Гипотеза Била

Гипотеза Била — гипотеза в теории чисел, обобщение великой теоремы Ферма: если $A^{x}+B^{y}=C^{z}$, где $A,B,C,x,y,z\in \mathbb {N}$ и $x,y,z>2$, то $A,B,C$ имеют общий простой делитель.

Предложена в 1993 году техасским миллиардером и математиком-любителем Эндрю Билом (англ. Andrew Beal), который учредил премию за её доказательство или опровержение в 100 тыс. долларов, а в 2013 году увеличил эту премию до 1 млн долларов.

Из abc-гипотезы (чей статус спорен) следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших $z$, а из неё — доказательство Великой теоремы Ферма, поскольку гипотеза Била является обобщением великой теоремы Ферма (доказанной в 1995 году Эндрю Уайлсом).

По состоянию на 2013 год гипотеза проверена для случаев, когда значения всех шести чисел не превосходят 1000. 24 марта 2014 года запущен проект добровольных вычислений Beal@Home на платформе BOINC по поиску контрпримера путём полного перебора.

Связь с великой теоремой Ферма

При условии справедливости гипотезы теорему Ферма можно доказать от противного:

Пусть существуют натуральные числа $n>2$ и $A$, $B$, $C$ такие, что $A^{n}+B^{n}=C^{n}$. Тогда гипотеза Била для $x=y=z=n$ влечёт существование простого числа $p$, делящего каждое из чисел $A$, $B$ и $C$. Но тогда $(A/p)^{n}+(B/p)^{n}=(C/p)^{n}$, а следовательно, из любой тройки чисел, удовлетворяющей равенству $A^{n}+B^{n}=C^{n}$, можно получить другую тройку чисел, удовлетворяющую данному равенству, последнее число в которой будет меньше, чем в исходной тройке. Иными словами, в множестве натуральных чисел, чья $n$-я степень является суммой $n$-х степеней двух других натуральных чисел, нет наименьшего элемента, что невозможно. Полученное противоречие означает, что требуемых натуральных чисел $n$, $A$, $B$, $C$ не существует, то есть великая теорема Ферма доказана.

Ссылки

• The Beal Conjecture Архивная копия от 15 марта 2009 на Wayback Machine
• The Beal Conjecture and Prize Архивная копия от 20 февраля 2009 на Wayback Machine
• R. Daniel Mauldin. A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem (англ.) // Notices of the AMS : journal. — 1997. — Vol. 44, no. 11. — P. 1436—1439.
• Beal's Conjecture (англ.) на сайте PlanetMath. (недоступная ссылка с 06-06-2013 [4223 дня])
• Beal@Home Архивная копия от 13 апреля 2014 на Wayback Machine — сайт проекта добровольных вычислений по проверке гипотезы.