Спектр сигнала

Спектр сигнала — коэффициенты разложения сигнала в базисе ортогональных функций. Называют также спектральным образом сигнала. Само разложение называют спектральным разложением сигнала. В радиотехнике для разложения обычно используются классическое преобразование Фурье; также применяют разложение по функциям Уолша, вейвлет-преобразование и др.

Базисные функции

Основная статья: Базисная функция

Базисная функция — функция, которая является элементом базиса в функциональном пространстве. В радиотехнике обычно осуществляют гармонический анализ сигнала, в качестве базисных функций используя синусоидальные функции. Это объясняется рядом обстоятельств:

• функции $\cos(\omega t)$, $\sin(\omega t)$ являются простыми и определены при всех значениях t, являются ортогональными и составляют полный набор при кратном уменьшении периода;
• гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении колебания через линейную систему с постоянными параметрами, могут только изменяться амплитуда и фаза;
• для гармонических функций имеется математический аппарат комплексного анализа;
• гармоническое колебание легко реализуемо на практике.

Обобщённый спектрально-аналитический метод предусматривает использование кроме гармонического ряда Фурье также и другие виды спектральных разложений: по функциям Уолша, Бесселя, Хаара, Лежандра, полиномам Чебышёва и др.

В цифровой обработке сигналов для анализа применяются дискретные преобразования: Фурье, Хартли, вейвлетные и др.

Применение

Разложение сигнала в спектр применяется в анализе прохождения сигналов через электрические цепи (спектральный метод). Спектр периодического сигнала является дискретным и представляет набор гармонических колебаний, в сумме составляющий исходный сигнал. Одним из преимуществ разложения сигнала в спектр является следующее: сигнал, проходя по цепи, претерпевает изменения (усиление, задержка, модулирование, детектирование, изменение фазы, ограничение и т. д.). Токи и напряжения в цепи под действием сигнала описываются дифференциальными уравнениями, соответствующими элементам цепи и способу их соединения. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями, причём для линейных цепей верен принцип суперпозиции: действие на систему сложного сигнала, который состоит из суммы простых сигналов, равно сумме действий от каждого составляющего сигнала в отдельности. Это позволяет при известной реакции системы на какой-либо простой сигнал, например, на синусоидальное колебание с определённой частотой, определить реакцию системы на любой сложный сигнал, разложив его в ряд по синусоидальным колебаниям.

На практике спектр измеряют при помощи специальных приборов: анализаторов спектра.

Математическое представление

Спектр периодического сигнала $s(t)$ имеет вид:

$C_{n}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}s(t)e^{-in\omega _{1}t}dt$, где $T$ — период сигнала $s(t)$, $\omega _{1}=2\pi /T$, $n$ — целое.

Спектр непериодического сигнала $s(t)$ можно записать через преобразование Фурье (можно без коэффициента $1/{\sqrt {2\pi }}$) в виде:

$S(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }s(t)e^{-i\omega t}dt$, где $\omega$ — угловая частота, равная $2\pi f$.

Спектр сигнала является комплексной величиной и представляется в виде: $S(\omega )=A(\omega )e^{-i\phi (\omega )}$, где $A(\omega )$ — амплитудный спектр сигнала, $\phi (\omega )$ — фазовый спектр сигнала.

Если под сигналом $s(t)$ понимать электрическое напряжение на резисторе сопротивлением 1 Ом, то энергия сигнала, выделяемая на этом резисторе на интервале времени $(0,\ T)$, будет равна $E=\int \limits _{0}^{T}s^{2}(t)dt$, средняя мощность — $W={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}s^{2}(t)dt$.

См. также

• Гармонический анализ
• Преобразование Фурье
• Спектральная плотность