Длина окружности: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории

[отпатрулированная версия]

← Предыдущая правка

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Линейный

Текущая версия от 15:43, 6 июня 2023

**Длина окружности** C с диаметром D, радиусом R и центром O. Circumference = $\pi$ × D = 2 × $\pi$ × R.

Длина окружности — это длина замкнутой плоской кривой, ограничивающей круг. Поскольку окружность является границей круга или диска, длина окружности является частным случаем периметра^[1]^[2].

Длина окружности может быть определена как предел последовательности периметров вписанных в круг правильных многоугольников при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника^[3].

Если диаметр окружности равен 1, её длина равна $\pi$ .

Если радиус окружности равен 1, её длина равна $2\pi$ .

Длина окружности и число π

Длина окружности связана с одной из самых важных математических констант — числом пи. Число пи обозначается греческой буквой пи ( $\pi$ ). Первые цифры числа в десятичной записи^[4]:

\pi =3{,}141592653589793\dots

$\pi$ определяется как отношение длины окружности $C$ к её диаметру $d$ :

\pi ={\frac {C}{d}}

Или, что эквивалентно, как отношение длины окружности к удвоенному радиусу. Формула длины окружности тогда выше принимает вид:

{C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!

Использование константы $\pi$ является повсеместным в науке и приложениях.

В книге «Измерение круга^[англ.]», написанной около 250 года до н. э., Архимед показал, что отношение ( $C/d$ (он не использовал обозначение $\pi$ ) больше 310/71, но меньше 31/7, вычислив периметры вписанного и описанного многоугольника с 96 сторонами^[5]. Этот метод аппроксимации числа $\pi$ использовался столетиями, так как имел бо́льшую точность, чем формулы многоугольников с большим числом сторон. Последнее такое вычисление производилось в 1630 году Кристофом Гринбергером^[англ.], использовавшим многоугольники с 10⁴⁰ сторонами.

См. также

Примечания

↑ Bennett, Jeffrey; Briggs, William (2005), Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (англ.) (3rd ed.), Addison-Wesley, p. 580, ISBN 978-0-321-22773-7
↑ San Diego State University. Perimeter, Area and Circumference (неопр.). Addison-Wesley (2004). Дата обращения: 6 марта 2020. Архивировано из оригинала 6 октября 2014 года.
↑ Jacobs, Harold R. (1974), Geometry (англ.), W. H. Freeman and Co., p. 565, ISBN 0-7167-0456-0
↑ Sloane, N. J. A. Sequence A000796, On-Line Encyclopedia of Integer Sequences OEIS, OEIS Foundation.{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (числовые имена: authors list) (ссылка)
↑ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (англ.) (2nd ed.), Addison-Wesley Longman, p. 109, ISBN 978-0-321-01618-8

Литература

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Дополнительные главы к учебнику 8 класса // Геометрия. — 3-е издание. — М.: Вита-Пресс, 2003.
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
- Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 стр.

Ссылки

Имеется викиучебник по теме «Circles/Arcs»

В Викисловаре есть статья «длина окружности»

[1] Bennett, Jeffrey; Briggs, William (2005), Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (англ.) (3rd ed.), Addison-Wesley, p. 580, ISBN 978-0-321-22773-7

[2] San Diego State University. Perimeter, Area and Circumference (неопр.). Addison-Wesley (2004). Дата обращения: 6 марта 2020. Архивировано из оригинала 6 октября 2014 года.

[3] Jacobs, Harold R. (1974), Geometry (англ.), W. H. Freeman and Co., p. 565, ISBN 0-7167-0456-0

[4] Sloane, N. J. A. Sequence A000796, On-Line Encyclopedia of Integer Sequences OEIS, OEIS Foundation.{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (числовые имена: authors list) (ссылка)

[5] Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (англ.) (2nd ed.), Addison-Wesley Longman, p. 109, ISBN 978-0-321-01618-8

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 [[File:Circle-withsegments.svg|thumb|'''Длина окружности''' C с диаметром  D, радиусом R и центром O. Circumference =  <math>\pi</math> × D = 2 ×  <math>\pi</math> × R.]]
-'''Длина окружности''' (от латинского ''circumferens'') — это длина замкнутой плоской кривой, ограничивающей круг. Поскольку окружность является границей круга, или диска, длина окружности является частным случаем периметра<ref>{{citation|first1=Jeffrey|last1=Bennett|first2=William|last2=Briggs|title=Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (англ.)|edition=3rd|publisher=Addison-Wesley|year=2005|isbn=978-0-321-22773-7|page=580}} </ref><ref>{{cite web | url =http://www-rohan.sdsu.edu/~pwbrock/files/UNIT9.3.pdf | title =Perimeter, Area and Circumference | author =San Diego State University | publisher =[[Addison-Wesley]] | year =2004 | archive-url =https://web.archive.org/web/20141006153741/http://www-rohan.sdsu.edu/~pwbrock/files/UNIT9.3.pdf | archive-date =2014-10-06 | author-link =San Diego State University | accessdate =2020-03-06 | archiveurl =https://web.archive.org/web/20141006153741/http://www-rohan.sdsu.edu/~pwbrock/files/UNIT9.3.pdf | archivedate =2014-10-06 | deadlink =yes }}</ref>. [[Периметр]] — общая длина границы фигуры.
+'''Длина окружности''' — это длина замкнутой плоской кривой, ограничивающей [[круг]]. Поскольку окружность является границей круга или диска, длина окружности является частным случаем периметра<ref>{{citation|first1=Jeffrey|last1=Bennett|first2=William|last2=Briggs|title=Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (англ.)|edition=3rd|publisher=Addison-Wesley|year=2005|isbn=978-0-321-22773-7|page=580}} </ref><ref>{{cite web | url =http://www-rohan.sdsu.edu/~pwbrock/files/UNIT9.3.pdf | title =Perimeter, Area and Circumference | author =San Diego State University | publisher =[[Addison-Wesley]] | year =2004 | archive-url =https://web.archive.org/web/20141006153741/http://www-rohan.sdsu.edu/~pwbrock/files/UNIT9.3.pdf | archive-date =2014-10-06 | author-link =San Diego State University | accessdate =2020-03-06 | deadlink =yes }}</ref>.
+Длина окружности  может быть определена как [[предел последовательности]] периметров вписанных в круг [[правильный многоугольник|правильных многоугольников]] при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника<ref>{{citation|first=Harold R.|last=Jacobs|title=Geometry (англ.)|year=1974|publisher=W. H. Freeman and Co.|isbn=0-7167-0456-0|page=565}}</ref>.
-== Круг ==
-Длина окружности  может быть определена как [[предел последовательности]] периметров вписанных в круг [[правильный многоугольник|правильных многоугольников]]<ref>{{citation|first=Harold R.|last=Jacobs|title=Geometry (англ.)|year=1974|publisher=W. H. Freeman and Co.|isbn=0-7167-0456-0|page=565}}</ref>. Термин длина окружности используется при измерении физических объектов,  а также, если рассматривать абстрактные геометрические формы.
 [[File:Pi-unrolled-720.gif|thumb|240px|Если [[диаметр]] окружности равен 1, её длина равна  <math>\pi</math>.]]
 [[File:2pi-unrolled.gif|thumb|240px|Если [[радиус]] окружности равен 1, её длина равна    <math>2\pi</math>.]]
-=== Длина окружности и число пи ===
+== Длина окружности и число π ==
-Длина окружности связана с одной из самых важных математических констант — числом [[Пи (число)|пи]]. [[Число пи]] обозначается [[греческий алфавит|греческой буквой]] [[Пи (буква)|пи]] (<math>\pi</math>). Первые цифры числа в десятичной записи — 3.141592653589793 ...<ref>{{citation|last=  Sloane, N. J. A. Sequence {{OEIS2C|id=A000796}}|title=[[Энциклопедия целочисленных последовательностей|On-Line Encyclopedia of Integer Sequences OEIS]]|publisher= OEIS Foundation.}}</ref> Пи определяется как [[соотношение|отношение]] длины окружности <math>C</math> к её диаметру <math>d</math>:
+Длина окружности связана с одной из самых важных математических констант — числом [[Пи (число)|пи]]. [[Число пи]] обозначается [[греческий алфавит|греческой буквой]] [[Пи (буква)|пи]] (<math>\pi</math>). Первые цифры числа в десятичной записи<ref>{{citation|last=  Sloane, N. J. A. Sequence {{OEIS2C|id=A000796}}|title=[[Энциклопедия целочисленных последовательностей|On-Line Encyclopedia of Integer Sequences OEIS]]|publisher= OEIS Foundation.}}</ref>:
+: <math>\pi = 3{,}141592653589793\dots</math>
+<math>\pi</math> определяется как [[соотношение|отношение]] длины окружности <math>C</math> к её диаметру <math>d</math>:
 :<math> \pi = \frac{C}{d}</math>
-Или, что эквивалентно, как отношение длины окружности к двум ее [[радиус]]ам. Формула выше принимает вид:
+Или, что эквивалентно, как отношение длины окружности к удвоенному [[радиус]]у. Формула длины окружности тогда выше принимает вид:
 :<math>{C}=\pi\cdot{d}=2\pi\cdot{r}.\!</math>
@@ Строка 18: / Строка 20: @@
 Использование константы <math>\pi</math> является повсеместным в науке и приложениях.
-В книге «{{нп5|Измерение круга|Измерение круга|en|Measurement of a Circle}}», написанной около 250 до н.э., [[Архимед]] показал, что это отношение (<math>C/d</math>, поскольку он не использовал обозначение <math>\pi</math>) больше 3{{sfrac|10|71}}, но меньше 3{{sfrac|1|7}}, вычислив периметры вписанного и описанного многоугольника с 96 сторонами<ref>{{citation|first=Victor J.|last=Katz|title=A History of Mathematics / An Introduction (англ.)|edition=2nd|year=1998|publisher=Addison-Wesley Longman|isbn=978-0-321-01618-8|page=[https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/109 109]|url-access=registration|url=https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/109}}</ref>. Этот метод аппроксимации числа <math>\pi</math> использовался столетиями, так как имел большую точность, нежели формулы многоугольников с большим числом сторон. Последнее такое вычисление производилось в 1630 году {{iw|Гринбергер, Кристоф|Кристоф Гринбергер|en|Christoph Grienberger}}, использовавшим многоугольники с 10<sup>40</sup> сторонами.
+В книге «{{нп5|Измерение круга|Измерение круга|en|Measurement of a Circle}}», написанной около 250 года {{донэ}}, [[Архимед]] показал, что отношение (<math>C/d</math> (он не использовал обозначение <math>\pi</math>) больше 3{{sfrac|10|71}}, но меньше 3{{sfrac|1|7}}, вычислив периметры вписанного и описанного многоугольника с 96 сторонами<ref>{{citation|first=Victor J.|last=Katz|title=A History of Mathematics / An Introduction (англ.)|edition=2nd|year=1998|publisher=Addison-Wesley Longman|isbn=978-0-321-01618-8|page=[https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/109 109]|url-access=registration|url=https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/109}}</ref>. Этот метод аппроксимации числа <math>\pi</math> использовался столетиями, так как имел бо́льшую точность, чем формулы многоугольников с большим числом сторон. Последнее такое вычисление производилось в 1630 году {{iw|Гринбергер, Кристоф|Кристофом Гринбергером|en|Christoph Grienberger}}, использовавшим многоугольники с 10<sup>40</sup> сторонами.
-== Эллипс ==
-Нет общей формулы для вычисления длины границы эллипса через большие и малые полуоси эллипса, которая бы использовала только элементарные функции. Однако, есть приближённые формулы, в которых фигурируют эти параметры. Одно из приближений получено Эйлером (1773); периметр эллипса, записанного каноническим уравнением:
-:<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,</math>
-приблизительно равен
-:<math>C_{\rm{ellipse}} \sim \pi \sqrt{2(a^2 + b^2)}</math>
-Нижние и верхние границы периметра канонического эллипса при <math>a\geq b</math> <ref>{{статья |заглавие=Inequalities for the perimeter of an ellipse (англ.) |издание={{Нп3|The Mathematical Gazette|Mathematical Gazette|en|The Mathematical Gazette}} |том= 98 |номер=499 |страницы=227—234 |doi=10.2307/3621497 |jstor=3621497 |язык=en |тип=journal |автор=Jameson, G.J.O. |год=2014}}</ref>.
-:<math>2\pi b \leqslant C \leqslant 2\pi a,</math>
-:<math>\pi (a+b)\leqslant C\leqslant 4(a+b),</math>
-:<math>4\sqrt{a^2+b^2}\leqslant C \leqslant \pi \sqrt{2(a^2+b^2)} .</math>
-Здесь верхняя граница <math>2\pi a</math> — длина описанной концентричной окружности, проходящего через концевые точки больших осей эллипса, а нижняя граница <math>4\sqrt{a^2+b^2}</math> — периметр вписанного [[ромб]]а, [[вершина (геометрия)|вершины]] которого — концы больших и малых осей.
-Периметр эллипса может быть описан с помощью [[эллиптический интеграл|полного эллиптического интеграла второго рода]]<ref>{{citation|first1=Gert|last1=Almkvist|first2=Bruce|last2=Berndt|title=Gauss, Landen, Ramanujan, the arithmetic-geometric mean, ellipses,  pi, and the Ladies Diary (англ.)|journal=American Mathematical Monthly|year=1988|pages=585–608|volume=95|issue=7|mr=966232|doi=10.2307/2323302|jstor=2323302|url=https://semanticscholar.org/paper/8e3c462f5eb920fe178985f159cdfee815b59c52}}</ref>. Более точно:
-:<math>C_{\rm{ellipse}} = 4a\int_0^{\pi/2}\sqrt {1 - e^2 \sin^2\theta}\ d\theta,</math>
-где <math>a</math> — длина большой полуоси и <math>e</math> — эксцентриситет <math>\sqrt{1 - b^2/a^2}.</math>
 == См. также ==
 * [[Длина дуги]]
 * [[Изопериметрическое неравенство]]
-* [[Эллипс]]
 == Примечания ==
@@ Строка 58: / Строка 40: @@
 {{wikibooks|Geometry|Circles/Arcs|Arcs}}
 {{Wiktionary|длина окружности}}
-* [http://www.numericana.com/answer/ellipse.htm#elliptic Numericana - Circumference of an ellipse]
 [[Категория:Окружности]]

Длина окружности: различия между версиями

Текущая версия от 15:43, 6 июня 2023

Содержание

Длина окружности и число π

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Навигация

Длина окружности: различия между версиями

Текущая версия от 15:43, 6 июня 2023

Длина окружности и число π

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Навигация

Поиск