Простая группа: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории

[отпатрулированная версия]

← Предыдущая правка

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Линейный

Текущая версия от 21:00, 17 мая 2021

Простая группа — группа, не имеющая нормальных подгрупп, отличных от всей группы и единичной подгруппы.

Конечные простые группы полностью классифицированы в 1982.

В теории бесконечных групп значение простых групп значительно меньше ввиду их необозримости.

В теории групп Ли и алгебраических групп определение простой группы несколько отличается от приведенного, см. простая группа Ли.

Примеры

Конечные простые группы

Циклическая группа $G=\mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$ проста. Действительно, если $H$ — подгруппа $G$ , то порядок $H$ по теореме Лагранжа должен делить порядок $G$ , равный 5. Единственными делителями 5 являются 1 или 5, то есть $H$ либо тривиальна, либо совпадает с $G$ . Наоборот, группа $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ простой не является, так как множество, состоящее из классов чисел 0, 4 и 8 по модулю 12, образует группу порядка 3, которая нормальна как подгруппа абелевой группы. Группа $\mathbb {Z}$ целых чисел с операцией сложения также не является простой, поскольку множество чётных чисел есть нетривиальная нормальная подгруппа в $\mathbb {Z}$ . Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что всевозможные простые абелевы группы — это в точности циклические группы простого порядка.

Классификация простых неабелевых групп существенно сложнее. Простая неабелева группа наименьшего порядка — знакопеременная группа $A_{5}$ порядка 60, при этом любая простая группа порядка 60 изоморфна $A_{5}$ . Более того, простыми являются все группы $A_{n}$ при $n\geqslant 5$ . Следующая по количеству элементов простая неабелева группа после $A_{5}$ — специальная проективная группа $PSL(2,7)$ порядка 168. Можно доказать, что любая простая группа порядка 168 изоморфна $PSL(2,7)$ .

Бесконечные простые группы

Простой является группа всех чётных подстановок, каждая из которых перемещает конечное подмножество элементов бесконечного множества $X$ ; в частности, если множество $X$ счётно, это бесконечная знакопеременная группа $A_{\infty }$ . Ещё одним семейством примером служат $PSL_{n}(\mathbb {F} )$ , где поле $\mathbb {F}$ бесконечно и $n\geqslant 2$ .

Существуют конечно порождённые и даже конечно определённые бесконечные простые группы.

Свойства

Всякая группа вложима в простую группу.

См. также

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 '''Простая группа''' — [[Группа (математика)|группа]], не имеющая [[нормальная подгруппа|нормальных подгрупп]], отличных от всей группы и единичной подгруппы.
-[[Классификация простых конечных групп|Полная классификация всех простых конечных групп]] была получена в 1982.
+Конечные простые группы [[Классификация простых конечных групп|полностью классифицированы]] в 1982.
 В теории бесконечных групп значение простых групп значительно меньше ввиду их необозримости.
 В теории [[группа Ли|групп Ли]] и [[алгебраическая группа|алгебраических групп]] определение простой группы несколько отличается от приведенного, см. [[простая группа Ли]].
-В 1970-х гг. была проведена [[классификация конечных простых групп]] — огромный труд десятков математиков, вылившийся в десятки тысяч страниц. Инициаторами и кураторами международного проекта выступили американские учёные [[Горенстейн|Д. Горенстейн]] и [[Амбахер|М. Амбахер]]. Такие группы разделены на 3 класса: [[Знакопеременная группа|знакопеременные группы]], группы [[Шевалле, Клод|Шевалле]] и [[спорадическая группа|спорадические]].
 == Примеры ==
-* [[Циклическая группа]] <math>\Z_p</math> простого [[порядок группы|порядка]] <math>p</math>.
+=== Конечные простые группы ===
-* Простой является [[знакопеременная группа]], то есть группа всех чётных подстановок, каждая из которых перемещает конечное подмножество элементов множества <math>X</math>, если [[мощность множества|мощность]] <math>X</math> не меньше 5. Эта группа бесконечна, если <math>X</math> бесконечно.
-* Существуют [[конечно порождённая группа|конечно порождённые]] и даже [[конечно определённая группа|конечно определённые]] бесконечные простые группы.
+[[Циклическая группа]] <math>G=\mathbb Z/5 \mathbb Z</math> проста. Действительно, если <math>H</math>— подгруппа <math>G</math>, то порядок <math>H</math> по [[Теорема Лагранжа (теория групп)|теореме Лагранжа]] должен делить порядок <math>G</math>, равный 5. Единственными делителями 5 являются 1 или 5, то есть <math>H</math> либо тривиальна, либо совпадает с <math>G</math>. Наоборот, группа <math>\mathbb Z/ 12 \mathbb Z</math> простой не является, так как множество, состоящее из классов чисел 0, 4 и 8 по модулю 12, образует группу порядка 3, которая нормальна как подгруппа абелевой группы. Группа <math>\mathbb Z</math> целых чисел с операцией сложения также не является простой, поскольку множество чётных чисел есть нетривиальная нормальная подгруппа в <math>\mathbb Z</math>. Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что всевозможные простые абелевы группы — это в точности циклические группы [[Простое число|простого]] порядка.
+Классификация простых неабелевых групп существенно сложнее. Простая неабелева группа наименьшего порядка — [[знакопеременная группа]] <math>A_5</math> порядка 60, при этом любая простая группа порядка 60 изоморфна  <math>A_5</math>. Более того, простыми являются все группы <math>A_n</math> при <math>n \geqslant 5</math>. Следующая по количеству элементов простая неабелева группа после <math>A_5</math>— специальная проективная группа <math>PSL(2,7)</math> порядка 168. Можно доказать, что любая простая группа порядка 168 изоморфна <math>PSL(2,7)</math>.
+=== Бесконечные простые группы ===
+Простой является группа всех чётных подстановок, каждая из которых перемещает конечное подмножество элементов бесконечного множества <math>X</math>; в частности, если множество <math>X</math>счётно, это бесконечная знакопеременная группа <math>A_{\infty}</math>. Ещё одним семейством примером служат <math>PSL_n(\mathbb F)</math>, где поле <math>\mathbb F</math> бесконечно и <math>n \geqslant 2</math>.
+Существуют [[конечно порождённая группа|конечно порождённые]] и даже [[конечно определённая группа|конечно определённые]] бесконечные простые группы.
 == Свойства ==
@@ Строка 22: / Строка 28: @@
 {{rq|sources|topic=math}}
 [[Категория:Теория групп]]
-[[ca:Grup simple]]
-[[en:Simple group]]
-[[es:Grupo simple]]
-[[fi:Yksinkertainen ryhmä]]
-[[fr:Groupe simple]]
-[[he:חבורה פשוטה]]
-[[it:Gruppo semplice]]
-[[ko:단순군]]
-[[nl:Enkelvoudige groep]]
-[[pl:Grupa prosta]]
-[[pt:Grupo simples]]
-[[sv:Enkel grupp]]
-[[uk:Проста група]]
-[[zh:單群]]

Простая группа: различия между версиями

Текущая версия от 21:00, 17 мая 2021

Содержание

Примеры

Конечные простые группы

Бесконечные простые группы

Свойства

См. также

Навигация

Простая группа: различия между версиями

Текущая версия от 21:00, 17 мая 2021

Примеры

Конечные простые группы

Бесконечные простые группы

Свойства

См. также

Навигация

Поиск