Теорема о неявной функции

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, то есть функции

$y=f(x)$, $f:X\to Y$,

заданной уравнением

$F(x,y)=z_{0}$, $F:X\times Y\to Z$,

где значение $z_{0}\in Z$ фиксировано.

Одномерный случай

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.

Если функция $F:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

• непрерывна в некоторой окрестности точки $(x_{0},y_{0})$
• $F(x_{0},y_{0})=0$ и
• при фиксированном $x$ функция $F(x,y)$ строго монотонна по $y$ в данной окрестности,

тогда найдётся такой двумерный промежуток $I=I_{x}\times I_{y}$, являющийся окрестностью точки $(x_{0},y_{0})$, и такая непрерывная функция $f:I_{x}\to I_{y}$, что для любой точки $(x,y)\in I$

$F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)$

Обычно дополнительно предполагается, что функция $F$ является непрерывно дифференцируемой в окрестности точки $(x_{0},y_{0})$. В том случае строгая монотонность следует из условия $F_{y}'(x_{0},y_{0})\neq 0$, где $F_{y}'$ обозначает частную производную $F$ по $y$. Более того, в этом случае функция $f$ также является непрерывно дифференцируемой, и её производная может быть вычислена по формуле

$f'(x)=-{\frac {F_{x}'(x,f(x))}{F_{y}'(x,f(x))}}.$

Пример

Иллюстрация примера.

Рассмотрим функцию $F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$ и соответствующее уравнение

$F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0$,

которое задает на плоскости единичную окружность. Невозможно представить всю окружность в виде графика какой-либо функции $y=f(x)$. Действительно, каждому значению $x\in (-1,1)$ отвечает два разных значения $\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$. Однако можно представить часть окружности в виде графика. Например, график функции $g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$, определенной на отрезке $x\in [-1,1]$, задаёт верхнюю половину окружности, а график функции $g_{2}(x)=-g_{1}(x)$ задаёт её нижнюю половину.

Теорема о неявной функции имеет локальный характер и говорит о том, что в малой окрестности любой точки окружности, в которой выполнено условие $F_{y}(x,y)\neq 0$ часть окружности, находящаяся в этой окрестности, представима в виде графика гладкой функции. Это условие выполнено, например, в точке $A$ на рисунке. Существуют лишь две точки окружности ($B$ и диаметрально противоположная ей точка), в которых условие $F_{y}(x,y)\neq 0$ нарушено. Очевидно, что в сколь угодно малой окрестности каждой из этих точек часть окружности не представима в виде графика какой-либо функции $y=f(x)$.

Многомерный случай

Пусть $\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {R} ^{m}$ — пространства с координатами $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ и $y=(y_{1},\dots ,y_{m})$, соответственно. Рассмотрим отображение $F=(F_{1},\ldots ,F_{m}),$ $F_{i}=F_{i}(x,y),$ которое отображает некоторую окрестность $W$ точки $(x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}$ в пространство $\mathbb {R} ^{m}$.

Предположим, что отображение $F$ удовлетворяет следующим условиямː

• $F\in C^{k}(W),$ $k\geq 1,$ то есть $F$ является $k$ раз непрерывно дифференцируемым в $W,$
• $F(x_{0},y_{0})=0,$
• якобиан отображения $y\mapsto F(x_{0},y)$ не равен нулю в точке $y_{0},$ то есть определитель матрицы ${\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y_{0})$ не равен нулю.

Тогда существуют окрестности $U$ и $V$ точек $x_{0}$ и $y_{0}$ в пространствах $\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {R} ^{m}$ соответственно, причём $U\times V\subset W$, и отображение $f:U\to V,$ $f\in C^{k}(U),$ такие, что

$F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)$

для всех $x\in U$ и $y\in V$. Отображение $f$ определено однозначно.

Естественным обобщением предыдущей теоремы на случай не гладких отображений является следующая теоремаː

Предположим, что отображение $F$ удовлетворяет следующим условиямː

• $F$ является непрерывным в $W,$
• $F(x_{0},y_{0})=0,$
• существуют окрестности $U$ и $V$ точек $x_{0}$ и $y_{0}$ в пространствах $\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {R} ^{m}$ соответственно, причём $U\times V\subset W$, такие, что для каждого фиксированного $x\in U$ отображение $y\mapsto F(x,y)$ является взаимно однозначным в $V$.

Тогда существует такое непрерывное отображение $f:U\to V$, что

$F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)$

для всех $x\in U$ и $y\in V$.

См. также

• Теорема об обратной функции

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ, Любое издание
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981
• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965
• Никольский С. М. Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975
• Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974 — § 33
• Шварц Л. Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972