Просмотр кода страницы Треугольник Серпинского

[[Файл:SierpinskiTriangle.PNG|right|thumb|180px|Треугольник Серпинского]]
'''Треугольник Серпинского''' — [[фрактал]], один из двумерных аналогов [[множество Кантора|множества Кантора]], математическое описание которого опубликовал польский математик [[Серпинский, Вацлав|Вацлав Серпинский]] в [[1915 год]]у<ref>W. Sierpinski, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification.//Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. - Paris. – Tome 160, Janvier - Juin 1915. - Pp. 302 – 305. - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31131]{{Wayback|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31131|date=20200806202128}}</ref>.
Также известен как «салфетка» Серпинского.

На основе треугольника Серпинского могут быть изготовлены многодиапазонные [[фрактальные антенны]].<ref name="slyusar">Слюсар В. И. Фрактальные антенны. // Радиоаматор. — 2002. — № 9. — С. 54 −56., Конструктор. — 2002. — № 8. — С. 6 — 8. [http://slyusar.kiev.ua/ra0209_SLYUSAR.pdf] {{Wayback|url=http://slyusar.kiev.ua/ra0209_SLYUSAR.pdf|date=20180219132336}}</ref><ref>Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569</ref>

Образования, похожие на треугольник Серпинского, возникают при эволюции многих [[Конечный автомат|конечных автоматов]], [[:en:Life-like cellular automaton|подобных]] игре [[Жизнь (игра)|Жизнь]]<ref>Bilotta, Eleonora; Pantano, Pietro (Summer 2005), "Emergent patterning phenomena in 2D cellular automata", Artificial Life, 11 (3): 339–362, doi:10.1162/1064546054407167, PMID 16053574, S2CID 7842605.</ref>.

В 2024 году Международная команда исследователей сообщила об открытии белка [[цитратсинтаза|цитратсинтазы]] в [[цианобактерия|цианобактерии]] ''{{нп5|Synechococcus elongatus}}'', который самоорганизуется в треугольник Серпинского, это первый известный молекулярный фрактал<ref>{{Cite web |url=https://www.vokrugsveta.ru/articles/posmotrite-v-kakoi-uzor-sobirayutsya-molekuly-vnutri-odnoi-bakterii-no-zachem-nuzhny-eti-treugolniki-fraktaly-id5625848/ |title=Посмотрите, в какой узор собираются молекулы внутри одной бактерии. Но зачем нужны эти треугольники-фракталы? {{!}} Вокруг Света<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2024-04-19 |archive-date=2024-04-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240419225429/https://www.vokrugsveta.ru/articles/posmotrite-v-kakoi-uzor-sobirayutsya-molekuly-vnutri-odnoi-bakterii-no-zachem-nuzhny-eti-treugolniki-fraktaly-id5625848/ |url-status=live }}</ref>.

== Построение ==

=== Итеративный метод ===
[[Файл:Sierpinsky triangle (evolution).png|thumb|300px|Построение треугольника Серпинского]]
Середины сторон [[Равносторонний треугольник|равностороннего треугольника]] <math>T_0</math> соединяются [[Отрезок|отрезками]]. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность [[срединный треугольник|срединного треугольника]]. Получается множество <math>T_1</math>, состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество <math>T_2</math>, состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность <math>T_0\supset T_1\supset\dots\supset T_n\supset\dots</math>, пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.

=== Метод хаоса ===
:1. Задаются координаты [[аттрактор]]ов — вершин исходного треугольника <math>T_0</math>.
:2. [[Вероятностное пространство]] <math>(0; 1)</math> разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору.
:3. Задаётся некоторая произвольная начальная точка <math>P_0</math>.
:4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского.
::1. Генерируется случайное число <math>n \in (0; 1)</math>.
::2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.
::3. Строится точка <math>P_i</math> с новыми координатами: <math>x_i = \frac{x_{i-1} + x_A}{2}; y_i = \frac{y_{i-1} + y_A}{2}</math>, где:
:::<math>x_{i-1}, y_{i-1}</math> — координаты предыдущей точки <math>P_{i-1}</math>; <math>x_A, y_A</math> — координаты активной точки-аттрактора.
:5. Возврат к началу цикла.

== Свойства ==
* Треугольник Серпинского состоит из 3 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/2.
* Треугольник Серпинского [[замкнутое множество|замкнут]].
* Треугольник Серпинского имеет [[топологическая размерность|топологическую размерность]] 1.
* Треугольник Серпинского обладает [[самоподобие]]м
* Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть нецелую) [[Хаусдорфова размерность|Хаусдорфову размерность]] <math>=\ln3/\ln2\approx 1{,}585</math>. В частности,
** треугольник Серпинского имеет нулевую [[мера Лебега|меру Лебега]].
*Если в [[треугольник Паскаля|треугольнике Паскаля]] все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.

== В искусстве ==
* Изображения треугольника Серпинского в 1919 году стали мотивом нескольких графических произведений [[Нарбут, Георгий Иванович|Георгия Нарбута]], в частности эта фигура использована им при оформлении нескольких выпусков журнала «Мистецтво» (1919—1920 гг.).
* Вариации фигур на основе треугольника Серпинского использованы в [[интерьер]]е [[Бен-Эзра (синагога)|синагоги Бен-Эзра]], [[Каир]], [[Египет]]
* Четыре первых итерации [[фрактал]]ьных треугольников Серпинского использовались в [[орнамент]]ах геометрической мозаики стиля [[косматеско]] в средневековых [[Собор (храм)|соборах]] [[Италия|Италии]] (начиная с XII века)<ref name="ornament">[[iarchive:grammarornament00Jone/page/n103/|The grammar of ornament. Day and Son, London. — 1856]]</ref><ref>Conversano Elisa, Tedeschini Lalli Laura. Sierpinsky triangles in stone, on medieval floors in Rome.// Aplimat — Journal of Applied Mathematics. Volume 4 (2011), Number 4. — P. 113—122. — [https://www.researchgate.net/publication/259341701_SIERPINSKY_TRIANGLES_IN_STONE_ON_MEDIEVAL_FLOORS_IN_ROME]</ref><ref>Paola Brunori, Paola Magrone, and Laura Tedeschini Lalli. Imperial Porphiry and Golden Leaf: Sierpinski Triangle in a Medieval Roman Cloister.//ICGG 2018 — Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics. — Pp. 595—609. -[https://doi.org/10.1007/978-3-319-95588-9_49]</ref>, арабских и [[Персия|персидских]] [[интерьер]]ах<ref name="ornament" />.
<gallery widths="250" heights="250">
Файл:Anagni katedrala 04.JPG|Мозаичный пол в стиле [[косматеско]] в [[Собор Ананьи|Кафедральном соборе Св. Марии]] в [[Ананьи]]
Файл:Musée-Arles-Mosaïques-Orphée.jpg|Римская мозаика 3 — 4 столетия в античном музее города [[Арль]], [[Франция]]
</gallery>

== Реализации ==

=== JavaScript (html5) ===

Аппроксимация квадратами
[[Файл:Sierpinski triangle (black, yellow, green, white).png|мини|Картинка, генерируемая кодом на JavaScript]]
<syntaxhighlight lang="javascript" line="1">

   let k = Math.sqrt(3)/2, S = 16, H = 512, W = Math.floor(H/k);

   let canvas = document.createElement("canvas");
   let ctx = canvas.getContext('2d');

   document.body.append(canvas);
   canvas.width = W;
   canvas.height = H;

   ctx.fillRect(0, 0, W, H);

   for(let x = 0; x <= Math.floor(W/2); x++) {

        for(let y = 0; y < H; y++) {

             let A = y, a = A%S;
             let B = y/2+x*k, b = B%S;
             let C = y/2-x*k, c = C%S;

             if(a > b && C > 0 && B > 0) {

                  if ( (B/S) & (C/S) ) ctx.fillStyle='#ff0'; else ctx.fillStyle='#000';

                  }
             else if(a < b && C > 0 && B > 0) ctx.fillStyle='#0f8';
             else ctx.fillStyle='#fff';

             ctx.fillRect(Math.floor(W/2)-x, y, 1, 1);

             if (x!=0) ctx.fillRect(Math.floor(W/2)+x, y, 1, 1);

             }
        }

</syntaxhighlight>

==== Рекурсивный метод ====
[[Файл:SierpinskiTriangle.PNG|слева|безрамки]]

<syntaxhighlight lang="javascript">

   const depth = 7;
   const basecolor = "black";
   const fillcolor = "white";

   // ain't iteration a bit nicer via timer?
   // (calculations become smooth & async)

   const timestep = 300; // ms

   // define html5 canvas
   const width = 700; // px

   const canv = document.createElement("canvas");
   const ctx = canv.getContext("2d");

   // don't wish to deal with right triangles, so just re-scale canv style

   canv.width = width;
   canv.height = width;

   canv.style.height = width*Math.sqrt(3)/2;
   canv.style.width = width;

   document.body.append(canv);

   let triangle = (x, y, w, color=fillcolor, r=false) => {

        // take square coordinates and width for simplycity
        // also (r)otate triangle if needed, V by default

        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x + w/2, r? y : width-y);
        ctx.lineTo(x + w, r? (w + y) : width- (y + w) );
        ctx.lineTo(x, r? (w + y) : width- (y + w) );

        ctx.fillStyle = color;
        ctx.fill();
        ctx.closePath();

        }

   let recstep = (x, y, wi, de) => {

        if (de < depth) {

             triangle(x+ wi/4, y, wi/2);

             // paint the triangle in center of given square
             // split to three squares pyramide
             // recursively paint each square of pyramide

             setTimeout(() => {

                  recstep(x, y, wi/2, de+1);
                  recstep(x+wi/2, y, wi/2, de+1);
                  recstep(x + wi/4, y + wi/2, wi/2, de+1);

                  }, timestep);
             }
        }

   triangle(0, 0, width, basecolor, true);
   recstep(0, 0, width, 0);
   
</syntaxhighlight>{{Викиучебник|Реализации алгоритмов/Треугольник Серпинского|Треугольник Серпинского}}

=== Построение на C# ===
'''Построение на C# в консоли с помощью треугольника Паскаля''':

<syntaxhighlight lang="c#" line="1">
using System;

namespace Serpinski 
{ 
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            Console.Write("Power of 2: ");
            int depth = Convert.ToInt32(Math.Pow(2d, Convert.ToDouble(Console.ReadLine())));

            int[][] pascaltriangle = new int[depth][];
            for (int i = 0; i < pascaltriangle.Length; i++)
            {
                pascaltriangle[i] = new int[depth];
                for (int j = 0; j < pascaltriangle[i].Length; j++)
                    pascaltriangle[i][j] = 0;
                pascaltriangle[i][0] = 1;
                pascaltriangle[i][i] = 1;
            }

            for (int i = 1; i < pascaltriangle.Length; i++)
                for (int j = 1; j < pascaltriangle[i].Length; j++)
                    pascaltriangle[i][j] = (pascaltriangle[i - 1][j - 1] + pascaltriangle[i - 1][j]) % 2;

            for (int i = 0; i < pascaltriangle.Length; i++)
            {
                for (int j = 0; j < pascaltriangle[i].Length; j++)
                    Console.Write(pascaltriangle[i][j] == 1 ? "#" : " ");
                Console.WriteLine();
            }
            
            Console.Write("Press any key to continue...");
            Console.ReadKey();
        }
    }
}
</syntaxhighlight>

== Галерея ==
<center><gallery widths="200" heights="200" perrow="3" caption="Треугольник Серпинского">
Файл:Animated construction of Sierpinski Triangle.gif|Построение итеративным методом
Файл:Sierpinski chaos animated.gif|Построение методом хаоса
Файл:Sierpiński triangle zoom animation.gif|Иллюстрация свойства самоподобия ([[Рекурсия|рекурсии]])
Файл:Fractal tree.gif
Файл:Sierpinsky y fractancial AT4.jpg
</gallery></center>

== См. также ==
* [[Ковёр Серпинского]]
* [[Кривая Коха|Снежинка Коха]]
* [[Кривая Гильберта|Кривая Гилберта]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* [https://archive.org/details/grammarornament00Jone/page/n103/ Jones, O. The grammar of ornament. Day and Son, London. - 1856.] 
* Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.

== Ссылки ==
* {{Commons-inline|Sierpinski triangle|Треугольник Серпинского}}
* {{MathWorld|SierpinskiSieve|Sierpiński Sieve}}
* [https://pikabu.ru/story/esli_est_svobodnoe_vremya_to_mozhete_narisovat_treugolnik_serpinskogo_9713629 Если есть свободное время, можете нарисовать треугольник Серпинского⁠⁠.]

{{Библиоинформация}}
{{Фракталы}}
{{Кривые}}

[[Категория:Фракталы]]
[[Категория:Топологические пространства]]
[[Категория:Виды треугольников]]