Просмотр кода страницы Теорема Наполеона

[[Файл:Napoleon's theorem.svg|200px|right|Чертёж]]
'''Теорема [[Наполеон I|Наполеона]]''' — утверждение [[Евклидова геометрия|евклидовой]] [[Планиметрия|планиметрии]] о равносторонних треугольниках:

{{Теорема|Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по [[Равносторонний треугольник|равностороннему треугольнику]], то треугольник с вершинами в [[Центроид|центрах]] равносторонних треугольников — тоже равносторонний}}

Треугольники могут быть построены внутрь (все) — утверждение сохранит силу.

Получаемый таким образом треугольник называют треугольником Наполеона (внутренним и внешним).

Теорема часто приписывается [[Наполеон I|Наполеону Бонапарту]] (1769—1821). Возможно, однако, что её предложил У. Резерфорд в публикации 1825 года {{lang-en|The Ladies' Diary}}.[http://mathworld.wolfram.com/NapoleonsTheorem.html]

== Доказательства ==
Данная теорема может быть доказана несколькими способами. Один из них использует [[поворот]] и [[Теорема Шаля|теорему Шаля]] (3 последовательных поворота возвращают плоскость на место). Похожий способ использует [[поворотная гомотетия|поворотную гомотетию]] (при применении 2 гомотетий с равными коэффициентами MN и LN переходят в один отрезок CZ).
Другие способы более прямолинейны, но и более громоздки и сложны.

== Центр Наполеона ==
См. также [[Точки Наполеона]].

Рисунок к параграфу расположен по адресу: http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/xsub17.gif
Пусть дан треугольник ''ABC'' и пусть ''D, E, F'' — точки на рисунке, для которых треугольники ''DBC, CAE, ABF'' равносторонние. Далее пусть:
''G'' — центр треугольника ''DBC'', ''H'' — центр треугольника ''CAE'', ''I'' — центр треугольника ''ABF''. Тогда отрезки ''AG, BH, CI'' пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку буквой ''N''. Это и есть так называемая '''первая точка Наполеона''' (the first Napoleon point).
Трилинейные координаты для точки ''N'' есть: csc(A + π/6): csc(B + π/6): csc(C + π/6).
Если равносторонние треугольники ''DBC, CAE, ABF'' строятся не наружу а внутрь данного треугольника ''ABC'', тогда три линии ''AG, BH, CI'' пересекаются
во '''второй точке Наполеона''' (the second Napoleon point). Её трилинейные координаты есть: csc(A — π/6): csc(B — π/6): csc(C — π/6).

== Замечание ==
Первая и вторая точки Наполеона в ''Энциклопедии точек треугольника'' Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling. Encyclopedia of Triangle Centers= http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/) известны как точки X(17) и X(18).

== Связь с другими утверждениями ==
* Обобщение — [[теорема Петра—Неймана—Дугласа]] [http://mathworld.wolfram.com/Petr-Neumann-DouglasTheorem.html]

Теорема Наполеона обобщается на случай произвольных треугольников следующим образом:
{{Теорема|Если подобные треугольники любой формы построены на сторонах треугольника внешним образом так, что каждый повёрнут относительно предыдущего, и любые три ''соответствующие'' точки этих треугольников соединены, то итоговый треугольник будет подобен этим внешним треугольникам.}}

Аналогом теоремы Наполеона для параллелограммов является первая [[теорема Тебо]].

== См. также ==
* [[Замечательные точки треугольника]]
* [[Геометрия треугольника]]
* [[Правильный треугольник]]
* [[Точка Ферма|Вторая точка Ферма]]
* [[Теорема Ван-Обеля о треугольнике]]
* [[Теорема Тебо|Теоремы Тебо]]
* [[Точка Ферма]]
* [[Точки Аполлония]]
* [[Точки Наполеона]]
* [[Точки Торричелли]]
* [[Треугольник]]
* [[Треугольник#Отрезки и окружности, связанные с треугольником|Отрезки и окружности, связанные с треугольником]]

== Ссылки ==
* NAPOLEON POINTS. http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/napoleon.html
* Dao Thanh Oai. Equilateral Triangles and Kiepert Perspectors in Complex Numbers, Forum Geometricorum 15 (2015) 105—114. http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509index.html
* Dao Thanh Oai. A family of Napoleon triangles associated with the Kiepert configuration, The Mathematical Gazette 99 (March 2015) 151—153. http://journals.cambridge.org/action/displayIssue?jid=MAG&volumeId=99&seriesId=0&issueId=544
* [[Ригби, Джон|John Rigby]]. "Napoleon revisited, " Journal of Geometry 33 (1988) 129—146.
* Encyclopedia of Triangle Centers. X(17) and X(18). http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
* [http://school-collection.edu.ru/catalog/res/02b7798e-607d-88ff-f603-9526ec4cf0bb/view/ Теорема Наполеона] в анимации.
* {{MathWorld|NapoleonsTheorem|Теорема Наполеона}}

{{Наполеон I}}
{{rq|refless|topic=math}}

[[Категория:Геометрия треугольника]]
[[Категория:Теоремы планиметрии|Н]]