Атлас (топология): различия между версиями

[непроверенная версия]

[отпатрулированная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Текущая версия от 13:45, 1 ноября 2021

Атлас — понятие дифференциальной геометрии, позволяющее вводить на многообразии дополнительные структуры; например, гладкую структуру или комплексную структуру.

Атлас состоит из отдельных карт, которые описывают отдельные области многообразия. Если под многообразием понимать поверхность Земли, то слова «карта» и «атлас» приобретают свои обычные значения.

Определения

Пусть $K$ — числовое поле (например $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ ), $X$ — топологическое пространство.

Карта — это пара $(U,f)$ , где

U

— открытое множество в

X

f

— гомеоморфизм из

U

в открытое множество в

K^{n}

Локальная карта вводит в $U$ криволинейные координаты, сопоставляя точке $x=f^{-1}(t)$ набор чисел $t=(t^{1},...,t^{n})$

Если области определения двух карт $(U_{1},f_{1})$ и $(U_{2},f_{2})$ пересекаются ( $U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$ ), то между множествами $f_{1}(U_{2})$ и $f_{2}(U_{1})$ имеются взаимно обратные отображения (гомеоморфизмы), называемые функциями сличения или отображением склейки :
${\begin{matrix}f_{12}=f_{1}\circ f_{2}^{-1}|_{f_{2}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\\f_{21}=f_{2}\circ f_{1}^{-1}|_{f_{1}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\end{matrix}}$

Атлас — это множество согласованных карт $\{(U_{\alpha },f_{\alpha })\}$ , $\alpha \in {\mathcal {A}}$ , такое, что $\{U_{\alpha }\}$ образует покрытие пространства $X$ . Здесь ${\mathcal {A}}$ — некоторое множество индексов. При этом атлас называется гладким (класса $C^{k}$ ) или аналитическим, если функции замены координат $f_{\alpha _{1}\alpha _{2}}$ для всех карт гладкие (класса $C^{k}$ ) или аналитические.

Связанные определения

Два гладких (аналитических) атласа называются согласованными, если их объединение также является гладким (аналитическим) атласом.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+{{другие значения|Атлас}}
-==Карта==
+'''Атлас''' — понятие [[дифференциальная геометрия|дифференциальной геометрии]], позволяющее вводить на [[многообразие|многообразии]] дополнительные структуры;
-Этот термин используется в определении аналитического [[Многообразие|многообразия]].
+например, гладкую структуру или комплексную структуру.
+Атлас состоит из отдельных карт, которые описывают отдельные области многообразия.
-Пусть <math>\mathbb{K}</math> - полное [[Поле (алгебра)|поле]](например <math>\mathbb{R}</math> или <math>\mathbb{C}</math>).
+Если под многообразием понимать поверхность Земли, то слова «карта» и «атлас» приобретают свои обычные значения.
+== Определения ==
-Пусть <math>\mathbb{X}</math> - [[Топологическое пространство|топологическое пространство]]
+Пусть <math>K</math> — числовое [[Поле (алгебра)|поле]] (например <math>\mathbb{R}</math> или <math>\mathbb{C}</math>),
+<math>X</math> — [[топологическое пространство]].
-Карта - это тройка <math>m = (U,n,f)</math>, где
+* '''Карта''' — это пара <math>(U,f)</math>, где
-  <math>U</math> - [[Открытое множество|открытое множество]] в <math>\mathbb{X}</math>
+: <math>U</math> — [[открытое множество]] в <math>X</math>
+: <math>f</math> — [[гомеоморфизм]] из <math>U</math> в [[открытое множество]] в <math>K^n</math>
-  <math>n</math> - натуральное число
-  <math>f</math> - [[Гомеоморфизм|гомеоморфизм]] из <math>U</math> в множество [[Открытое множество|открытое]] в <math>\mathbb{K}^n</math>
-Принятые обозначения:
-  <math>O(m) := U</math> - открытое множество карты
-  <math>dim_k(m) := n</math> - размерность карты
-  <math>M(m) := f</math> - отображение карты
+* Локальная карта вводит в <math>U</math> криволинейные координаты, сопоставляя точке <math>x=f^{-1}(t)</math> набор чисел <math>t=(t^1,...,t^n) </math>
-==Согласованные карты==
-Пусть заданы 2 карты <math>m_1 = (U_1,n_1,f_1)</math> и <math>m_2 = (U_2,n_2,f_2)</math>.
+* Если области определения двух карт <math>(U_1,f_1)</math> и <math>(U_2,f_2)</math> пересекаются (<math>U_1 \cap U_2 \neq \emptyset</math>), то между множествами <math>f_1(U_2)</math> и <math>f_2(U_1)</math> имеются взаимно обратные отображения (гомеоморфизмы), называемые '''функциями сличения''' или '''отображением склейки''' :
-<math>m_1</math> и <math>m_2</math> согласованны, если отображения <math>f_1\circ f_2^{-1}\mid U_1 \cap U_2</math> и <math>f_2\circ f_1^{-1}\mid U_1 \cap U_2</math> [[Аналитическая функция|аналитичны]].
+*: <math>
+\begin{matrix}
+f_{12}= f_1\circ f_2^{-1}|_{f_2(U_1 \cap U_2)} &: \ f_2(U_1 \cap U_2) \to f_1(U_1 \cap U_2) \\
+f_{21}= f_2\circ f_1^{-1}|_{f_1(U_1 \cap U_2)} &: \ f_1(U_1 \cap U_2) \to f_2(U_1 \cap U_2)
+\end{matrix}
+</math>
+* '''Атлас''' — это множество согласованных карт <math>\{(U_\alpha,f_\alpha)\}</math>, <math>\alpha\in\mathcal A</math>, такое, что <math>\{U_\alpha\}</math> образует [[Покрытие (математика)|покрытие]] пространства <math>X</math>. Здесь <math>\mathcal A</math> — некоторое множество индексов. При этом атлас называется гладким (класса <math>C^k</math>) или аналитическим, если функции замены координат <math>f_{\alpha_1\alpha_2}</math> для всех карт гладкие (класса <math>C^k</math>) или аналитические.
-==Покрытие простравнства==
-Множество карт <math>S</math> такое что объединение всех открытых множеств карт из <math>S</math> совпадаетс с <math>\mathbb{X}</math>
+== Связанные определения ==
-==Атлас==
+* Два гладких (аналитических) атласа называются ''согласованными'', если их объединение также является гладким (аналитическим) атласом.
-Атлас - это покрытие пространства, любые две карты из которого согласованны.
+{{нет ссылок|дата=7 июня 2019}}
-==Согласованные Атласы==
-Два атласа называются согласованными, если их объединение также является атласои.
+[[Категория:Многообразия]]
-[[Категория:Топология]]
 [[Категория:Дифференциальная геометрия и топология]]
-[[Категория:Многообразия]]

Атлас (топология): различия между версиями

Текущая версия от 13:45, 1 ноября 2021

Определения

Связанные определения

Навигация

Поиск