Просмотр кода страницы Система Цермело — Френкеля

'''Систе́ма аксио́м Це́рмело — Фре́нкеля''' ('''''ZF''''') — наиболее широко используемый вариант [[аксиоматическая теория множеств|аксиоматической теории множеств]], являющийся фактическим стандартом для [[Основания математики|оснований математики]]. Сформулирована [[Цермело, Эрнст|Эрнстом Цермело]] в [[1908 год в науке|1908 году]] как средство преодоления [[Парадоксы теории множеств|парадоксов теории множеств]], и уточнена [[Френкель, Абрахам|Абрахамом Френкелем]] в [[1921 год в науке|1921 году]].

К этой системе аксиом часто добавляют [[Аксиома выбора|аксиому выбора]], и называют '''''системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора''''' (''ZFC'', {{lang-en|Zermelo—Fraenkel set theory with the axiom of Choice}}).

Эта система аксиом записана на языке [[Логика первого порядка|логики первого порядка]]. Существуют и другие системы; например, [[система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя]] (NBG) наряду с множествами рассматривает так называемые [[Класс (математика)|классы объектов]], при этом она равносильна ZF в том смысле, что любая теорема о множествах (то есть не упоминающая о классах), доказуемая в одной системе, также доказуема и в другой.

== Определение ==
'''Теория множеств Цермело — Френкеля (ZF)''' — [[теория первого порядка с равенством]] с одним двуместным предикатным символом <math>\in</math> и следующими аксиомами:
# <math>\forall A \forall B \ (\forall b \ (b \in A \leftrightarrow b \in B) \rightarrow A = B)</math> — [[Аксиома объёмности|аксиома объёмности (экстенсиональности)]];
# <math>\forall A\ \exist D\ \forall c \ \bigl(c \in D \leftrightarrow \exist a \ (a \in A \ \land \ c \in a) \bigr)</math> — [[аксиома объединения]];
# <math>\forall A\ \exist B\ \forall b \ (b \in B \leftrightarrow \forall d\ \bigl(d \in b \rightarrow d \in A\bigr))</math> — [[аксиома булеана]];
# <math>\exist A\ \exist E\ \bigl(\forall c\ \lnot \bigl(c \in E\bigr) \land E \in A \ \land \ \forall b \ (b \in A \rightarrow \forall c \bigl(\forall d \bigl( d\in c \leftrightarrow d = b \lor \forall a \bigl( a\in d \leftrightarrow a = b \bigr) \bigr) \rightarrow c \in A) \bigr)\bigr)</math> — [[аксиома бесконечности]];
# <math>\forall A \ \Bigl(\exist a \bigl(a \in A\bigr) \rightarrow \exist b \ \bigl(b \in A \ \land \ \forall c \ (c \in b \rightarrow \lnot \bigl(c \in A)\bigr) \bigr) \Bigr)</math> — [[аксиома регулярности]];
# <math>\forall x\ \forall y\ \forall z\ \bigl( \varphi[x,y] \land \varphi[x,z] \rightarrow y = z \bigr) \rightarrow \forall A\ \exist D\ \forall c \ \bigl(c \in D \leftrightarrow \exist b \ (b \in A \ \land \ \varphi[b,c]) \bigr)</math> — [[схема преобразования]].
Иногда также к этим аксиомам добавляют следующие:
* <math>\exists E\ \forall c \ \lnot\bigl( c \in E \bigr)</math> — [[аксиома пустого множества]];
* <math>\forall a_1 \forall a_2 \ \exist C  \ \forall b \ \bigl(b \in C \leftrightarrow (b = a_1 \ \lor \ b = a_2)\bigr)</math> — [[аксиома пары]];
* <math>\forall A\ \exist C\ \forall b \ \bigl(b \in C \leftrightarrow b \in A \land \varphi[b]  \bigr)</math> — [[схема выделения]].
Однако эти аксиомы избыточны и могут быть выведены из основных.

'''Теория множеств Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC)''' получается из '''ZF''' добавлением к списку аксиом ещё одной дополнительной аксиомы, называемой ''аксиомой выбора'':
:<math>\forall A \ \bigl(\bigl(\exist a \bigl(a\in A \bigr)\ \land \ \forall b \ (b \in A \rightarrow \exist a \bigl(a\in b \bigr)\bigr) \ \land \ \forall b_1\ \forall b_2\ \forall c \ (b_1 \in A\land b_2 \in A \land c \in b_1 \land c \in b_2 \rightarrow b_1 = b_2\bigr)\bigr)  \rightarrow \bigl( \exist D\ \forall b \bigl( b \in A \rightarrow \exists d \bigl( d \in b \land d \in D \bigr) \land \forall d_1 \ \forall d_2 \ \bigl( d_1 \in b \land d_2 \in b \land d_1 \in D \land d_2 \in D \rightarrow d_1 = d_2 \bigr) \bigr) \bigr) \bigr) </math> — [[аксиома выбора]]

== Пояснение к аксиомам ZFC ==
Аксиомы ZFC включают в себя:

0) группу высказываний о равенстве множеств (аксиома 1),

1) группу высказываний о существовании множеств (аксиомы 0, 6),

2) группу высказываний об образовании множеств из уже имеющихся множеств (аксиомы 2, 3, 4 и схемы 5, 7), в которой можно выделить три подгруппы,

3) группу высказываний об упорядоченности образованных множеств (аксиомы 8, 9).

=== 0. Критерий равенства множеств в ZFC ===
Следующее высказывание выражает достаточное условие идентичности двух множеств.

==== Аксиома экстенсиональности ([[Аксиома объёмности]]) ====
: <math>\forall A_1 \forall A_2 \ (\forall b \ (b \in A_1 \leftrightarrow b \in A_2) \to A_1 = A_2)</math>

Примечание

«Аксиому объёмности» можно сформулировать следующим образом: «Если каждый [[Элемент множества|элемент]] первого [[множество|множества]] принадлежит второму множеству, а каждый элемент второго множества принадлежит первому множеству, тогда оба множества идентичны.»

Необходимое условие идентичности двух множеств имеет вид <math>\forall A_1 \forall A_2 \ (A_1 = A_2 \to \forall b \ (b \in A_1 \leftrightarrow b \in A_2))</math> и выводится из аксиом [[предикат]]а <math>=</math>, а именно:
: <math>\forall a \ (a = a)</math>,
: <math>\forall A_1 \forall A_2 \ (A_1 = A_2 \to (\varphi[A_1] \to \varphi[A_2]))</math>, где <math>\varphi[a_1]</math> — любое математически корректное суждение об <math>a_1</math>, а <math>\varphi[a_2]</math> — то же самое суждение, но об <math>a_2</math>.

Соединение указанного необходимого условия [идентичности множеств] с аксиомой объёмности даёт следующий [[критерий равенства множеств]]:
: <math>\forall A_1 \forall A_2 \ (A_1 = A_2 \leftrightarrow \forall b \ (b \in A_1 \leftrightarrow b \in A_2) \ )</math>

=== 1. Аксиомы ZFC о существовании множеств ===
«Аксиома объёмности» была бы бесполезным высказыванием, если бы не существовало ни одного множества или существовало только одно множество.

Следующие два высказывания гарантируют существование по меньшей мере двух разных множеств, а именно: а) множества, в котором нет ничего, и б) множества, содержащего бесконечное количество элементов.

==== 1.0 [[Аксиома пустого множества]] ====
: <math>\exists A \forall b \ (b \notin  A)</math>

Примечание

«Аксиому [существования] пустого множества» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] множество без единого элемента.»

Доказывается, что «аксиома пустого множества» равносильна высказыванию <math>\exist ! A \forall b \ (b \notin A)</math>. Поэтому единственному множеству <math>a</math> можно присвоить имя. Употребительны два имени: <math>\varnothing</math> и <math>\{\}</math>. Используя указанные имена, «аксиому пустого множества» записывают так:
: <math>\forall b \ (b \notin \varnothing)</math> и <math>\forall b \ (b \notin \{\})</math>

==== 1.1 [[Аксиома бесконечности]] ====
: <math>\exist A \ (\varnothing \in A \ \land \ \forall b \ (b \in A \to b \cup \{b\} \in A) \ )</math>, где <math>b \cup \{b\} = \{c\colon c \in b \ \lor \ c = b\}</math>

Примечание

«Аксиому бесконечности» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] „[[бесконечное множество]]“, которое состоит из <math>\varnothing, \ \ \varnothing \cup \{\varnothing\}, \ \ \varnothing \cup \{\varnothing\} \cup \{\varnothing \cup \{\varnothing\}\}, \ \ldots</math>.»

Высказывание о существовании бесконечного множества отличается от (ложного в данной аксиоматике) высказывания о существовании «[[Универсальное множество|множества всех множеств]]» (<math>\exist A \forall b \ (b \in A)</math>).

=== 2. Аксиомы ZFC об образовании множеств ===
Следующие пять высказываний можно назвать аксиомами образования множеств [из имеющихся множеств, включая <math>\varnothing</math> и по меньшей мере одну <math>\infty</math>].

Каждое из этих пяти высказываний создано на основе высказывания <math>\forall A \exist b \ (b = \varphi[A])</math>, которое выводится из аксиом предиката <math>=</math>.

Эти пять высказываний можно объединить в следующие подгруппы:

2.0) группу постулатов об образовании множеств путём перечисления их элементов,

2.1) группу деклараций об учреждении и об упразднении семейств множеств,

2.2) группу схем образования множеств с помощью математически корректных суждений.

==== 2.0. Постулат об образовании множеств путём перечисления их элементов: [[Аксиома пары]] ====
Простейший способ образовать новое множество [из уже имеющихся множеств] состоит в том, чтобы «ткнуть пальцем» в каждое множество, которое должно стать элементом [образуемого множества]. В ZFC указанный способ образования множеств представлен одной аксиомой, в которой «тыканье пальцем» моделируется с помощью предиката <math>=</math>.

'''2.0 [[Аксиома пары]]'''

: <math>\forall a_1 \forall a_2 \exists c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a_1 \ \lor \ b = a_2)</math>, что есть <math>\forall a_1 \forall a_2 \exist c \ (c = \{b\colon b = a_1  \ \lor \ b = a_2\})</math>

Примечание

«Аксиому [неупорядоченной] пары» можно сформулировать следующим образом: «Из любых двух множеств можно образовать „неупорядоченную пару“, то есть такое множество <math>c</math>, каждый элемент <math>b</math> которого идентичен данному множеству <math>a_1</math> или данному множеству <math>a_2</math>».

: Примеры

: <math>1. \ a_1 = 0 \ \land \ a_2 = 1 \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = 0 \ \lor \ b = 1)</math>

: <math>2. \ a_1 = \varnothing \ \land \ a_2 = \{\varnothing\} \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = \varnothing \ \lor \ b = \{\varnothing\} \ )</math>

Доказывается, что «аксиома пары» равносильна высказыванию <math>\forall a_1 \forall a_2 \exist ! c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a_1 \ \lor \ b = a_2)</math>. Поэтому единственному множеству <math>c</math> можно присвоить имя <math>\{a_1, a_2\}</math>. Используя указанное имя, «аксиому пары» записывают так:

: <math>\forall a_1 \forall a_2 \forall b \ (b \in \{a_1, a_2\} \leftrightarrow b = a_1 \ \lor \ b = a_2)</math> или <math>\forall a_1 \forall a_2 \ (\{a_1, a_2\} = \{b\colon b = a_1 \ \lor \ b = a_2\})</math>

==== 2.1. Декларации об учреждении и об упразднении семейств множеств ====
Следующие две аксиомы, именуемые «аксиомой множества подмножеств» и «аксиомой объединения», можно рассматривать как естественное дополнение к «аксиоме пары». Чтобы убедиться в этом, заметим следующее.

Известно, что каждое множество <math>z</math> имеет [[подмножество|подмножества]], включая [копию пустого множества] <math>\varnothing</math> и [копию самого множества] <math>z</math>. Иначе говоря,
: <math>\forall z \exist x \exist y \ (x \subseteq z \ \land \ y \subseteq z) \quad \land \quad \forall z \ (\varnothing \subseteq z \ \land \ z \subseteq z)</math>.

Руководствуясь «аксиомой пары», из названных подмножеств можно образовать неупорядоченную пару <math>\{\varnothing, z\}</math>. Назовём эту пару семейством <math>Fam_2(z)</math>.

Если можно образовать семейство <math>Fam_2(z)</math> из двух подмножеств множества <math>z</math>, тогда можно объявить об образовании семейства <math>Fam_a(z)</math> из всех подмножеств множества <math>z</math>.

: ''Чтобы объявить об образовании семейства'' <math>Fam_a(z)</math> ''достаточно потребовать, чтобы каждый элемент'' <math>b</math> ''названного семейства был подмножеством множества'' <math>z</math>, ''а каждое подмножество'' <math>b</math> ''названного множества было элементом семейства'' <math>Fam_a(z)</math>. ''Иначе говоря,''
: <math>\forall b \ (b \in Fam_a(z) \to b \subseteq z) \ \land \ \forall b \ (b \subseteq z \to b \in Fam_a(z) \ )</math>,
: ''что равносильно предложению''
: <math>\forall b \ (b \in Fam_a(z) \leftrightarrow b \subseteq z)</math>,
: ''которое подразумевает предложение''
: <math>\exists d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq z)</math>,
: ''которое является частным случаем высказывания''
: <math>\forall a \exists d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)</math>.

Если можно объявить об учреждении семейства <math>Fam_a(z)</math>, тогда можно объявить об упразднении названного семейства.

: Мыслимы различные способы упразднения семейства <math>Fam_a(z)</math>, включая:
: 1) его полное упразднение (уничтожение), то есть <math>Del(Fam_a(z)) = \varnothing</math>, что равносильно
: <math>\forall c \ (c \in Del(Fam_a(z)) \leftrightarrow c \in \varnothing)</math>,
: 2) его фиктивное упразднение (резервирование), то есть <math>Fic(Fam_a(z)) = Fam_a(z)</math>, что равносильно
: <math>\forall c \ (c \in Fic(Fam_a(z)) \leftrightarrow c \in Fam_a(z))</math>,
: 3) его реверсивное упразднение (расформирование), то есть <math>Rev(Fam_a(z)) = z</math>, что равносильно
: <math>\forall c \ (c \in Rev(Fam_a(z)) \leftrightarrow c \in z)</math>.

: ''Поскольку''
: <math>c \in z \Leftrightarrow \{c\} \in Fam_a(z) \Leftrightarrow \exists b \ (b = \{c\} \  \land \ b \in Fam_a(z)) \Leftrightarrow \exist b \ (c \in b \ \land \ b \in Fam_a(z))</math>,
: ''постольку предложение''
: <math>\forall c \ (c \in Rev(Fam_a(z)) \leftrightarrow c \in z)</math>
: ''равносильно предложению''
: <math>\forall c \ (c \in Rev(Fam_a(z)) \leftrightarrow \exists b \ (c \in b \ \land \ b \in Fam_a(z)) \ )</math>,
: ''которое подразумевает предложение''
: <math>\exists d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (c \in b \ \land \ b \in Fam_a(z)) \ )</math>,
: ''которое является частным случаем высказывания''
: <math>\forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (c \in b \ \land \ b \in a)\ )</math>.

Из изложенного следует, что высказывания <math>\forall a \exists d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)</math> и <math>\forall a \exists d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exists b \ (c \in b \ \land \ b \in a) \ )</math> можно считать независимыми условно.

===== 2.1.0 [[Аксиома множества подмножеств]] =====
: <math>\forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)</math>, что есть <math>\forall a \exist d \ (d = \{b\colon b \subseteq a\})</math>, где <math>b \subseteq a \Leftrightarrow \forall c \ (c \in b \to c \in a)</math>

Примечание

«Аксиому множества подмножеств» можно сформулировать следующим образом: «Из любого множества <math>a</math> можно образовать „суперкучу“, то есть множество <math>d</math>, состоящее из (собственных либо несобственных) [[подмножество|подмножеств]] <math>b</math> данного множества <math>a</math>.»

: Примеры
: <math>1. \ a = \varnothing \Rightarrow \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \in \{\varnothing\})</math>, так как <math>\forall a \ (\varnothing \subseteq a \land a \subseteq a)</math>

: <math>2. \ a = \{\varnothing\} \Rightarrow \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \in \{\varnothing, \{\varnothing\}\}) \Leftrightarrow \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b = \varnothing \ \lor \ b = \{\varnothing\})</math>

: <math>3. \ a = \{1,2,3\} \Rightarrow \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \in \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\})</math>

: <math>4. \ a = \{a_1, a_2\} \Rightarrow \exist d \forall b (b \in d \leftrightarrow b \in \{\varnothing, \{a_1\}, \{a_2\}, \{a_1, a_2\}\})</math>

Доказывается, что «аксиома множества подмножеств» равносильна высказыванию <math>\forall a \exist!d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)</math>. Поэтому единственному множеству <math>d</math> можно присвоить имя <math>\mathcal{P}(a)</math>, которое произносится: «[[множество всех подмножеств]] [множества] <math>a</math>». Используя указанное имя, «аксиому множества подмножеств» записывают так:
: <math>\forall a \forall b \ (b \in \mathcal{P}(a) \leftrightarrow b \subseteq a)</math> или <math>\forall a \ (\mathcal{P}(a) = \{b\colon b \subseteq a\})</math>

===== 2.1.1 [[Аксиома объединения]] =====
: <math>\forall a \exists d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exists b \ (b \in a \ \land \ c \in b) \ )</math>, что есть <math>\forall a \exist d \ (d = \{c\colon \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b)\})</math>

Примечание

'''Аксиому объединения [множеств]''' можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства множеств можно образовать „кучу-малу“, то есть такое множество <math>d</math>, каждый элемент <math>c</math> которого принадлежит по меньшей мере одному множеству <math>b</math> данного семейства <math>a</math>».

: Примеры
: <math>1. \ a = \mathcal{P}(\varnothing) = \{\varnothing\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \varnothing)</math>

: <math>2. \ a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)) = \{\varnothing, \{\varnothing\}\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \mathcal{P}(\varnothing) \ ) \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{\varnothing\})</math>

: <math>\begin{align} 3. \ 
a = \{b_1, b_2, b_3\} = \{ \{0,1\}, \{1,2\}, \{3\} \} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0,1\} \lor c \in \{1,2\} \lor c \in \{3\}) 
\\ \ 
\Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0,1,2,3\}) 
\end{align}</math>

: <math>4. \ a = \{b, \{b\}\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in b \cup \{b\}) \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in b \ \lor \ c = b)</math>

: <math>5. \ a = (a_1, a_2) = \{\{a_1\}, \{a_1, a_2\}\} = \{\{a_1, a_1\}, \{a_1, a_2\}\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{a_1, a_2\})</math>

: <math>6. \ a = \langle a_1, a_2 \rangle = \{a_1, \{a_1, a_2\}\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in a_1 \cup \{a_1, a_2\})</math>

: <math>7. \ a = \mathcal{P}(\{a_1, a_2\}) = \{\varnothing, \{a_1\}, \{a_2\}, \{a_1, a_2\}\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{a_1, a_2\})</math>

Доказывается, что аксиома объединения равносильна высказыванию <math>\forall a \exist ! d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b) \ )</math>. Поэтому единственному множеству <math>d</math> можно присвоить имя <math>\cup\,a</math>, которое произносится: «[[объединение множеств]] семейства <math>a</math>». Используя указанное имя, аксиому объединения записывают так:

: <math>\forall a \forall c \ (c \in \cup a \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b) \ )</math> или <math>\forall a \ (\cup a = \{c\colon \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b)\} \ )</math>.

Объединение множеств семейства <math>a</math> (<math>\cup a</math>) не следует путать с [[Пересечение множеств|пересечением множеств]] семейства <math>a</math> (<math>\cap a</math>), о котором известно:
: <math>\forall a \forall c \ (c \in \cap a \leftrightarrow \forall b \ (b \in a \to c \in b)</math>, то есть <math>\forall a \ (\cap a = \{c\colon \forall b \ (b \in a \to c \in b)\})</math>

==== 2.2. Схемы образования множеств с помощью математически корректных суждений ====
Среди математических высказываний встречаются аксиомы связи, включая:

а) аксиому связи между алгебраической операцией <math>+</math> (сложить) и алгебраической операцией <math>\cdot</math> (умножить)
: <math>\forall x \forall y \forall z \ (x \in \mathbb{R} \land \ y \in \mathbb{R} \land z \in \mathbb{R} \to (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z)</math>,
б) аксиому связи между отношением порядка <math>\le</math> (меньше или равно) и алгебраической операцией <math>+</math> (сложить)
: <math>\forall x \forall y \forall z \ (x \in \mathbb{R} \land y \in \mathbb{R} \land z \in \mathbb{R} \to (x \le y \to x + z \le y + z))</math>

Следующие два высказывания, именуемые «схемой выделения» и «схемой преобразования», являются аксиомами связи между множествами (например, множеством <math>\{0,1\}</math>) и математически корректными суждениями (например, суждением <math>x \le 0</math>).

«Схема выделения» и «схема преобразования» выражают следующую простую мысль: «Каждое математически корректное суждение об элементах любого множества приводит к образованию [того же самого или другого] множества.»

Математически корректные суждения, фигурирующие в «схеме выделения», позволяют «довести [до товарного вида]» множества, которые образованы, например, с помощью аксиомы множества подмножеств.

Математически корректные суждения, фигурирующие в «схеме преобразования», позволяют создавать «[математические] изделия» из [«неотёсанных»] множеств, образованных, например, с помощью аксиомы множества подмножеств.

===== 2.2.0 [[Схема выделения]] =====
: <math>\forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ \Phi[b]\ )</math>, что есть <math>\forall a \exist c \ (c = \{b\colon b \in a \ \land \ \Phi[b]\} \ )</math>, где <math>\Phi[b]</math> — любое математически корректное суждение о <math>b</math>, но не о множестве <math>a</math> и не о множестве <math>c</math>.

Примечание

'''Схему выделения [подмножеств]''' можно сформулировать следующим образом: «Из каждого множества можно выделить [по меньшей мере одно] подмножество <math>c</math>, высказав суждение <math>\Phi</math> о каждом элементе <math>b</math> данного множества <math>a</math>.»

: Примеры
: <math>1. \ (\Phi[x] \leftrightarrow x = x) \Rightarrow \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ b = b)</math>

: <math>2. \ (\Phi[x] \leftrightarrow x \ne x) \Rightarrow \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ b \ne b)</math>

: <math>3. \ (\Phi[x] \leftrightarrow x \in y) \Rightarrow \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ b \in y)</math>

: <math>4. \ (\Phi[x] \leftrightarrow x \notin y) \Rightarrow \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ b \notin y)</math>

: <math>5. \ (\Phi[x] \leftrightarrow x < 2) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \mathbb{N} \ \land \ b < 2) \Leftrightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \{0,1\})</math>

: <math>\begin{align} 6. \ 
(\Phi[x] \leftrightarrow \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land x = 2k)) \land a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \mathbb{N} \land \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land b = 2k)) 
\\ \ 
\Leftrightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \{0,2,4,6,\ldots\}) 
\end{align}</math>

: <math>\begin{align} 7. \ 
(\Phi[x] \ \leftrightarrow \ \exist u \exist v \ (u \in U \ \land \ v \in V \ \land \ x = (u,v) \ ) \ ) \quad \land \quad a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(U \cup V)) 
\\ \ 
\Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(U \cup V)) \ \land \ \exist u \exist v \ (u \in U \land v \in V \land b = (u,v))) 
\end{align}</math>

Доказывается, что схема выделения равносильна высказыванию <math>\forall a \exist!c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ \Phi[b]\ )</math>. Поэтому единственному подмножеству <math>c</math> можно присвоить имя <math>\{x\colon x \in a \land \Phi[x]\}</math>. Используя указанное имя, схему выделения записывают так:
: <math>\forall a \forall b \ (b \in \{x\colon x \in a \land \Phi[x]\} \leftrightarrow b \in a \ \land \ \Phi[b] \ )</math>
: или
: <math>\forall a (\{x\colon x \in a \ \land \ \Phi[x]\} = \{b\colon b \in a \ \land \ \Phi[b]\}</math>

Схема выделения равносильна счётному множеству аксиом.

===== 2.2.1 [[Схема преобразования]] =====
: <math>\forall x \exist ! y \ (\phi[x,y]) \ \to \ \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c] \ ) \ )</math>, что есть <math>\forall x \exist ! y \ (\phi[x,y]) \ \to \ \forall a \exist d \ (d = \{c\colon \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c])\} \ )</math>

Примечание

'''Схему преобразования [множеств]''' можно сформулировать следующим образом: «Любое множество можно преобразовать в [то же самое или другое] множество <math>d</math>, высказав любое истинное математически корректное функциональное суждение <math>\phi</math> обо всех элементах <math>b</math> данного множества <math>a</math>.»

: Примеры
: <math>1. \ (\phi[x,y] \leftrightarrow y = x) \Rightarrow \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c = b)) \Leftrightarrow \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in a)</math>

: <math>\begin{align} 2. \ 
(\phi[x,y] \leftrightarrow y = x^2) \ \land \ a = \{1,2,3\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \{1,2,3\} \ \land \ c = b^2)) 
\\ \ 
\Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{1,4,9\}) 
\end{align}</math>

: <math>3. \ (\phi[x,y] \leftrightarrow y = f(x)) \Rightarrow \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c = f(b) \ ) \ )</math>

: <math>\begin{align} 4. \  
(\phi[x,y] \leftrightarrow (x = \varnothing \to y = a_1) \land (x \ne \varnothing \to y = a_2) \ ) \quad \land \quad a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)) = \{\varnothing, \{\varnothing\}\} 
\\ \ 
\Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \{\varnothing, \{\varnothing\}\} \land (b = \varnothing \to c = a_1) \land (b \ne \varnothing \to c = a_2)\ )) 
\\ \ 
\Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c = a_1 \ \lor \ c = a_2)
\end{align}</math>

: <math>\begin{align} 5. \ 
(\phi[x,y] \leftrightarrow y = 2x) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b)) 
\\ \ 
\Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0,2,4,6,\ldots\}) 
\end{align}</math>

: <math>\begin{align} 6. \ 
(\phi[x,y] \leftrightarrow y = 2x + 1) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b + 1)) 
\\ \ 
\Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{1,3,5,7,\ldots\}) 
\end{align}</math>

: <math>\begin{align} 7. \ 
(\phi[x,y] \leftrightarrow (x \in \mathbb{N} \ \land \ x < 2 \to y = x) \ \land \ (x \in \mathbb{N} \ \land \ \neg (x < 2) \to y = 1)) \quad \land \quad a = \mathbb{N} 
\\ \ 
\Rightarrow \exist d \forall c (c \in d \leftrightarrow \exist b (b \in \mathbb{N} \ \land \ (b \in \mathbb{N} \land b < 2 \to c = b) \ \land \ (b \in \mathbb{N} \land \neg (b < 2) \to c = 1))) 
\\ \ 
\Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \mathbb{N} \ \land \ c < 2) \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0,1\})
\end{align}</math>

Доказывается, что в схеме преобразования множество <math>d</math> единственно. Поэтому указанному множеству можно присвоить имя <math>\{y\colon \exist x \ (x \in a \ \land \ \phi[x,y])\}</math>. Используя указанное имя, схему преобразования записывают так:
: <math>\forall x \exist!y (\phi[x,y]) \to \forall a \forall c \ (c \in \{y\colon \exist x \ (x \in a \ \land \ \phi[x,y])\} \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c]) \ )</math>
: или
: <math>\forall x \exist!y (\phi[x,y]) \to \forall a (\{y\colon \exist x \ (x \in a \ \land \ \phi[x,y])\} = \{c\colon \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c])\} \ )</math>

Схема преобразования равносильна счётному множеству аксиом.

=== 3. Аксиомы ZFC об упорядоченности множеств ===
Следующие два высказывания определяют упорядоченность множеств, которые образованы из <math>\varnothing</math> и каждой <math>\infty</math> с помощью аксиом образования множеств.

==== 3.0 [[Аксиома регулярности]] ====
: <math>\forall a \ (a \ne \varnothing \to \exist b \ (b \in a \ \land \ \forall c \ (c \in b \to c \notin a) \ ) \ )</math>

Примечание

«Аксиому регулярности» можно сформулировать следующим образом: «В любом семействе множеств есть [по меньшей мере одно] множество <math>b</math>, каждый элемент <math>c</math> которого не принадлежит данному семейству <math>a</math>.»

: Примеры
: <math>\begin{align}  
1. \ a = \{x\} \Rightarrow a \ne \varnothing \Rightarrow \exist b \ (b \in \{x\} \land \forall c \ (c \in b \to c \notin \{x\}) \ ) 
\\ \ 
\Leftrightarrow \exist b \ (b \in \{x\} \land \forall c \ (c \in \{x\} \to c \notin b)) 
\Rightarrow \forall x (x \notin x) 
\\ \  
\Leftrightarrow \forall a (a \notin a)  
\Leftrightarrow \forall a \forall b \ (a \in b \ \lor \ b \in a \to a \ne b) 
\end{align}</math>

: Сравните с высказываниями <math>\forall a \ (a = a)</math> и <math>\forall a \ (a \not < a)</math>, а также <math>\forall a \forall b \ (a < b \ \lor \ b < a \to a \ne b)</math>.

: <math>\begin{align} 
2. \ a = \{x,y\} \Rightarrow a \ne \varnothing \Rightarrow \exist b \ (b \in \{x,y\} \ \land \ \forall c \ (c \in b \to c \notin \{x,y\})) 
\\ \ 
\Rightarrow \forall x \forall y \ (x \in y \to y \notin x) 
\\ \  
\Leftrightarrow \forall a \forall b \ (a \in b \to b \notin a) 
\end{align}</math>

: Сравните с высказываниями <math>\forall a \forall b \ (a = b \to b = a)</math> и <math>\forall a \forall b \ (a < b \to b \not < a)</math>.

: <math>\begin{align} 
3. \ a = \{x,y,z\} \Rightarrow a \ne \varnothing \Rightarrow \exist b \ (b \in \{x,y,z\} \land \forall c \ (c \in b \to c \notin \{x,y,z\})) 
\\ \ 
\Rightarrow \forall a \forall b \forall c \ (a \in b \land b \in c \to c \notin a) 
\end{align}</math>

: Сравните с высказываниями <math>\forall a \forall b \forall c \ (a = b \land b = c \to c = a)</math> и <math>\forall a \forall b \forall c \ (a < b \land b < c \to c \not < a)</math>.

==== 3.1 [[Аксиома выбора]] ====
: <math>\begin{align} \forall a \ (a \ne \varnothing \land \forall b \ (b \in a \to b \ne \varnothing) \land \forall b_1 \forall b_2 \ (b_1 \ne b_2 \land \{b_1, b_2\} \subseteq a \to b_1 \cap b_2 = \varnothing) 
\\ \ 
\to \exist d \forall b \ (b \in a \to \exist c \ (b \cap d = \{c\}) \ ) \ ) 
\end{align}</math>

Примечание

«Аксиому выбора» можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства непустых попарно непересекающихся множеств можно выбрать „делегацию“, то есть такое множество <math>d</math>, в котором есть по одному элементу <math>c</math> от каждого множества <math>b</math> данного семейства <math>a</math>.»

: Пример
: Предположим, что семейство образовано из множества неотрицательных чётных чисел и множества неотрицательных нечётных чисел. В таком случае, выполнены все условия «аксиомы выбора», а именно:
: <math>1. \quad \{\{0,2,4,\ldots\}, \ \{1,3,5,\ldots\}\} \ne \varnothing</math>,
: <math>2. \quad \{0,2,4,\ldots\} \ne \varnothing \quad \land \quad \{1,3,5,\ldots\} \ne \varnothing</math>,
: <math>3. \quad \{0,2,4,\ldots\} \ \cap \ \{1,3,5,\ldots\} = \varnothing</math>.
: Следовательно, можно образовать по меньшей мере одну «делегацию» в составе одного «делегата» (например, числа ноль) от множества <math>\{0,2,4,\ldots\}</math> и одного «делегата» (например, числа один) от множества <math>\{1,3,5,\ldots\}</math>. Действительно:
: <math>\{0,2,4,\ldots\} \ \cap \ \{0,1\} = \{0\}</math>.
: <math>\{1,3,5,\ldots\} \ \cap \ \{0,1\} = \{1\}</math>.

== Примечания ==
1. Если ZFC непротиворечива, то её [[непротиворечивость]] не может быть доказана средствами ZFC, согласно второй [[Теорема Гёделя о неполноте|теореме Гёделя]].

== Историческая справка ==
По-видимому, первоначальный вариант теории множеств, умышленно названный немецким математиком [[Георг Кантор|Георгом Кантором]] учением о множествах, состоял из двух аксиом, а именно:

: 1) аксиомы объёмности <math>\forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \to a_1 = a_2)</math>, которая позволяет сформулировать [[критерий равенства множеств]],

: 2) «аксиомы математической свободы» <math>\forall a \exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow \Phi[a,c])</math>, которая позволяет создавать множества с помощью «суждения свободы» <math>\Phi[a,c]</math>.

«Аксиома математической свободы» имеет рациональные следствия, включая следующие:
: <math>\exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow c \ne c)</math>,
: <math>\forall a \exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow c = a)</math>,
: <math>\forall a \exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow c = a \ \lor \ c = x)</math>,
: <math>\forall a \exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow c \in a \land \Phi[c])</math>,
: <math>\forall a \exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow c \subseteq a)</math>,
: <math>\forall a \exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow \exist d \ (d \in a \land c \in d))</math>.

В 1903 году английский философ [[Бертран Рассел]] обратил внимание на следующее:

: 1) руководствуясь «аксиомой математической свободы», невозможно отличить «свободу» от «вседозволенности»,

: 2) выбрав в качестве <math>\Phi[a,c]</math> тривиальнейшее математическое суждение <math>c = c</math>, мы получаем высказывание о существовании «множества всех множеств» <math>\exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow c = c)</math>, от которого «один шаг» до [[Парадокс Рассела|парадокса Рассела]].

Эти критические высказывания о «немецком учении [о множествах]» побудили немецкого математика [[Эрнст Цермело|Эрнста Цермело]] заменить «аксиому математической свободы» такими её следствиями, которые не вызывали бы протеста у математиков.

В 1908 году в журнале [[Mathematische Annalen]] Эрнст Цермело опубликовал следующие семь аксиом:

: 1) [[Аксиома объёмности|аксиому объёмности]] ({{lang-de|Axiom der Bestimmtheit}});

: 2) аксиому о существовании «элементарных множеств» ({{lang-de|Axiom der Elementarmengen}}) <math>\varnothing</math>, <math>\{a\}</math> и <math>\{a_1, a_2\}</math>, которую можно записать в следующем виде:
: <math>\exist a \forall b \ (b \notin a) \ \land \ \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a) \ \land \ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \forall b \ (b \in c \ \leftrightarrow \ b = a_1 \ \lor \ b = a_2)</math>;

: 3) [[Схема выделения|схему выделения]] ({{lang-de|Axiom der Aussonderung}});

: 4) [[Аксиома множествва подмножеств|аксиому множества подмножеств]] ({{lang-de|Axiom der Potenzmenge}});

: 5) [[Аксиома объединения|аксиому объединения]] ({{lang-de|Axiom der Vereinigung}});

: 6) [[Аксиома выбора|аксиому выбора]] ({{lang-de|Axiom der Auswahl}});

: 7) [[Аксиома бесконечности|аксиому бесконечности]] ({{lang-de|Axiom der Unendlichkeit}}) в формулировке, отличной от современной формулировки.

Так «учение о множествах» превратилось в теорию множеств, а именно в теорию ZC ['''Z'''ermelo set theory with the Axiom of '''C'''hoice].

Последняя аксиома теории ZC (аксиома бесконечности) сблизила сторонников Георга Кантора со сторонниками [[Леопольд Кронекер|Леопольда Кронекера]], которые рассматривали множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> как [[Святой Грааль|священный грааль]] математики.

Предпоследняя аксиома теории ZC (аксиома выбора) стала предметом оживлённых математических дискуссий. Действительно, эта аксиома не является следствием «аксиомы математической свободы».

В 1922 году немецкий математик [[Абрахам Френкель]] и норвежский математик [[Скулем, Туральф|Туральф Скулем]] дополнили теорию ZC [[Схема преобразования|схемой преобразования]]. В результате теория ZC превратилась в теорию ZFC ['''Z'''ermelo-'''F'''raenkel set theory with the Axiom of '''C'''hoice].

В 1925 году венгерский математик [[Джон фон Нейман]] дополнил теорию ZFC [[Аксиома регулярности|аксиомой регулярности]]. Одно из следствий этой аксиомы (<math>\forall a \ (a \notin a)</math>) «похоронило» и «множество всех множеств», и «[[парадокс Рассела]]».

== См. также ==
* [[Теорема Цермело]]

== Литература ==
* [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А. Н.]], [[Драгалин, Альберт Григорьевич|Драгалин А. Г.]] Математическая логика. — М.: УРСС, 2005. — 240 с.
* [[Френкель, Абрахам|Френкель А. А.]], [[Бар-Хиллел, Йегошуа|Бар-Хиллел И.]] Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 556 с.
* {{книга |ref=Abraham |год=1973 |заглавие=Foundations of Set Theory |издательство=[[Elsevier|North-Holland]] |язык=und |автор=[[Френкель, Абрахам|Fraenkel, Abraham]]; [[Бар-Хиллел, Йегошуа|Bar-Hillel, Yehoshua]]; {{Нп3|Azriel Lévy|Lévy, Azriel|en|Azriel Lévy}}}} Fraenkel’s final word on ZF and ZFC.
* {{книга |ref=Hatcher |год=1982 |заглавие=The Logical Foundations of Mathematics |издательство={{Нп3|Pergamon Press}} |язык= |автор=Hatcher, William}}
* {{книга |ref=Hinman |год=2005 |заглавие=Fundamentals of Mathematical Logic |издательство={{Нп3|A K Peters}} |isbn=978-1-56881-262-5 |язык= |автор=Hinman, Peter}}
* {{книга |ref=Jech |год=2003 |заглавие=Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded |ссылка=https://archive.org/details/settheory0000jech_f7i4 |издательство={{Нп3|Springer Publishing|Springer|en|Springer Publishing}} |isbn=3-540-44085-2 |язык=en |автор={{Нп3|Thomas Jech|Jech, Thomas|en|Thomas Jech}}}}
* {{книга |ref=Kunen |год=1980 |заглавие=Set Theory: An Introduction to Independence Proofs |издательство=[[Elsevier]] |isbn=0-444-86839-9 |язык=en |автор={{Нп3|Kenneth Kunen|Kunen, Kenneth|en|Kenneth Kunen}}}}
* {{книга |ref=Levy |заглавие=Basic Set Theory |издательство=[[Dover Publications]] |isbn=0486420795 |язык= |автор=Levy, Azriel |год=2002}}
* {{книга |ref=Link |заглавие=Formalism and Beyond: On the Nature of Mathematical Discourse |издательство=[[Walter de Gruyter|Walter de Gruyter GmbH & Co KG]] |isbn=978-1-61451-829-7 |язык=en |автор=Link, Godehard |год=2014}}
* {{книга |ref=Quine |заглавие=Set Theory and Its Logic |ссылка=https://archive.org/details/settheoryitslogi0000quin_j8m3 |издательство=[[Издательство Гарвардского университета|Harvard University Press]] |место=Cambridge, Massachusetts and London, England |isbn=0-674-80207-1 |издание=Revised |язык= |автор=Quine, Willard van Orman |год=1969}}
* {{книга |ref=Montague |год=1961 |часть=Semantical closure and non-finite axiomatizability |заглавие=Infinistic Methods |место=London |издательство={{Нп3|Pergamon Press}} |страницы=45—69 |язык= |автор=[[Монтегю, Ричард|Montague, Richard]]}}
* {{книга |ref=Joseph |год=1977 |часть=Axioms of set theory |заглавие=Handbook of Mathematical Logic |ссылка=https://archive.org/details/handbookofmathem0090unse |isbn=0-7204-2285-X |язык= |автор={{Нп3|Joseph R. Shoenfield|Shoenfield, Joseph R.|en|Joseph R. Shoenfield}} |ответственный={{Нп3|Jon Barwise|Barwise, K. J.|en|Jon Barwise}}}}
* {{книга |ref=Takeuti |год=1982 |заглавие=Introduction to Axiomatic Set Theory |язык= |автор=Takeuti, Gaisi; Zaring, W M.}}
* {{статья |ref=Tarski |заглавие=On well-ordered subsets of any set |издание=[[Fundamenta Mathematicae]] |том=32 |страницы=176—183 |язык=en |автор={{Нп3|Tarski, Alfred|Tarski, Alfred||Alfred Tarski}} |год=1939 |тип=journal}}

== Ссылки ==
* {{springer|title=ZFC|id=p/z130100}}
* [http://us.metamath.org/mpegif/mmset.html#staxioms Metamath version of the ZFC axioms]; A concise and nonredundant axiomatization. The background first order logic is defined especially to facilitate machine verification of proofs{{ref-en}}
* [http://us.metamath.org/mpegif/axsep.html A derivation] in Metamath{{ref-en}}
* {{PlanetMath|ZermeloFraenkelAxioms|Аксиоматика теории множеств}}

{{Внешние ссылки}}
{{rq|topic=math|cleanup|style|check|refless}}

{{Теория множеств}}
[[Категория:Аксиомы теории множеств]]
[[Категория:Основания математики]]