Простая группа: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Tosha (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
|||
| (не показано 8 промежуточных версий 2 участников) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Простая группа''' — [[Группа (математика)|группа]], не имеющая [[нормальная подгруппа|нормальных подгрупп]], отличных от всей группы и единичной подгруппы. |
'''Простая группа''' — [[Группа (математика)|группа]], не имеющая [[нормальная подгруппа|нормальных подгрупп]], отличных от всей группы и единичной подгруппы. |
||
Конечные простые группы [[Классификация простых конечных групп|полностью |
Конечные простые группы [[Классификация простых конечных групп|полностью классифицированы]] в 1982. |
||
В теории бесконечных групп значение простых групп значительно меньше ввиду их необозримости. |
В теории бесконечных групп значение простых групп значительно меньше ввиду их необозримости. |
||
| Строка 8: | Строка 8: | ||
== Примеры == |
== Примеры == |
||
* [[Циклическая группа]] <math>\Z_p</math> простого [[порядок группы|порядка]] <math>p</math>. |
|||
=== Конечные простые группы === |
|||
| ⚫ | |||
| ⚫ | |||
[[Циклическая группа]] <math>G=\mathbb Z/5 \mathbb Z</math> проста. Действительно, если <math>H</math>— подгруппа <math>G</math>, то порядок <math>H</math> по [[Теорема Лагранжа (теория групп)|теореме Лагранжа]] должен делить порядок <math>G</math>, равный 5. Единственными делителями 5 являются 1 или 5, то есть <math>H</math> либо тривиальна, либо совпадает с <math>G</math>. Наоборот, группа <math>\mathbb Z/ 12 \mathbb Z</math> простой не является, так как множество, состоящее из классов чисел 0, 4 и 8 по модулю 12, образует группу порядка 3, которая нормальна как подгруппа абелевой группы. Группа <math>\mathbb Z</math> целых чисел с операцией сложения также не является простой, поскольку множество чётных чисел есть нетривиальная нормальная подгруппа в <math>\mathbb Z</math>. Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что всевозможные простые абелевы группы — это в точности циклические группы [[Простое число|простого]] порядка. |
|||
Классификация простых неабелевых групп существенно сложнее. Простая неабелева группа наименьшего порядка — [[знакопеременная группа]] <math>A_5</math> порядка 60, при этом любая простая группа порядка 60 изоморфна <math>A_5</math>. Более того, простыми являются все группы <math>A_n</math> при <math>n \geqslant 5</math>. Следующая по количеству элементов простая неабелева группа после <math>A_5</math>— специальная проективная группа <math>PSL(2,7)</math> порядка 168. Можно доказать, что любая простая группа порядка 168 изоморфна <math>PSL(2,7)</math>. |
|||
=== Бесконечные простые группы === |
|||
| ⚫ | Простой является группа всех чётных подстановок, каждая из которых перемещает конечное подмножество элементов бесконечного множества <math>X</math>; в частности, если множество <math>X</math>счётно, это бесконечная знакопеременная группа <math>A_{\infty}</math>. Ещё одним семейством примером служат <math>PSL_n(\mathbb F)</math>, где поле <math>\mathbb F</math> бесконечно и <math>n \geqslant 2</math>. |
||
| ⚫ | |||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
Текущая версия от 21:00, 17 мая 2021
Простая группа — группа, не имеющая нормальных подгрупп, отличных от всей группы и единичной подгруппы.
Конечные простые группы полностью классифицированы в 1982.
В теории бесконечных групп значение простых групп значительно меньше ввиду их необозримости.
В теории групп Ли и алгебраических групп определение простой группы несколько отличается от приведенного, см. простая группа Ли.
Примеры
[править | править код]Конечные простые группы
[править | править код]Циклическая группа проста. Действительно, если — подгруппа , то порядок по теореме Лагранжа должен делить порядок , равный 5. Единственными делителями 5 являются 1 или 5, то есть либо тривиальна, либо совпадает с . Наоборот, группа простой не является, так как множество, состоящее из классов чисел 0, 4 и 8 по модулю 12, образует группу порядка 3, которая нормальна как подгруппа абелевой группы. Группа целых чисел с операцией сложения также не является простой, поскольку множество чётных чисел есть нетривиальная нормальная подгруппа в . Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что всевозможные простые абелевы группы — это в точности циклические группы простого порядка.
Классификация простых неабелевых групп существенно сложнее. Простая неабелева группа наименьшего порядка — знакопеременная группа порядка 60, при этом любая простая группа порядка 60 изоморфна . Более того, простыми являются все группы при . Следующая по количеству элементов простая неабелева группа после — специальная проективная группа порядка 168. Можно доказать, что любая простая группа порядка 168 изоморфна .
Бесконечные простые группы
[править | править код]Простой является группа всех чётных подстановок, каждая из которых перемещает конечное подмножество элементов бесконечного множества ; в частности, если множество счётно, это бесконечная знакопеременная группа . Ещё одним семейством примером служат , где поле бесконечно и .
Существуют конечно порождённые и даже конечно определённые бесконечные простые группы.
Свойства
[править | править код]- Всякая группа вложима в простую группу.
См. также
[править | править код] | Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|