Просмотр кода страницы Эллиптическая система координат

[[Файл:Elliptical coordinates grid.svg|thumb|right|350px|Эллиптическая система координат]]
'''Эллиптические координаты''' — двумерная [[Ортогональная система координат|ортогональная]] [[система координат]], в которой координатными линиями являются [[Софокусные конические сечения|конфокальные]] [[эллипс]]ы и [[Гипербола (математика)|гиперболы]]. За два фокуса <math>F_1</math> и <math>F_2</math> обычно берутся точки <math>-c</math> и <math>+c</math> на оси <math>X</math> [[Прямоугольная система координат|декартовой системы координат]].

== Основное определение ==
Эллиптические координаты <math>(\mu,\;\nu)</math> обычно определяются по правилу:

: <math> \left \{ \begin{matrix} x=c\,\mathrm{ch}\,\mu\cos\nu \\ y=c\,\mathrm{sh}\,\mu\sin\nu \end{matrix} \right. </math>

где <math>\mu\geqslant 0</math>, <math>\nu\in[0,\;2\pi)</math>.

Таким образом определяется семейство конфокальных эллипсов и гипербол. Тригонометрическое тождество
: <math>\frac{x^2}{c^2\,\mathrm{ch}^2\,\mu}+\frac{y^2}{c^2\,\mathrm{sh}^2\,\mu}=\cos^2\nu+\sin^2\nu=1</math>
показывает, что линии уровня <math>\mu</math> являются [[эллипс]]ами, а тождество из гиперболической геометрии
: <math>\frac{x^2}{c^2\cos^2\nu}-\frac{y^2}{c^2\sin^2\nu}=\mathrm{ch}^2\,\mu-\mathrm{sh}^2\,\mu=1</math>
показывает, что линии уровня <math>\nu</math> являются [[Гипербола (математика)|гиперболами]].

=== Коэффициенты Ламэ ===
[[Криволинейная система координат#Коэффициенты Ламе|Коэффициенты Ламэ]] для эллиптических координат <math>(\mu,\;\nu)</math> равны
: <math>H_\mu = H_\nu = c \sqrt{(\mathrm{ch}\,\mu\,\sin\,\nu)^2 + (\mathrm{sh}\,\mu\,\cos\,\nu)^2} = c\sqrt{\mathrm{sh}^2\,\mu + \sin^2\nu}.</math>
Тождества для двойного угла позволяют привести их к виду
: <math>H_\mu=H_\nu = c\sqrt{\frac{1}{2}(\mathrm{ch}\,2\mu - \cos 2\nu}).</math>
Элемент площади равен:
: <math>dS=c^2(\mathrm{sh}^2\,\mu+\sin^2\nu)\,d\mu\,d\nu,</math>
а [[лапласиан]] равен
: <math>\nabla^2\Phi=\frac{1}{c^2(\mathrm{sh}^2\,\mu+\sin^2\nu)}\left(\frac{\partial^2\Phi}{\partial\mu^2}+\frac{\partial^2\Phi}{\partial\nu^2}\right).</math>
Прочие [[Дифференциальный оператор|дифференциальные операторы]] могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат.
Например, [[градиент]] скалярного поля <math>\Phi(\mu,\;\nu)</math> записывается:
: <math>
\mathrm{grad}\,\Phi =
  \frac{1}{H_\mu} \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} \mathbf{e}_\mu +
  \frac{1}{H_\nu} \frac{\partial \Phi}{\partial \nu} \mathbf{e}_\nu, 
</math>
где
: <math>\mathbf{e}_\mu = c(\mathrm{sh}\,\mu\cos\nu,\, \mathrm{ch}\,\mu\sin\nu)</math>,
: <math>\mathbf{e}_\nu = c(-\mathrm{ch}\,\mu\sin\nu,\, \mathrm{sh}\,\mu\cos\nu)</math>.

== Другое определение ==
Иногда используется другое более геометрически интуитивное определение эллиптических координат <math>(\sigma,\;\tau)</math>:

: <math> \left \{ \begin{matrix} \sigma=\mathrm{ch}\,\mu \\ \tau=\cos\nu \end{matrix} \right. </math>

Таким образом, линии уровня <math>\sigma</math> являются эллипсами, а линии уровня <math>\tau</math> являются гиперболами. При этом
: <math>\tau\in[-1,\;1],\quad\sigma\geqslant 1.</math>
 
Координаты <math>(\sigma,\;\tau)</math> имеют простую связь с расстояниями до фокусов <math>F_1</math> и <math>F_2</math>. Для любой точки на плоскости

: <math> \left \{ \begin{matrix} d_1 + d_2 = 2c\sigma \\ d_1-d_2 = 2c\tau \end{matrix} \right.</math>

где <math>d_1,\;d_2</math> — расстояния до фокусов <math>F_1,\;F_2</math> соответственно.

Таким образом:

: <math>\left\{ \begin{matrix} d_1 = c(\sigma+\tau) \\ d_2 = c(\sigma - \tau) \end{matrix} \right. </math>
Напомним, что <math>F_1</math> и <math>F_2</math> находятся в точках <math>x = -c</math> и <math>x = +c</math> соответственно.

Недостатком этой системы координат является то, что она не отображается взаимно однозначно на декартовы координаты:

: <math> \left \{ \begin{matrix} x = c\sigma\tau \\ y^2 = c^2(\sigma^2-1)(1-\tau^2) \end{matrix} \right. </math>

=== Коэффициенты Ламэ ===
Коэффициенты Ламэ для альтернативных эллиптических координат <math>(\sigma,\;\tau)</math> равны:
: <math>h_\sigma=c\sqrt{\frac{\sigma^2-\tau^2}{\sigma^2-1}};</math>
: <math>h_\tau=c\sqrt{\frac{\sigma^2-\tau^2}{1-\tau^2}}.</math>
Элемент площади равен
: <math>dA=c^2\frac{\sigma^2-\tau^2}{\sqrt{(\sigma^2-1)(1-\tau^2)}}\,d\sigma\,d\tau,</math>
а [[лапласиан]] равен
: <math>\nabla^2\Phi=\frac{1}{c^2(\sigma^2-\tau^2)}\left[\sqrt{\sigma^2-1}\frac{\partial}{\partial\sigma}\left(\sqrt{\sigma^2-1}\frac{\partial\Phi}{\partial\sigma}\right)+\sqrt{1-\tau^2}\frac{\partial}{\partial\tau}\left(\sqrt{1-\tau^2}\frac{\partial\Phi}{\partial \tau}\right)\right].</math>
Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат.

<!--

== Extrapolation to higher dimensions ==

Elliptic coordinates form the basis for several sets of three-dimensional [[orthogonal coordinates]].
The [[elliptic cylindrical coordinates]] are produced by projecting in the <math>z</math>-direction.
The [[prolate spheroidal coordinates]] are produced by rotating the elliptic coordinates about the <math>x</math>-axis, i.e., the axis connecting the foci, whereas the [[oblate spheroidal coordinates]] are produced by rotating the elliptic coordinates about the <math>y</math>-axis, i.e., the axis separating the foci.

== Applications ==

The classic applications of elliptic coordinates are in solving [[partial differential equations]],
e.g., [[Laplace's equation]] or the [[Helmholtz equation]], for which elliptic coordinates allow a
[[separation of variables]]. A typical example would be the [[electric field]] surrounding a
flat conducting plate of width <math>2a</math>.

The geometric properties of elliptic coordinates can also be useful. A typical example might involve
an integration over all pairs of vectors <math>\mathbf{p}</math> and <math>\mathbf{q}</math>
that sum to a fixed vector <math>\mathbf{r} = \mathbf{p} + \mathbf{q}</math>, where the integrand
was a function of the vector lengths <math>\left| \mathbf{p} \right|</math> and <math>\left| \mathbf{q} \right|</math>. (In such a case, one would position <math>\mathbf{r}</math> between the two foci and aligned with the <math>x</math>-axis, i.e., <math>\mathbf{r} = 2a \mathbf{\hat{x}}</math>.) For concreteness, <math>\mathbf{r}</math>, <math>\mathbf{p}</math> and <math>\mathbf{q}</math> could represent the [[momentum|momenta]] of a particle and its decomposition products, respectively, and the integrand might involve the kinetic energies of the products (which are proportional to the squared lengths of the momenta).
-->

== Литература ==
* {{книга|автор=Корн Г., Корн Т.|заглавие=Справочник по математике (для научных работников и инженеров)|место={{М.}}|издательство=Наука|год=1974|страниц=832}}

== См. также ==
* [[Окружность Аполлония]]

{{Системы координат}}

[[Категория:Системы координат]]