Унитарное пространство: различия между версиями

(Показать все непатрулированные изменения)

[непроверенная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Текущая версия от 09:33, 8 июля 2021

Унитарное пространство — векторное пространство над полем комплексных чисел с положительно определённым^[1]^[2] эрмитовым скалярным произведением, комплексный аналог евклидова пространства.

Определение

Эрмитовым скалярным произведением в векторном пространстве $\mathbb {L}$ над полем комплексных чисел называется полуторалинейная форма $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$ удовлетворяющая дополнительному условию^[3]:

$(\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L} )\ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }},$ где $\forall$ — квантор всеобщности.

Другими словами, это означает, что функция $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$ удовлетворяющая следующим условиям^[3]:

1) линейность скалярного произведения по первому аргументу:

\forall \mathbf {x_{1},x_{2},y} \in \mathbb {L}

и

\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {C}

справедливы равенства:

\langle \alpha \mathbf {x} _{1}+\beta \mathbf {x} _{2},\mathbf {y} \rangle =\alpha \langle \mathbf {x} _{1},\mathbf {y} \rangle +\beta \langle \mathbf {x} _{2},\mathbf {y} \rangle ;

(иногда в определении вместо этого берут линейность по второму аргументу, что не принципиально, потому что за счёт условия $(\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L} )\ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}$ они равносильны)

2) эрмитовость скалярного произведения:

\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L}

справедливо равенство

\mathbf {\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}} ;

3) положительная определённость скалярного произведения:

(\forall \mathbf {x} \in \mathbb {L} )

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \in \mathbb {\mathbb {R} }

и

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \geq 0,

причём

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle =0

только при

\mathbf {x=0} .

Свойства

Над действительным пространством условие полуторалинейности эквивалентно билинейности, а эрмитовость — симметричности, и скалярное произведение становится положительно определенной билинейной симметричной функцией $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {R}$ .
Полуторалинейная форма $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ является эрмитовой тогда и только тогда^[3], когда для всех векторов $x\in \mathbb {L}$ функция $f(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle$ принимает только вещественные значения.

Отличия от евклидова пространства

Унитарные пространства обладают всеми свойствами евклидовых пространств, за исключением четырёх отличий:^[4]

$(\mathbf {x} ,\alpha \mathbf {y} )={\overline {\alpha }}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} );$
неравенство Коши — Буняковского: $\left|\mathbf {(x,y)} \right|^{2}\leqslant \mathbf {(x,x)(y,y)} ;$
понятие угла не имеет содержательного смысла;
Матрица Грама $\Gamma (f)=f^{T}f$ системы векторов $f$ является эрмитовой $\Gamma =\Gamma ^{*}.$

Литература

Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Примечания

↑ А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. — С. 126.
↑ А. Е. Умнов. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — Москва: МФТИ, 2011. — С. 400.
↑ ¹ ² ³ Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. VI, § 6.3. — М.: Физматлит, 2009.
↑ Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — М., МГУ, 1987. — с. 51-52

[1] А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. — С. 126.

[2] А. Е. Умнов. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — Москва: МФТИ, 2011. — С. 400.

[autogenerated1-3] ¹ ² ³ Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. VI, § 6.3. — М.: Физматлит, 2009.

[4] Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — М., МГУ, 1987. — с. 51-52

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+'''Унитарное пространство''' — [[векторное пространство]] над [[Поле (математика)|полем]] [[Комплексное число|комплексных чисел]] с положительно определённым<ref>{{Книга|автор=А. И. Кострикин, Ю. И. Манин.|заглавие=Линейная алгебра и геометрия|ответственный=|год=|издание=|место=|издательство=|страницы=126|страниц=|isbn=}}</ref><ref>{{Книга|автор=А. Е. Умнов|заглавие=Аналитическая геометрия и линейная алгебра|ответственный=|год=2011|издание=|место=Москва|издательство=МФТИ|страницы=400|страниц=|isbn=}}</ref> [[эрмитова форма|эрмитовым]] [[Скалярное_произведение#Комплексные_векторы|скалярным произведением]], комплексный аналог [[Евклидово пространство|евклидова пространства]].
-'''Унитарное пространство''' - векторное пространство над множеством комплексных чисел со скалярным произведением с такими свойтвами:
+== Определение ==
-'''Скалярным произведением''' в [[линейное пространство|линейном пространстве]] <math> \mathbb L </math> называется функция <math> \langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb L \times \mathbb L \to \C</math> и удовлетворяющая следующим условиям:
+Эрмитовым скалярным произведением в векторном пространстве <math>\mathbb L</math> над полем комплексных чисел называется [[полуторалинейная форма]] <math> \langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb L \times \mathbb L \to \Complex,</math> удовлетворяющая дополнительному условию<ref name=autogenerated1>''Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.'' Линейная алгебра и геометрия. — гл. VI, § 6.3. — М.: Физматлит, 2009.</ref>:
+* <math>(\forall\mathbf x,\mathbf y \in \mathbb L)\ \langle\mathbf x,\mathbf y \rangle = \overline{\langle\mathbf y,\mathbf x \rangle},</math> где <math>\forall</math> — [[квантор всеобщности]].
+Другими словами, это означает, что функция <math> \langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb L \times \mathbb L \to \Complex,</math> удовлетворяющая следующим условиям<ref name=autogenerated1 />:
-* '''1) (полуторалинейность скалярного произведения)''' <math> \forall ~x_1, x_2, y \in \mathbb L</math> и <math> \forall ~\alpha , \beta \in \C</math> справедливы равенства
+* 1) '''линейность''' скалярного произведения по первому аргументу:
-a) <math> \langle \alpha x_1+\beta x_2,y \rangle = \alpha \langle x_1,y \rangle + \beta \langle x_2,y \rangle</math>
+: <math> \forall\mathbf{x_1, x_2, y} \in \mathbb L</math> и <math> \forall \alpha , \beta \in \Complex</math> справедливы равенства:
-б) <math> \langle y, \alpha x_1+\beta x_2\rangle = \bar{\alpha} \langle y, x_1 \rangle + \bar{\beta} \langle y, x_2 \rangle</math>,
+:: <math> \langle \alpha\mathbf x_1+\beta\mathbf x_2,\mathbf y \rangle = \alpha \langle\mathbf x_1,\mathbf y \rangle + \beta \langle\mathbf x_2,\mathbf y \rangle;</math>
-* '''2) (эрмитовость скалярного произведения)''' <math> \forall ~x, ~y \in \mathbb L</math> справедливо равенство
+(иногда в определении вместо этого берут линейность по второму аргументу, что не принципиально, потому что за счёт условия <math>(\forall\mathbf x,\mathbf y \in \mathbb L)\ \langle\mathbf x,\mathbf y \rangle = \overline{\langle\mathbf y,\mathbf x \rangle}</math> они равносильны)
+* 2) '''эрмитовость''' скалярного произведения:
-<math> \langle y,x \rangle = \overline{\langle x,y \rangle}</math>,
+: <math> \forall\mathbf x,\mathbf y \in \mathbb L</math> справедливо равенство <math> \mathbf{\langle y,x \rangle = \overline{\langle x,y \rangle}};</math>
-* '''3) (положительная определенность скалярного произведения)''' <math> \forall ~x </math> имеем <math>\langle x,x \rangle \ge 0 </math> ,причем <math>\langle x,x \rangle =0 </math> только при <math> ~x=0 </math>.
+* 3) '''положительная определённость''' скалярного произведения:
-Другими словами, скалярным произведением называется положительно определенная полуторалинейная эрмитова функция <math> \langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb L \times \mathbb L \to \C </math>. Отметим, что над действительным пространством условие полуторалинейности эквивалентно билинейности, а эрмитовость - симметричности, а скалярное произведение становится положительно определенной билинейной симметричной функцией <math> \langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb L \times \mathbb L \to \R </math>.
+: <math> (\forall\mathbf x \in \mathbb L)</math> <math>\langle\mathbf x,\mathbf x \rangle \in \mathbb \R</math> и <math>\langle\mathbf x,\mathbf x \rangle \ge 0,</math> причём <math>\langle\mathbf x,\mathbf x \rangle =0 </math> только при <math>\mathbf{x=0}. </math>
+== Свойства ==
+* Над действительным пространством условие полуторалинейности эквивалентно билинейности, а эрмитовость — симметричности, и скалярное произведение становится положительно определенной билинейной симметричной функцией <math>\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb L \times \mathbb L \to \R </math>.
+* Полуторалинейная форма <math> \langle \cdot, \cdot \rangle</math> является эрмитовой тогда и только тогда<ref name=autogenerated1 />, когда для всех векторов <math>x \in \mathbb L</math> [[Функция (математика)|функция]] <math>f(\mathbf x)= \langle\mathbf x,\mathbf x \rangle</math> принимает только вещественные значения.
+== Отличия от евклидова пространства ==
+Унитарные пространства обладают всеми свойствами евклидовых пространств, за исключением четырёх отличий:<ref>''Шикин Е. В.'' Линейные пространства и отображения. — М., [[МГУ]], 1987. — с. 51-52</ref>
+# <math>(\mathbf x, \alpha\mathbf y) = \overline {\alpha} (\mathbf x,\mathbf y);</math>
+# [[неравенство Коши — Буняковского]]: <math>\left |\mathbf{(x, y)} \right |^{2}  \leqslant \mathbf{(x, x) (y, y)};</math>
+# понятие угла не имеет содержательного смысла;
+# [[Матрица Грама]] <math>\Gamma (f) = f^{T}f</math> системы векторов <math>f</math> является эрмитовой <math>\Gamma = \Gamma^{*}.</math>
+== Литература ==
+* ''[[Гельфанд, Израиль Моисеевич|Гельфанд И. М.]]'' Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
+* ''[[Шафаревич, Игорь Ростиславович|Шафаревич И. Р.]], Ремизов А. О.'' Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
+== Примечания ==
+{{примечания}}
+{{algebra-stub}}
+[[Категория:Линейная алгебра]]
+[[Категория:Функциональный анализ]]

Унитарное пространство: различия между версиями

Текущая версия от 09:33, 8 июля 2021

Содержание

Определение

Свойства

Отличия от евклидова пространства

Литература

Примечания

Навигация

Унитарное пространство: различия между версиями

Текущая версия от 09:33, 8 июля 2021

Определение

Свойства

Отличия от евклидова пространства

Литература

Примечания

Навигация

Поиск