выше, но интерпретируем интеграл как распространяющийся на всё {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} и выражение {{math|(''x'' − ''y'')<sup>2</sup>}} как квадрат [[Евклидова метрика|евклидовой длины]] вектора {{math|''x'' − ''y''}}; множитель перед интегралом должен быть скорректирован так, чтобы общий интеграл гауссиана был равен 1.

В более общем смысле, преобразование Вейерштрасса может быть определено на любом [[Риманово многообразие|Римановом пространстве]]: уравнение теплопроводности может быть сформулировано там (используя [[оператор Лапласа — Бельтрами]]), и преобразование Вейерштрасса {{math|''W''[''f'']}} получается путём решения уравнения теплопроводности за единицу времени, начиная с начального «распределения температуры» {{math|''f''}}.

== Связанные преобразования ==
Если рассматривать свёртку с ядром {{math|1/(π(1&nbsp;+&nbsp;''x''<sup>2</sup>))}} вместо гауссиана, получается [[ядро Пуассона]], которое сглаживает и усредняет заданную функцию способом, аналогичным преобразованию Вейерштрасса.

== См. также ==
* [[Размытие по Гауссу]]
* [[Фильтр Гаусса]]

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Интегральные преобразования]]
[[Категория:Математическая физика]]