Просмотр кода страницы T-критерий Стьюдента

{{заголовок со строчной буквы}}
'''t-критерий Стьюдента''' — общее название для класса методов [[Математическая статистика|статистической]] проверки [[Статистическая гипотеза|гипотез]] ([[статистический критерий|статистических критериев]]), основанных на [[Распределение Стьюдента|распределении Стьюдента]]. Наиболее частые случаи применения t-критерия связаны с проверкой равенства средних значений в двух [[выборка]]х.

''t''-статистика строится обычно по следующему общему принципу: в числителе — [[случайная величина]] с нулевым [[Математическое ожидание|математическим ожиданием]] (при выполнении [[Нулевая гипотеза|нулевой гипотезы]]), а в знаменателе — выборочное стандартное отклонение этой случайной величины, получаемое как [[квадратный корень]] из [[Несмещённая оценка|несмещённой оценки]] дисперсии.

== История ==
Данный критерий был разработан [[Госсет, Уильям Сили|Уильямом Госсетом]] для оценки качества пива в компании [[Гиннесс]]. В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению [[Коммерческая тайна|коммерческой тайны]] (руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсета вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).

== Требования к данным ==
Для применения данного критерия необходимо, чтобы выборочные средние имели [[нормальное распределение]]. При маленьких выборках это означает требование нормальности исходных значений. В случае применения двухвыборочного критерия для [[выборка|независимых выборок]] также необходимо соблюдение условия равенства [[дисперсия случайной величины|дисперсий]]. Существуют, однако, альтернативы критерию Стьюдента для ситуации с неравными дисперсиями.

Также не вполне корректно применять t-критерий Стьюдента при наличии в данных значительного числа выбросов. При несоблюдении этих условий при сравнении выборочных средних должны использоваться аналогичные методы ''непараметрической статистики'', среди которых наиболее известными являются [[U-критерий Манна — Уитни]] (в качестве двухвыборочного критерия для независимых выборок), а также [[критерий знаков]] и [[критерий Уилкоксона]] (используются в случаях зависимых выборок).

== Одновыборочный t-критерий ==
Применяется для проверки нулевой гипотезы <math>H_0:E(X)=m</math> о равенстве математического ожидания <math>E(X)</math> некоторому известному значению <math>m</math>.

Очевидно, при выполнении нулевой гипотезы <math>E(\overline X)=m</math>. С учётом предполагаемой независимости наблюдений <math>V(\overline X)=\sigma^2/n</math>. Используя несмещённую оценку дисперсии <math>s^2_X=\sum^n_{t=1} (X_t-\overline X)^2/(n-1)</math> получаем следующую t-статистику:

<center>
<math>t = \frac{\overline X - m}{s_X / \sqrt{n}}.</math>
</center>

При нулевой гипотезе распределение этой статистики <math> t(n-1)</math>. Следовательно, при превышении (в абсолютном измерении) значения статистики критического значения данного распределения (при заданном уровне значимости), нулевая гипотеза отвергается.

== Двухвыборочный t-критерий для независимых выборок ==
{{основная статья|t-критерий Уэлча}}
Пусть имеются две независимые выборки объёмами <math>n_1</math>, <math>n_2</math> нормально распределённых случайных величин <math>X_1</math>, <math>X_2</math>. Необходимо проверить по выборочным данным нулевую гипотезу равенства математических ожиданий этих случайных величин <math>H_0 \colon M_1=M_2</math>.

Рассмотрим разность выборочных средних <math>\Delta =\overline X_1 - \overline X_2</math>. Очевидно, если нулевая гипотеза выполнена, <math>E(\Delta)=M_1-M_2=0</math>. Исходя из независимости выборок дисперсия этой разности равна <math>V(\Delta)=\frac {\sigma^2_1}{n_1}+ \frac {\sigma^2_2}{n_2}</math>. Тогда, используя несмещённую оценку дисперсии <math>s^2=\frac {\sum^n_{t=1}(X_t-\overline X)^2}{n-1}</math>, получаем несмещённую оценку дисперсии разности выборочных средних: <math>s^2_{\Delta}=\frac {s^2_1}{n_1}+ \frac {s^2_2}{n_2}</math>. Следовательно, <math>t</math>-статистика для проверки нулевой гипотезы равна

<center><math> t = \frac{\overline X_1 - \overline X_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}}. </math>
</center>

Эта статистика при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение <math>t(df)</math>, где
<math>
  df =
  \frac{
    \left(
      \dfrac{s_1^2}{n_1} +
      \dfrac{s_2^2}{n_2}
    \right)^2
  }{
    \cfrac{1}{n_1 - 1}
    \left(
      \cfrac{s_1^2}{n_1}
    \right)^2
    +
    \cfrac{1}{n_2-1}
    \left(
      \cfrac{s_2^2}{n_2}
    \right)^2
  }
</math>.

=== Случай одинаковой дисперсии ===
В случае, если дисперсии выборок предполагаются одинаковыми, то
<center><math>V(\Delta)=\sigma^2\left(\frac {1}{n_1}+ \frac {1}{n_2}\right).</math></center>
Тогда <math>t</math>-статистика равна:
<center><math> t = \frac{\overline X_1 - \overline X_2}{s_X \sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}}, \quad s_X=\sqrt {\frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}}.</math></center>

Эта статистика имеет распределение <math>t(n_1 + n_2 - 2)</math>.

== Двухвыборочный t-критерий для зависимых выборок ==
Для вычисления эмпирического значения <math>t</math>-критерия в ситуации проверки гипотезы о различиях между двумя зависимыми выборками (например, двумя пробами одного и того же теста с временным интервалом) применяется следующая формула:

<center><math>t = \frac {M_d}{s_d / \sqrt {n}},</math></center>

где <math>M_d</math> — средняя разность значений, <math>s_d</math> — стандартное отклонение разностей, а n — количество наблюдений.

Эта статистика имеет распределение <math> t(n - 1)</math>.

== Проверка линейного ограничения на параметры [[Линейная регрессия|линейной регрессии]] ==
С помощью t-теста можно также проверить произвольное (одно) линейное ограничение на параметры линейной регрессии, оценённой обычным [[Метод наименьших квадратов|методом наименьших квадратов]]. Пусть необходимо проверить гипотезу <math>H_0:c^Tb=a</math>. Очевидно, при выполнении нулевой гипотезы <math>E(c^T \hat b-a)=c^TE(\hat b)-a=0</math>. Здесь использовано свойство несмещённости МНК-оценок параметров модели <math>E(\hat b)=b</math>. Кроме того, <math>V(c^T \hat b-a)=c^TV(\hat b)c=\sigma^2 c^T(X^TX)^{-1}c</math>. Используя вместо неизвестной дисперсии её несмещённую оценку <math>s^2=ESS/(n-k)</math>, получаем следующую t-статистику:

<center> <math>t=\frac {c^T\hat b-a}{s \sqrt {c^T(X^TX)^{-1}c}}.</math></center>

Эта статистика при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение <math>t(n-k)</math>, поэтому если значение статистики выше критического, то нулевая гипотеза о линейном ограничении отклоняется.

=== Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии ===
Частным случаем линейного ограничения является проверка гипотезы о равенстве коэффициента <math>b_j</math> регрессии некоторому значению <math>a</math>. В этом случае соответствующая t-статистика равна:

<center><math>t=\frac {\hat{b}_j-a}{s_{\hat{b}_j}},</math></center>

где <math>s_{\hat{b}_j}</math> — стандартная ошибка оценки коэффициента — квадратный корень из соответствующего диагонального элемента ковариационной матрицы оценок коэффициентов.

При справедливости нулевой гипотезы распределение этой статистики — <math>t(n-k)</math>. Если значение статистики по абсолютной величине выше критического значения, то отличие коэффициента от <math>a</math> является статистически значимым (неслучайным), в противном случае — незначимым (случайным, то есть истинный коэффициент вероятно равен или очень близок к предполагаемому значению <math>a</math>).

=== Замечание ===
Одновыборочный тест для математических ожиданий можно свести к проверке линейного ограничения на параметры линейной регрессии. В одновыборочном тесте это «регрессия» на константу. Поэтому <math>s^2</math> регрессии и есть выборочная оценка дисперсии изучаемой случайной величины, матрица <math>X^TX</math> равна <math>n</math>, а оценка «коэффициента» модели равна выборочному среднему. Отсюда и получаем выражение для t-статистики, приведённое выше для общего случая.

Аналогично можно показать, что двухвыборочный тест при равенстве дисперсий выборок также сводится к проверке линейных ограничений. В двухвыборочном тесте это «регрессия» на константу и фиктивную переменную, идентифицирующую подвыборку в зависимости от значения (0 или 1): <math>y=a + b D</math>. Гипотеза о равенстве математических ожиданий выборок может быть сформулирована как гипотеза о равенстве коэффициента b этой модели нулю. Можно показать, что соответствующая t-статистика для проверки этой гипотезы равна t-статистике, приведённой для двухвыборочного теста.

Также к проверке линейного ограничения можно свести и в случае разных дисперсий. В этом случае дисперсия ошибок модели принимает два значения. Исходя из этого можно также получить t-статистику, аналогичную приведённой для двухвыборочного теста.

== Непараметрические аналоги ==
Аналогом двухвыборочного критерия для независимых выборок является [[U-критерий Манна — Уитни]]. Для ситуации с зависимыми выборками аналогами являются [[критерий знаков]] и [[Критерий Уилкоксона|T-критерий Вилкоксона]].

== См. также ==
* [[F-тест]]

== Литература ==
[http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/student.pdf ''Student.'' The probable error of a mean. // Biometrika. 1908. № 6 (1). P. 1-25.]

== Ссылки ==
[http://www.ami.nstu.ru/~headrd/seminar/publik_html/Homogeneity_averages.pdf О критериях проверки гипотез об однородности средних на сайте Новосибирского государственного технического университета]

[[Категория:Статистические критерии]]