Спектр сигнала: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Mikisavex (обсуждение | вклад) м →Базисные функции: italic для названий тригонометрических функций не нужен |
|||
(не показано 38 промежуточных версий 21 участника) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{Значения|Спектр (значения)}} |
|||
'''Спектр электрического [[сигнал| сигнала]]''' - это разложение сигнала на более простые в базисе ортогональных функций. В качестве разложения обычно применяется [[преобразование Фурье]]. |
|||
{{нет иллюстраций}} |
|||
'''Спектр сигнала''' — коэффициенты разложения сигнала в базисе [[Ортогональные функции|ортогональных функций]]<ref name="b-Gonorovsky-1977ru" />. Называют также '''спектральным образом сигнала'''. Само разложение называют спектральным разложением сигнала. В [[Радиотехника|радиотехнике]] для разложения обычно используются классическое [[преобразование Фурье]]; также применяют разложение по [[Функция Уолша|функциям Уолша]], [[вейвлет-преобразование]] и др<ref name="b-Gonorovsky-1977ru" /><ref name="b-Baskakov-2003ru" /><ref name="b-Dedus-1999ru" /><ref name="b-Gold" />. |
|||
== Базисные функции == |
== Базисные функции == |
||
{{Основная статья|Базисная функция}} |
|||
⚫ | |||
Базисная функция — функция, которая является элементом базиса в функциональном пространстве. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
* гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении колебания через линейную систему с постоянными параметрами, могут только изменяться амплитуда и фаза; |
* гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении колебания через линейную систему с постоянными параметрами, могут только изменяться амплитуда и фаза; |
||
* для гармонических функций имеется математический аппарат комплексного анализа; |
* для гармонических функций имеется математический аппарат комплексного анализа; |
||
* гармоническое колебание легко реализуемо на практике. |
* гармоническое колебание легко реализуемо на практике. |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Применение == |
== Применение == |
||
Разложение сигнала в спектр применяется в анализе прохождения сигналов через электрические цепи (спектральный метод). Спектр периодического сигнала является дискретным и представляет набор гармонических колебаний, в сумме составляющий исходный сигнал. Одним из преимуществ разложения сигнала в спектр является следующее: сигнал, проходя по цепи, претерпевает изменения (усиление, задержка, модулирование, детектирование, изменение фазы, ограничение и т. д.). Токи и напряжения в цепи под действием сигнала описываются дифференциальными уравнениями, соответствующими элементам цепи и способу их соединения. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями, |
Разложение сигнала в спектр применяется в анализе прохождения сигналов через [[Электрическая цепь|электрические цепи]] (спектральный метод). Спектр периодического сигнала является дискретным и представляет набор [[Гармонические колебания|гармонических колебаний]], в сумме составляющий исходный сигнал. Одним из преимуществ разложения сигнала в спектр является следующее: сигнал, проходя по цепи, претерпевает изменения (усиление, задержка, [[Модуляция|модулирование]], [[Демодуляция|детектирование]], изменение фазы, ограничение и т. д.). [[Электрический ток|Токи]] и [[Электрическое напряжение|напряжения]] в цепи под действием сигнала описываются [[Дифференциальное уравнение|дифференциальными уравнениями]], соответствующими элементам цепи и способу их соединения. [[Линейная система|Линейные цепи]] описываются [[Линейное дифференциальное уравнение|линейными дифференциальными уравнениями]], причём для линейных цепей верен [[принцип суперпозиции]]: действие на систему сложного сигнала, который состоит из суммы простых сигналов, равно сумме действий от каждого составляющего сигнала в отдельности. Это позволяет при известной реакции системы на какой-либо простой сигнал, например, на синусоидальное колебание с определённой частотой, определить реакцию системы на любой сложный сигнал, разложив его в ряд по синусоидальным колебаниям. |
||
На практике спектр измеряют при помощи специальных приборов: [[анализатор спектра|анализаторов спектра]]. |
На практике спектр измеряют при помощи специальных приборов: [[анализатор спектра|анализаторов спектра]]. |
||
== Математическое представление == |
== Математическое представление == |
||
Спектр периодического сигнала <math>s(t)</math> имеет вид: |
|||
Если под сигналом <math>s(t)</math> понимать электрическое напряжение на резисторе сопротивлением 1 Ом, то спектр этого сигнала <math>S(\omega)</math> можно записать следующим образом: |
|||
<math>C_n = \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} s(t) e^{-i n\omega_1 t} dt</math>, где <math>T</math> — период сигнала <math>s(t)</math>, <math>\omega_1=2\pi/T</math>, <math>n</math> — целое<ref name="b-Gonorovsky-1977ru"/>. |
|||
Спектр непериодического сигнала <math>s(t)</math> можно записать через [[преобразование Фурье]] (можно без коэффициента <math>1/{\sqrt{2\pi}}</math>) в виде: |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
Если под сигналом <math>s(t)</math> понимать [[электрическое напряжение]] на [[резистор]]е сопротивлением 1 Ом, то [[энергия]] сигнала, выделяемая на этом [[резистор]]е на интервале времени <math>(0, \ T)</math>, будет равна <math>E=\int\limits_{0}^{T} s^2(t) dt</math>, средняя [[мощность]] — <math>W = \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} s^2(t) dt</math>. |
|||
⚫ | |||
== См. также == |
|||
⚫ | |||
* [[Гармонический анализ]] |
|||
⚫ | |||
* [[Преобразование Фурье]] |
|||
* [[Спектральная плотность]] |
|||
== Примечания == |
|||
Энергия сигнала, выделяемая на резисторе, будет равна <math>\int\limits_{-T/2}^{T/2} |(s(t)|^2 dt</math>, средняя мощность - <math>\frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} |(s(t)|^2 dt</math>. |
|||
{{примечания|refs= |
|||
<ref name="b-Gonorovsky-1977ru">{{книга |
|||
|автор = Гоноровский И. С. |
|||
⚫ | |||
|место = М. |
|||
|издательство = «Сов. радио» |
|||
|год = 1986 |
|||
|страницы = 17—21 |
|||
|страниц = 512 |
|||
}}</ref> |
|||
<ref name="b-Baskakov-2003ru">{{книга |
|||
|автор = Баскаков С. И. |
|||
⚫ | |||
|издательство = Высшая школа |
|||
|год = 2003 |
|||
|страниц = 442 |
|||
|isbn = 5-06-003843-2 |
|||
|тираж = 12000 экз. |
|||
}}</ref> |
|||
<ref name="b-Dedus-1999ru">{{книга |
|||
|автор = {{nobr|Дедус Ф. Ф.}}, {{nobr|Махортых С. А.}}, {{nobr|Устинин М. Н.}}, {{nobr|Дедус А. Ф.}} |
|||
|заглавие = Обобщённый спектрально-аналитический метод обработки информационных массивов |
|||
|серия = Задачи анализа изображений и распознавания образов |
|||
|ссылка = |
|||
|издание = |
|||
|место = М. |
|||
|издательство = Машиностроение |
|||
|год = 1999 |
|||
|страниц = 356 |
|||
|страницы = |
|||
|isbn = 5-217-02929-3 |
|||
|тираж = |
|||
|ref = Дедус и др. |
|||
}}</ref> |
|||
⚫ | |||
</ref> |
|||
}} |
|||
[[Категория:Спектрально-корреляционный анализ]] |
|||
== Литература == |
|||
[[Категория:Радиотехника]] |
|||
⚫ | |||
[[Категория:Радиофизика]] |
|||
⚫ | |||
⚫ |
Текущая версия от 09:16, 16 мая 2022
Спектр сигнала — коэффициенты разложения сигнала в базисе ортогональных функций[1]. Называют также спектральным образом сигнала. Само разложение называют спектральным разложением сигнала. В радиотехнике для разложения обычно используются классическое преобразование Фурье; также применяют разложение по функциям Уолша, вейвлет-преобразование и др[1][2][3][4].
Базисные функции
[править | править код]Базисная функция — функция, которая является элементом базиса в функциональном пространстве. В радиотехнике обычно осуществляют гармонический анализ сигнала, в качестве базисных функций используя синусоидальные функции. Это объясняется рядом обстоятельств:
- функции , являются простыми и определены при всех значениях t, являются ортогональными и составляют полный набор при кратном уменьшении периода;
- гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении колебания через линейную систему с постоянными параметрами, могут только изменяться амплитуда и фаза;
- для гармонических функций имеется математический аппарат комплексного анализа;
- гармоническое колебание легко реализуемо на практике.
Обобщённый спектрально-аналитический метод предусматривает использование кроме гармонического ряда Фурье также и другие виды спектральных разложений: по функциям Уолша, Бесселя, Хаара, Лежандра, полиномам Чебышёва и др.[3]
В цифровой обработке сигналов для анализа применяются дискретные преобразования: Фурье, Хартли, вейвлетные и др.
Применение
[править | править код]Разложение сигнала в спектр применяется в анализе прохождения сигналов через электрические цепи (спектральный метод). Спектр периодического сигнала является дискретным и представляет набор гармонических колебаний, в сумме составляющий исходный сигнал. Одним из преимуществ разложения сигнала в спектр является следующее: сигнал, проходя по цепи, претерпевает изменения (усиление, задержка, модулирование, детектирование, изменение фазы, ограничение и т. д.). Токи и напряжения в цепи под действием сигнала описываются дифференциальными уравнениями, соответствующими элементам цепи и способу их соединения. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями, причём для линейных цепей верен принцип суперпозиции: действие на систему сложного сигнала, который состоит из суммы простых сигналов, равно сумме действий от каждого составляющего сигнала в отдельности. Это позволяет при известной реакции системы на какой-либо простой сигнал, например, на синусоидальное колебание с определённой частотой, определить реакцию системы на любой сложный сигнал, разложив его в ряд по синусоидальным колебаниям.
На практике спектр измеряют при помощи специальных приборов: анализаторов спектра.
Математическое представление
[править | править код]Спектр периодического сигнала имеет вид:
, где — период сигнала , , — целое[1].
Спектр непериодического сигнала можно записать через преобразование Фурье (можно без коэффициента ) в виде:
, где — угловая частота, равная .
Спектр сигнала является комплексной величиной и представляется в виде: , где — амплитудный спектр сигнала, — фазовый спектр сигнала.
Если под сигналом понимать электрическое напряжение на резисторе сопротивлением 1 Ом, то энергия сигнала, выделяемая на этом резисторе на интервале времени , будет равна , средняя мощность — .
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 3 Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для вузов. — М.: «Сов. радио», 1986. — С. 17—21. — 512 с.
- ↑ Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. — Высшая школа, 2003. — 442 с. — 12 000 экз. экз. — ISBN 5-06-003843-2.
- ↑ 1 2 Дедус Ф. Ф., Махортых С. А., Устинин М. Н., Дедус А. Ф. Обобщённый спектрально-аналитический метод обработки информационных массивов. — М.: Машиностроение, 1999. — 356 с. — (Задачи анализа изображений и распознавания образов). — ISBN 5-217-02929-3.
- ↑ Рабинер, Голд. Теория и практика цифровой обработки сигналов.