Единичная матрица: различия между версиями

[непроверенная версия]

[отпатрулированная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Текущая версия от 09:01, 5 июля 2023

Едини́чная ма́трица — квадратная матрица $E_{n}=(e_{ij})$ размера (порядка) $n$ , элементы главной диагонали которой равны единице поля ( $e_{ii}=1$ ), а остальные равны нулю ( $e_{ij}=0$ при $i\neq j$ )^[1].

Единичную матрицу можно также определить как матрицу $(e_{ij})$ , у которой $e_{ij}=\delta _{ij}$ , где $\delta _{ij}$ — символ Кронекера^[1].

Единичная матрица является частным случаем скалярной матрицы.

Произведение любой матрицы и единичной матрицы подходящего размера равно самой матрице^[1]: $AE=EA=A$ . Квадратная матрица в нулевой степени даёт единичную матрицу того же размера^[1]: $A^{0}=E$ . При умножении матрицы на обратную ей, тоже получается единичная матрица^[2]: $AA^{-1}=A^{-1}A=E$ . Единичная матрица получается при умножении ортогональной матрицы на её транспонированную матрицу^[3]: $AA^{T}=E$ . Определитель единичной матрицы равен единице: $\mathrm {det} \,E=1$ .

Единичные матрицы первых трёх порядков:

E_{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}},\ E_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\ E_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

Примечания

↑ ¹ ² ³ ⁴ Гантмахер, 1966, с. 24.
↑ Гантмахер, 1966, с. 27.
↑ Гантмахер, 1966, с. 238.

Литература

Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд., доп.. — М.: Наука, 1966. — 576 с.

[_8551ead8cc1f2d9c-1] ¹ ² ³ ⁴ Гантмахер, 1966, с. 24.

[_8551ead8cc1f2d9f-2] Гантмахер, 1966, с. 27.

[_a95fa962d8fa7e59-3] Гантмахер, 1966, с. 238.

[1]

[2]

[3]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Едини́чная ма́трица''' — [[Матрица (математика)#Квадратная матрица и смежные определения|квадратная матрица]], элементы [[главная диагональ|главной диагонали]] которой равны единице [[поле (алгебра)|поля]], а остальные равны нулю.
+'''Едини́чная ма́трица''' — [[квадратная матрица]] <math>E_n=(e_{ij})</math> размера (порядка) <math>n</math>, элементы [[главная диагональ|главной диагонали]] которой равны единице [[поле (алгебра)|поля]] (<math>e_{ii}=1</math>), а остальные равны нулю (<math>e_{ij}=0</math> при <math>i\ne j</math>){{sfn|Гантмахер|1966|с=24}}.
+Единичную матрицу можно также определить как матрицу <math>(e_{ij})</math>, у которой <math>e_{ij}=\delta_{ij}</math>, где <math>\delta_{ij}</math> — [[символ Кронекера]]{{sfn|Гантмахер|1966|с=24}}.
-== Определение ==
-Квадратная матрица <math>E_n=(e_{ij})</math> размера (порядка <math>n</math>), где <math>e_{ii}=1</math> для всякого <math>i\in\overline{1,n}</math>, и <math>e_{ij}=0</math> для всяких <math>i\ne j</math>, называется единичной матрицей порядка <math>n</math>.
-Единичную матрицу можно определить как матрицу <math>(e_{ij})</math>, у которой <math>e_{ij}=\delta_{ij}</math>, где <math>\delta_{ij}</math> - [[символ Кронекера]].
 Единичная матрица является частным случаем [[Скалярная матрица|скалярной матрицы]].
+Произведение любой [[Матрица (математика)|матрицы]] и единичной матрицы подходящего размера равно самой матрице{{sfn|Гантмахер|1966|с=24}}: <math>A E = E A = A</math>. Квадратная матрица в нулевой степени даёт единичную матрицу того же размера{{sfn|Гантмахер|1966|с=24}}: <math>A^0 = E</math>. При умножении матрицы на [[Обратная матрица|обратную]] ей, тоже получается единичная матрица{{sfn|Гантмахер|1966|с=27}}: <math>A A^{-1} = A^{-1} A = E</math>. Единичная матрица получается при умножении [[Ортогональная матрица|ортогональной матрицы]] на её транспонированную матрицу{{sfn|Гантмахер|1966|с=238}}: <math>A A^T = E</math>. [[Определитель]] единичной матрицы равен единице: <math>\mathrm{det}\,E=1</math>.
-== Обозначение ==
+Единичные матрицы первых трёх порядков:
-Единичная матрица размера <math>n\times n</math> обычно обозначается <math>E_n</math> и имеет вид:
-: <math>E_n=\begin{bmatrix}
-& 0 & \cdots & 0\\
-& 1 & \cdots & 0\\
-\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
-& 0 &\cdots & 1
-\end{bmatrix},</math>
-Так же используется и другое обозначение: <math>I_n</math>.
-<small>Если из контекста ясно, какого размера матрица, то нижний индекс (указывающий порядок) опускается: <math>E</math>, <math>I</math>.</small>
-== Свойства ==
-* Произведение любой [[Матрица (математика)|матрицы]] и единичной матрицы подходящего размера равно самой матрице:
-: <math>A E = E A = A</math>
-* [[Квадратная матрица#Квадратная матрица и смежные определения|Квадратная матрица]] в нулевой степени дает единичную матрицу того же размера:
-:<math>A^0 = E</math>
-* При умножении матрицы на [[Обратная матрица|обратную]] ей тоже получается единичная матрица:
-: <math>\! A A^{-1} = E</math>
-* Единичная матрица получается при умножении [[Ортогональная матрица|ортогональной матрицы]] на её транспонированную матрицу:
-: <math>A A^T = E</math>
-* [[Определитель]] единичной матрицы равен единице:
-:<math>\mathrm{det}\,E=1</math>.
-== Примеры ==
-Единичные матрицы первых порядков имеют вид
 : <math>
 E_1 = \begin{pmatrix}
@@ Строка 52: / Строка 22: @@
 </math>
-== Замечание ==
+== Примечания ==
+{{примечания}}
-Если взять две матрицы - матрицу <math>A</math> и единичную <math>E</math>, то приведением матрицы <math>A</math> к треугольной [[Метод Гаусса|методом Гаусса]] можно добиться одновременного приведения матрицы <math>E</math> к матрице <math>A^{-1}</math>. Для этого необходимо производить над единичной матрицей те же преобразования, какие производятся при приведении <math>A</math> к треугольной. Матрица, полученная из единичной матрицы <math>E</math> будет равна <math>A^{-1}</math>.
 == Литература ==
+* {{книга |заглавие=Теория матриц |автор={{автор|Гантмахер, Феликс Рувимович|Гантмахер, Ф. Р.}} |издание=2-е изд., доп. |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |место=М. |год=1966 |страниц=576 |ref=Гантмахер }}
-* См. [[список литературы по линейной алгебре]]
-== См. также ==
-* [[Нулевая матрица]]
-{{math-stub}}
-{{rq|source|topic=math}}
 {{Векторы и матрицы}}
 [[Категория:Типы матриц]]

Единичная матрица: различия между версиями

Текущая версия от 09:01, 5 июля 2023

Примечания

Литература

Навигация

Поиск