Курносый куб: различия между версиями

Курносый куб
Курносый куб
	; «Правый» вариант; (вращающаяся модель, 3D-модель)
	; «Левый» вариант; (вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	архимедово тело
Свойства	выпуклый, изогональный, хиральный
Комбинаторика
38 граней; 60 рёбер; 24 вершины	Χ = 2
Грани	32 треугольника,; 6 квадратов
Конфигурация вершины	34.4
Двойственный многогранник	пентагональный икоситетраэдр
	Вершинная фигура
	Развёртка Развёртка для «левого» варианта
Классификация
Обозначения	sC
Символ Шлефли	sr{4,3}
Группа симметрии	O (хиральная октаэдрическая)
	Медиафайлы на Викискладе

Интерактивная навигация по истории

[отпатрулированная версия]

← Предыдущая правка

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Линейный

Текущая версия от 05:36, 3 апреля 2022

Курно́сый куб^[1], или плосконо́сый куб^[2]^[3], — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 38 гранями, составленный из 6 квадратов и 32 правильных треугольников. В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся одна квадратная грань и четыре треугольных. Треугольные грани делятся на две группы: 8 из них окружены только другими треугольными, остальные 24 — квадратной и двумя треугольными.

Имеет 60 рёбер равной длины.

Название «курносый куб» (лат. cubus simus) дал этому многограннику Иоганн Кеплер в трактате 1619 года «Гармония мира». Гарольд Коксетер, отметив, что многогранник родствен октаэдру в той же мере, что и кубу, предлагал называть его «курносым кубооктаэдром».

В отличие от большинства других архимедовых тел, курносый куб (наряду с курносым додекаэдром) является хиральным и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «правом» и «левом».

Преобразование ромбокубооктаэдра в «левый» и «правый» курносые кубы.

Метрические характеристики и углы

При определении метрических свойств курносого куба приходится решать кубические уравнения и пользоваться кубическими корнями — тогда как для ахиральных архимедовых тел и для платоновых тел не требуется ничего сложнее квадратных уравнений и квадратных корней. Поэтому курносый куб, в отличие от платоновых и ахиральных архимедовых тел, не допускает евклидова построения^[4]. То же верно и для курносого додекаэдра, а также для двойственных им каталановых тел.

При описании метрических свойств и углов курносого куба важную роль играет константа трибоначчи:

t={\frac {1}{3}}\left(1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\approx 1{,}8392868.

.

Если курносый куб имеет ребро длины $a$ , его площадь поверхности и объём выражаются как

S=\left(6+8{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 19{,}8564065a^{2},

V={\sqrt {\frac {613t+203}{9(35t-62)}}}\;a^{3}\approx 7{,}8894774a^{3}.

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

R={\sqrt {\frac {3-t}{4(2-t)}}}\;a\approx 1{,}3437134a;

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

\rho ={\sqrt {R^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}={\sqrt {\frac {1}{4(2-t)}}}\;a\approx 1{,}2472232a.

Вписать в курносый куб сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри курносого куба с ребром $a$ (она будет касаться только всех квадратных граней в их центрах), равен

r_{4}={\sqrt {R^{2}-{\frac {a^{2}}{2}}}}={\sqrt {\frac {t-1}{4(2-t)}}}\;a\approx 1{,}1426135a.

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит $r_{4}$ и равно

r_{3}={\sqrt {R^{2}-{\frac {a^{2}}{3}}}}={\sqrt {\frac {t+1}{12(2-t)}}}\;a\approx 1{,}2133558a.

Двугранные углы между двумя смежными треугольными гранями курносого куба равны $\alpha _{33}=\arccos \,{\frac {1-2t}{3}}\approx 153{,}23^{\circ },$ между смежными квадратной и треугольной гранями $\alpha _{43}=\arccos \left(-{\sqrt {1-{\frac {2}{3t}}}}\right)\approx 142{,}98^{\circ }.$

Телесный угол при вершине равен $3\alpha _{33}+2\alpha _{43}-3\pi \approx 1{,}14\pi .$

В координатах

«Левый» курносый куб можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы координаты 12 его вершин были всевозможными чётными перестановками тех троек чисел $(\pm t;\pm 1;\pm t^{-1}),$ среди которых чётное число отрицательных, а координаты остальных 12 вершин — всевозможными нечётными перестановками тех троек, среди которых нечётное число отрицательных.

Если поступить наоборот — взять чётные перестановки троек с нечётным числом минусов и нечётные перестановки троек с чётным числом минусов — получим «правый» вариант курносого куба.

Начало координат $(0;0;0)$ в обоих случаях будет центром описанной и полувписанной сфер многогранника.

Примечания

↑ Веннинджер, 1974, с. 20, 41.
↑ Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 435.
↑ Люстерник, 1956, с. 183.
↑ У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986. — Стр. 153.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Курносый куб (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.

[_df2c40b70bff1eff-1] Веннинджер, 1974, с. 20, 41.

[_4011b030f449b595-2] Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 435.

[_890f5fddf3101d54-3] Люстерник, 1956, с. 183.

[4] У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986. — Стр. 153.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+{{Многогранник
-{| border="1" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px"
-!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|Курносый куб
+| название                  = Курносый куб
+| изображение               = Snubhexahedronccw.jpg
-|-
+| ширина                    = 200px
-|align=center colspan=2|[[File:Snubhexahedroncw.jpg|200px|Курносый куб]]<br />На иллюстрации показан «левый» вариант<br />[[:File:Snubhexahedroncw.gif|(здесь можно посмотреть вращающуюся модель)]]
+| подпись                   = «Правый» вариант
-|-
+| вращающаяся модель        = Snubhexahedronccw.gif
-|bgcolor=#e7dcc3|Тип||[[Архимедовы тела|Полуправильный многогранник<br />(архимедово тело)]]
+| 3D-модель                 = Snub cube.stl
-|-
+| изображение2              = Snubhexahedroncw.jpg
-|bgcolor=#e7dcc3|Грани||треугольники (32),<br />квадраты (6)
+| ширина2                   = 200px
-|-
+| подпись2                  = «Левый» вариант
-|bgcolor=#e7dcc3|Граней||38
+| вращающаяся модель2       = Snubhexahedroncw.gif
-|-
+| 3D-модель2                = Mirrored snub cube.stl
-|bgcolor=#e7dcc3|Рёбер||60
+| тип                       = [[Архимедовы тела|архимедово тело]]
-|-
+| свойства                  = [[Выпуклый многогранник|выпуклый]], [[Изогональная фигура|изогональный]], [[Хиральность (математика)|хиральный]]
-|bgcolor=#e7dcc3|Вершин||24
-|-
-|bgcolor=#e7dcc3|Граней при вершине||5
-|-
-|bgcolor=#e7dcc3|[[Точечная группа симметрии|Группа симметрии]]||Октаэдрическая (''O'')
-|-
-|bgcolor=#e7dcc3|[[Двойственный многогранник|Двойственный<br /> многогранник]]||[[Пентагональный икоситетраэдр]]
-|}
+| число граней              = 38
-'''Курносый куб'''{{sfn|Веннинджер|1974|с=20, 41}} или '''плосконосый куб'''{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1963|с=437, 435}}{{sfn|Люстерник|1956|с=183}} — [[полуправильный многогранник]] (архимедово тело) с 38 гранями, включая 6 [[квадрат]]ов и 32 [[правильный треугольник|правильных треугольника]]. В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся одна квадратная грань и четыре треугольных. Треугольные грани делятся на две группы: 8 из них окружены только другими треугольными, остальные 24 — квадратной и двумя треугольными.
+| число рёбер               = 60
+| число вершин              = 24
+| грани                     = 32 треугольника,<br>6 квадратов
+| конфигурация вершины      = 3<sup>4</sup>.4
+| вершинная фигура          =
+| развёртка                 = Snub cube flat.svg
+| подпись развёртки         = Развёртка для «левого» варианта
+| двойственный многогранник = [[пентагональный икоситетраэдр]]
+| обозначения               = sC
+| символ Шлефли             = sr{4,3}
+| символ Визоффа            =
+| диаграмма Дынкина         =
+| группа симметрии          = ''O'' (хиральная октаэдрическая)
+| группа вращения           =
+| длина ребра               =
+| площадь поверхности       =
+| объём                     =
+| двугранный угол           =
+| телесный угол             =
+}}
+'''Курно́сый куб'''{{sfn|Веннинджер|1974|с=20, 41}}, или '''плосконо́сый куб'''{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1963|с=437, 435}}{{sfn|Люстерник|1956|с=183}}, — [[полуправильный многогранник]] (архимедово тело) с 38 гранями, составленный из 6 [[квадрат]]ов и 32 [[правильный треугольник|правильных треугольников]]. В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся одна квадратная грань и четыре треугольных. Треугольные грани делятся на две группы: 8 из них окружены только другими треугольными, остальные 24 — квадратной и двумя треугольными.
 Имеет 60 рёбер равной длины.
-Название «курносый куб» ({{lang-lat|cubus simus}}) дал этому многограннику [[Иоганн Кеплер]] в трактате 1619 года «[[Harmonices Mundi|Гармония мира]]». [[Гарольд Коксетер]], отметив, что многогранник родственен [[октаэдр]]у в той же мере, что и [[куб]]у, предлагал называть его «курносым [[кубооктаэдр]]ом».
+Название «курносый куб» ({{lang-lat|cubus simus}}) дал этому многограннику [[Иоганн Кеплер]] в трактате 1619 года «[[Harmonices Mundi|Гармония мира]]». [[Гарольд Коксетер]], отметив, что многогранник родствен [[октаэдр]]у в той же мере, что и [[куб]]у, предлагал называть его «курносым [[кубооктаэдр]]ом».
-В отличие от большинства других архимедовых тел, курносый куб (наряду с [[Курносый додекаэдр|курносым додекаэдром]]) является [[Хиральность (математика)|хиральным]] и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «правом» и «левом».
+В отличие от большинства других архимедовых тел, курносый куб (наряду с [[Курносый додекаэдр|курносым додекаэдром]]) является [[Хиральность (математика)|хиральным]] и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «правом» и «левом».
-[[File:A5-A7.gif|слева|160px|thumb|Преобразование [[ромбокубооктаэдр]]а в «левый» и «правый» курносые кубы.]]
+[[Файл:A5-A7.gif|слева|160px|thumb|Преобразование [[ромбокубооктаэдр]]а в «левый» и «правый» курносые кубы.]]
+== Метрические характеристики и углы ==
-== Формулы ==
+При определении метрических свойств курносого куба приходится решать [[Кубическое уравнение|кубические уравнения]] и пользоваться [[Кубический корень|кубическими корнями]] — тогда как для ахиральных архимедовых тел и для [[Платоновы тела|платоновых тел]] не требуется ничего сложнее [[Квадратное уравнение|квадратных уравнений]] и [[Квадратный корень|квадратных корней]]. Поэтому курносый куб, в отличие от платоновых и ахиральных архимедовых тел, не допускает [[Построение с помощью циркуля и линейки|евклидова построения]]<ref>У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986. — Стр. 153.</ref>. То же верно и для курносого додекаэдра, а также для двойственных им каталановых тел.
+При описании метрических свойств и углов курносого куба важную роль играет [[Числа трибоначчи|константа трибоначчи]]:
-При определении метрических свойств курносого куба приходится решать [[Кубическое уравнение|кубические уравнения]] и пользоваться [[Кубический корень|кубическими корнями]] — тогда как для ахиральных архимедовых тел и для [[Платоновы тела|платоновых тел]] не требуется ничего сложнее [[Квадратное уравнение|квадратных уравнений]] и [[Квадратный корень|квадратных корней]]. Поэтому курносый куб, в отличие от платоновых и большинства архимедовых тел, не допускает [[Построение с помощью циркуля и линейки|евклидова построения]]<ref>У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986. — Стр. 153.</ref>. То же верно и для курносого додекаэдра.
+: <math>t = \frac{1}{3}\left(1+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}\right) \approx 1{,}8392868.</math>.
+Если курносый куб имеет ребро длины <math>a</math>, его площадь поверхности и объём выражаются как
-Важную роль при описании метрических свойств курносого куба играет [[Числа трибоначчи|константа трибоначчи]]:
-:<math>t = \frac{1}{3}\left(1+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}\right) \approx 1,8392868.</math>.
+: <math>S = \left(6+8\sqrt{3}\right)a^2 \approx 19{,}8564065a^2,</math>
-Если усечённый куб имеет ребро длины <math>a</math>, его площадь поверхности и объём выражаются как
+: <math>V = \sqrt{\frac{613t+203}{9(35t-62)}}\;a^3 \approx 7{,}8894774a^3.</math>
+Радиус [[Описанная сфера|описанной сферы]] (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен
-:<math>S = \left(6+8\sqrt{3}\right)a^2 \approx 19,8564065a^2,</math>
-:<math>V = \sqrt{\frac{613t+203}{9(35t-62)}}\;a^3 \approx 7,8894774a^3.</math>
+: <math>R = \sqrt{\frac{3-t}{4(2-t)}}\;a \approx 1{,}3437134a;</math>
-Радиус описанной [[Сфера|сферы]] (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен
+радиус [[Полувписанная сфера|полувписанной сферы]] (касающейся всех рёбер в их серединах) —
-:<math>R = \sqrt{\frac{3-t}{4(2-t)}}\;a \approx 1,3437134a;</math>
+: <math>\rho = \sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4(2-t)}}\;a \approx 1{,}2472232a.</math>
-радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
+[[Вписанная сфера|Вписать]] в курносый куб сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри курносого куба с ребром <math>a</math> (она будет касаться только всех квадратных граней в их центрах), равен
-:<math>\rho = \sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4(2-t)}}\;a \approx 1,2472232a.</math>
+: <math>r_4 = \sqrt{R^2-\frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{t-1}{4(2-t)}}\;a \approx 1{,}1426135a.</math>
-Вписать в курносый куб сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри курносого куба с ребром <math>a</math> (она будет касаться только всех квадратных граней в их центрах), равен
+Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит <math>r_4</math> и равно
-:<math>r_4 = \sqrt{R^2-\frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{t-1}{4(2-t)}}\;a \approx 1,1426135a.</math>
+: <math>r_3 = \sqrt{R^2-\frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{t+1}{12(2-t)}}\;a \approx 1{,}2133558a.</math>
-Расстояние от центра многогранника до центра любой треугольной грани превосходит <math>r_4</math> и равно
+[[Двугранный угол|Двугранные углы]] между двумя смежными треугольными гранями курносого куба равны <math>\alpha_{33} = \arccos \, \frac{1-2t}{3} \approx 153{,}23^\circ,</math> между смежными квадратной и треугольной гранями <math>\alpha_{43} = \arccos\left(-\sqrt{1-\frac{2}{3t}}\right) \approx 142{,}98^\circ.</math>
-:<math>r_3 = \sqrt{R^2-\frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{t+1}{12(2-t)}}\;a \approx 1,2133558a.</math>
+[[Телесный угол]] при вершине равен <math>3\alpha_{33}+2\alpha_{43}-3\pi \approx 1{,}14\pi.</math>
-[[Двугранный угол|Двугранные углы]] между двумя треугольными гранями курносого куба равны <math>\arccos \frac{1-2t}{3} \approx 153,23^\circ,</math> между квадратной и треугольной гранями <math>\arccos\left(-\sqrt{1-\frac{2}{3t}}\right) \approx 142,98^\circ.</math>
+== В координатах ==
+«Левый» курносый куб можно разместить в [[Прямоугольная система координат|декартовой системе координат]] так, чтобы координаты 12 его вершин были всевозможными [[Перестановка#Связанные определения|чётными перестановками]] тех троек чисел <math>(\pm t;\pm1;\pm t^{-1}),</math> среди которых чётное число отрицательных, а координаты остальных 12 вершин — всевозможными нечётными перестановками тех троек, среди которых нечётное число отрицательных.
+Если поступить наоборот — взять чётные перестановки троек с нечётным числом минусов и нечётные перестановки троек с чётным числом минусов — получим «правый» вариант курносого куба.
+Начало координат <math>(0;0;0)</math> в обоих случаях будет центром описанной и полувписанной сфер многогранника.
 == Примечания ==
 {{примечания}}
+== Ссылки ==
+* {{mathworld|urlname=SnubCube|title=Курносый куб}}
 == Литература ==
@@ Строка 79: / Строка 106: @@
  |ответственный = Под ред. [[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александрова]], [[Маркушевич, Алексей Иванович|А. И. Маркушевича]], [[Хинчин, Александр Яковлевич|А. Я. Хинчина]]
  |часть = Многоугольники и многогранники
- |страницы = 382-447
+ |страницы = 382—447
  |ref = Энциклопедия элементарной математики
 }}
@@ Строка 91: / Строка 118: @@
 }}
+{{Многогранники|nocat=1}}
-{{викисклад|Category:Snub cubes}}
-{{Многогранники}}
-[[Категория:Полуправильные многогранники]]
+[[Категория:Архимедовы тела]]
+[[Категория:Хиральные многогранники]]

Курносый куб: различия между версиями

Текущая версия от 05:36, 3 апреля 2022

Содержание

Метрические характеристики и углы

В координатах

Примечания

Ссылки

Литература

Навигация

Курносый куб: различия между версиями

Текущая версия от 05:36, 3 апреля 2022

Метрические характеристики и углы

В координатах

Примечания

Ссылки

Литература

Навигация

Поиск