Стационарность

Стационарность или постоянство — свойство процесса не менять свои характеристики со временем. Понятие используется в нескольких разделах науки.

Стационарный процесс — это стохастический процесс, у которого не изменяется распределение вероятности при смещении во времени. Следовательно, такие параметры, как среднее значение и дисперсия. Поскольку стационарность лежит в основе многих статистических процедур, используемых в анализе временных рядов, нестационарные данные часто преобразуются, чтобы стать стационарными. Наиболее распространенной причиной нарушения стационарности является тенденция к среднему значению, которое может быть обусловлено либо наличием единого корня, либо детерминированного тренда. В первом случае единичного корня стохастические удары имеют постоянные эффекты, и процесс не является средним возвратом. В последнем случае детерминированного тренда процесс называется стационарным процессом тренда, а стохастические шоки имеют только временные эффекты, после которых переменная стремится к детерминистически развивающемуся (непостоянному) среднему значению. Тенденционный стационарный процесс не является строго стационарным, но может легко трансформироваться в стационарный процесс, устраняя лежащий в основе тренд, который является исключительно функцией времени. Аналогичным образом, процессы с одним или несколькими единичными корнями могут быть сделаны стационарными через различие. Важным видом нестационарного процесса, который не включает трендоподобное поведение, является циклостационарный процесс, который является стохастическим процессом, который циклически изменяется со временем.

Теория вероятностей

В теории вероятностей случайный процесс $(\xi _{t},t\in T\subseteq \mathbb {R} )$ называется стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются с течением времени t.

Пусть $(\xi _{t},t\in T\subseteq \mathbb {R} )$ — случайный процесс, определенный на вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )$, называется «стационарным в узком смысле», если $\forall ~n\in \mathbb {N} ,\forall t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}$ распределения сечения $(\xi _{t_{1}},\xi _{t_{2}},\ldots ,\xi _{t_{n}})$ не зависит от сдвига векторов моментов времени $(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})$ на величину $\forall s\in \mathbb {R}$. То есть $\mathbb {P} \{(\xi _{t_{1}},\xi _{t_{2}},\ldots ,\xi _{t_{n}})\in {\mathcal {B}}\}=\mathbb {P} \{(\xi _{t_{1}+s},\xi _{t_{2}+s},\ldots ,\xi _{t_{n}+s})\in {\mathcal {B}}\}$ , где ${\mathcal {B}}\in {\mathfrak {B}}(\mathbb {R} ^{n})$, ${\mathfrak {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ — борелевская σ -алгебра.

$(\xi _{t},t\in T\subseteq \mathbb {R} )$ — случайный процесс, определенный на вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )$, называется «стационарным в широком смысле», если $\forall t\in T\subseteq \mathbb {R}$ верны следующие свойства

1. $\exists M\xi _{t}$ и $\exists ~D\xi _{t}\neq 0;$
2. функция среднего значения постоянна и не зависит от $t;$
3. ковариационная функция функционально зависит только от разности аргументов $cov(\xi _{t},\xi _{s})=K(t,s)={\widetilde {K}}(t-s),~\forall s\in T.$

Из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле. Обратное верно только для нормальных процессов.

На практике чаще используют предположение о стационарности в широком смысле.

Физика

Стационарными (или установившимися) называют процессы, которые не зависят от времени.

Есть также термин — квазистационарный, дающий некоторое приближение к стационарности, обычно применяется в тех случаях, когда характерное время установления равновесия в системе много меньше характерного времени изменения равновесных параметров системы, определяемых воздействием на систему.

Белый шум — самый простой пример стационарного процесса.