Спектр оператора

Спектр оператора — множество чисел, характеризующее линейный оператор. Применяется в линейной алгебре, функциональном анализе и квантовой механике.

Конечномерный случай

Пусть A — оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве E. Спектром оператора (обычно обозначается $\sigma (A)$) называется множество его собственных значений.

Квадратную матрицу порядка $n$ можно рассматривать как линейный оператор в n-мерном пространстве, что позволяет перенести на матрицы «операторные» термины. В этом случае говорят о спектре матрицы.

Общее определение

Пусть A — оператор, действующий в банаховом пространстве E над $\mathbb {C}$. Число λ называется регулярным для оператора A, если оператор $R(\lambda )=(A-\lambda I)^{-1}$, называемый резольвентой оператора A, определён на всём E и непрерывен. Множество регулярных значений оператора A называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора $\sigma (A)$. Спектр ограниченного оператора представляет собой компакт в $\mathbb {C}$ или является пустым. Спектр линейного ограниченного оператора непуст.

Внутри спектра оператора можно выделять части, не одинаковые по своим свойствам. Одной из основных классификаций спектра является следующая:

1. дискретным (точечным) спектром $\sigma _{p}(A)$ называется множество таких $\lambda$, при которых оператор $A-\lambda I$ не инъективен. Дискретный спектр является множеством всех собственных значений оператора A; в конечномерном случае присутствует только точечный спектр;
2. непрерывным спектром $\sigma _{c}(A)$ называется множество значений $\lambda$, при которых резольвента $(A-\lambda I)^{-1}$ определена на всюду плотном множестве в E, но не является непрерывной (то есть оператор $A-\lambda I$ инъективен, но не сюръективен, а его образ всюду плотен);
3. остаточным спектром $\sigma _{r}(A)$ называется множество точек спектра, не входящих ни в дискретную, ни в непрерывную части (то есть оператор $A-\lambda I$ инъективен, не сюръективен, причем его образ не является всюду плотным).

Максимум модулей точек спектра оператора A называется спектральным радиусом этого оператора и обозначается через $r(A)$. При этом выполняется равенство $r(A)=\lim _{n\to \infty }\|A^{n}\|^{1/n}$.

В комплексном случае резольвента является голоморфной операторнозначной функцией на резольвентном множестве. В частности, при $\lambda >r(A)$ она может быть разложена в ряд Лорана с центром в точке $z=0$.

Разность двух максимальных по абсолютной величине значений из спектра называется спектральной щелью (англ. spectral gap).

В квантовой механике

Спектр самосопряжённых операторов играет важную роль в квантовой механике, определяя множество возможных значений наблюдаемой при измерении. В частности, спектр гамильтониана определяет допустимые уровни энергии квантовой системы.

Непрерывный спектр в квантовой механике

Непрерывный спектр — это спектр значений физической величины, в котором в отличие от дискретного спектра значение этой величины определено для каждого собственного состояния системы, причем бесконечно малое изменение состояния системы приводит к бесконечно малому изменению физической величины. В качестве физической величины могут выступать: координата, импульс, энергия, орбитальный момент движения и т. д. Так как произвольная волновая функция $\Psi$ может быть разложена в ряд по собственным функциям величины с дискретным спектром, то она может быть также разложена и в интеграл по полной системе собственных функций величины с непрерывным спектром.

См. также

• Проектор (алгебра)
• Спектр алгебры

Литература

• Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 5 Слу — Я. — 1248 с.