Протокол Фиата — Шамира

Протокол Фиата — Шамира — это один из наиболее известных протоколов идентификации с нулевым разглашением (Zero-knowledge protocol). Протокол был предложен Амосом Фиатом (англ. Amos Fiat) и Ади Шамиром (англ. Adi Shamir)

Пусть А знает некоторый секрет s. Необходимо доказать знание этого секрета некоторой стороне В без разглашения какой-либо секретной информации. Стойкость протокола основывается на сложности извлечения квадратного корня по модулю достаточно большого составного числа n, факторизация которого неизвестна.

Описание протоколa

A доказывает B знание s в течение t раундов. Раунд называют также аккредитацией. Каждая аккредитация состоит из 3х этапов.

Предварительные действия

• Доверенный центр Т выбирает и публикует модуль $n=p*q$, где p, q — простые и держатся в секрете.
• Каждый претендент A выбирает s взаимно-простое с n, где $s\in [1,n-1]$. Затем вычисляется V$=s^{2}{\pmod {n}}$. V регистрируется T в качестве открытого ключа A

Передаваемые сообщения (этапы каждой аккредитации)

• A$\Rightarrow$B : $x=r^{2}{\pmod {n}}$
• A$\Leftarrow$B : $e\in {0,1}$
• A$\Rightarrow$B : $y=r*s^{e}{\pmod {n}}$

Основные действия

Следующие действия последовательно и независимо выполняются t раз. В считает знание доказанным, если все t раундов прошли успешно.

• А выбирает случайное r , такое, что $r\in [1,n-1]$ и отсылает $x=r^{2}{\pmod {n}}$ стороне B (доказательство)
• B случайно выбирает бит e (e=0 или е=1) и отсылает его A (вызов)
• А вычисляет у и отправляет его обратно к B. Если e=0, то $y=r$, иначе $y=r*s{\pmod {n}}$ (ответ)
• Если y=0, то B отвергает доказательство или, другими словами, А не удалось доказать знание s. В противном случае, сторона B проверяет, действительно ли $y^{2}=x*v^{e}{\pmod {n}}$ и, если это так, то происходит переход к следующему раунду протокола.

Выбор е из множества {0,1} предполагает, что если сторона А действительно знает секрет, то она всегда сможет правильно ответить, вне зависимости от выбранного e. Допустим, что А хочет обмануть B. В этом случае А, может отреагировать только на конкретное значение e. Например, если А знает, что получит е=0, то А следует действовать строго по инструкции и В примет ответ. В случае, если А знает, что получит е=1, то А выбирает случайное r и отсылает $x=r^{2}/v$ на сторону В, в результате получаем нам нужное $y=r$. Проблема заключается в том, что А изначально не знает какое e он получит и поэтому не может со 100 % вероятностью выслать на сторону В нужные для обмана r и х ($x=r^{2}$ при e=0 и $x=r^{2}/v$ при e=1). Поэтому вероятность обмана в одном раунде составляет 50 %. Чтобы снизить вероятность жульничества (она равна $1/2^{t})$) t выбирают достаточно большим (t=20, t=40). Таким образом, B удостоверяется в знании А тогда и только тогда, когда все t раундов прошли успешно.

Пример

• Пусть доверенный центр выбрал простые p=683 и q=811, тогда n=683*811=553913. А выбирает s=43215.

Откуда $v=43215^{2}{\pmod {553913}}=1867536225{\pmod {553913}}=295502$

• A выбирает r=38177 и считает $x=38177^{2}{\pmod {553913}}=1457483329{\pmod {553913}}=138226$
• Если B отправил e=0, то A возвращает y=38177. Иначе, A возвращает $y=38177*43215{\pmod {553913}}=1649819055{\pmod {553913}}=266141$
• Проверка B: $y^{2}\equiv x*v^{e}{\pmod {n}}$

Если e было равно 0, то $y^{2}=38177^{2}{\pmod {553913}}=1457483329=138266$ Подтверждено.

Иначе, $y^{2}=266141^{2}{\pmod {553913}}=70831031881{\pmod {553913}}=514832$

и $x*v=138226*295502{\pmod {553913}}=40846059452{\pmod {553913}}=514832$ Подтверждено.

Литература

• Menezes A., van Oorschot P., Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography. — CRC Press, 1996. — 816 с. — ISBN 0-8493-8523-7.
• Шнайер Б. Прикладная криптография. Протоколы, алгоритмы, исходные тексты на языке Си = Applied Cryptography. Protocols, Algorithms and Source Code in C. — М.: Триумф, 2002. — 816 с. — 3000 экз. — ISBN 5-89392-055-4.