Упорядоченная пара: различия между версиями

[отпатрулированная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Текущая версия от 21:43, 3 августа 2023

Упорядоченная пара $(a,b)$ — запись, указывающая на два объекта $a$ и $b$ , и фиксирующая порядок, в котором они указаны^[1]. Системы оснований математики, например теория множеств, позволяют дать формальное определение➤. На основе понятия упорядоченной пары можно построить обобщающее его понятие упорядоченного набора — кортежа.

Определение

Если заданы два элемента $a$ и $b$ , то множество $\{\{a\},\{a,\;b\}\}$ называется упорядоченной парой и обозначается $(a,\;b)$ . При этом элемент $a$ называется первым элементом, а элемент $b$ — вторым элементом пары^[2].

В формальной математике первый элемент упорядоченной пары $A=(a,\;b)$ называется также первой координатой или первой проекцией и обозначается $\mathrm {pr} _{1}A$ . Аналогично второй элемент пары $A$ называется второй координатой или второй проекцией и обозначается $\mathrm {pr} _{2}A$ ^[3].

Литература

↑ Wolf, Robert S. (1998), Proof, Logic, and Conjecture / The Mathematician's Toolbox, W. H. Freeman and Co., p. 164, ISBN 978-0-7167-3050-7
↑ Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — М.: Мир, 1970. — С. 67. — 416 с.
↑ Бурбаки, Н. Теория множеств / Пер. с франц. — М.: Мир, 1965. — С. 82. — 457 с.

[Wolf-1] Wolf, Robert S. (1998), Proof, Logic, and Conjecture / The Mathematician's Toolbox, W. H. Freeman and Co., p. 164, ISBN 978-0-7167-3050-7

[2] Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — М.: Мир, 1970. — С. 67. — 416 с.

[3] Бурбаки, Н. Теория множеств / Пер. с франц. — М.: Мир, 1965. — С. 82. — 457 с.

[1]

[2]

[3]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{Другие значения|Пара}}
+'''Упорядоченная пара''' <math>(a,b)</math> — запись, указывающая на два объекта <math>a</math> и <math>b</math>, и фиксирующая порядок, в котором они указаны<ref name=Wolf>{{citation|first=Robert S.|last=Wolf|title=Proof, Logic, and Conjecture / The Mathematician's Toolbox|publisher=W. H. Freeman and Co.|year=1998|isbn=978-0-7167-3050-7|page=164}}</ref>. Системы [[Основания математики|оснований математики]], например [[теория множеств]], позволяют дать формальное определение{{Переход|Определение}}. На основе понятия упорядоченной пары можно построить обобщающее его понятие упорядоченного набора — [[Кортеж (математика)|кортежа]].
-'''Пара''' в [[Математика|математике]] может быть определена с различных точек зрения.
-== Определение пары в формальной математике ==
+== Определение ==
+Если заданы два элемента <math>a</math> и <math>b</math>, то множество <math>\{\{a\}, \{a,\;b\}\}</math> называется '''упорядоченной парой''' и обозначается <math>(a,\;b)</math>. При этом элемент <math>a</math> называется '''первым элементом''', а элемент <math>b</math> — '''вторым элементом''' пары<ref>{{книга|автор=Куратовский К., Мостовский А.|заглавие=Теория множеств|ссылка=https://archive.org/details/libgen_00003486|место={{М.}}|издательство=Мир|год=1970|страниц=416|страницы=[https://archive.org/details/libgen_00003486/page/n66 67]}}</ref>.
-Пусть <math>\mathbf T</math> и <math>\mathbf U</math> — [[Терм (логика)|термы]] и <math>\complement</math> — [[субстантивный знак]] веса 2, тогда знакосочетание <math>\complement TU</math> также является термом и обозначается <math>(\mathbf{TU})</math>. Подробнее: соотношение <math>(\exists x)(\exists y)(z=(x,\;y))</math> обозначают словами «<math>z</math> есть ''пара''».
-Имеет место так называемая ''аксиома пары''.
-=== Аксиома пары ===
-: <math>\forall x\forall y\forall x'\forall y' ((x,\;y)=(x',\;y')\to x=x'\land y=y').</math>
-== Определение пары в теории множеств ==
-{{also|Теория множеств}}
-Число элементов [[Множество|множества]] <math>A</math> равно 1, или <math>A</math> состоит из одного элемента <math>a</math>, тогда и только тогда, когда при вычитании из него множества <math>\{a\}</math> получается [[пустое множество]]: <math>A\setminus\{a\}=\varnothing</math>.
-[[Непустое множество]] <math>A</math> называется множеством из двух элементов, или '''парой''': <math>A=\{a,\;b\}</math>, если после вычитания из него множества, состоящего только из одного элемента <math>a\in A</math>, останется множество, которое состоит также из одного элемента <math>b \in A</math>. При таком определении пары (как и вообще множества, состоящего из любого числа элементов) не зависит от выбора и порядка следования указанного элемента <math>a\in A</math><ref>{{книга|заглавие=[[Математическая энциклопедия]]|ответственный=Под ред. И. М. Виноградова|место={{М.}}|издательство=Мир|год=1985|том=5|страницы=713|страниц=1060}}</ref>.
-== Упорядоченная пара ==
-{{main|Кортеж (математика)}}
-Если задана пара <math>\{a,\;b\}</math>, то множество <math>\{\{a\}, \{a,\;b\}\}</math> называется '''упорядоченной парой''' и обозначается <math>(a,\;b)</math>. При этом элемент <math>a</math> называется '''первым элементом''', а элемент <math>b</math> — '''вторым элементом''' пары<ref>{{книга|автор=Куратовский К., Мостовский А.|заглавие=Теория множеств|ссылка=https://archive.org/details/libgen_00003486|место={{М.}}|издательство=Мир|год=1970|страниц=416|страницы=[https://archive.org/details/libgen_00003486/page/n66 67]}}</ref>.
 В формальной математике первый элемент упорядоченной пары <math>A=(a,\;b)</math> называется также '''первой координатой''' или '''первой проекцией''' и обозначается <math>\mathrm{pr}_1 A</math>. Аналогично второй элемент пары <math>A</math> называется '''второй координатой''' или '''второй проекцией''' и обозначается <math>\mathrm{pr}_2 A</math><ref>{{книга|автор=Бурбаки, Н.|заглавие=Теория множеств|ответственный=Пер. с франц|место={{М.}}|издательство=Мир|год=1965|страниц=457|страницы=82}}</ref>.
@@ Строка 28: / Строка 12: @@
 {{math-stub}}
+{{ВС}}
+{{Теория множеств}}
 [[Категория:Теория множеств]]
-[[Категория:2 (число)]]

Ссылки на внешние ресурсы
Тематические сайты	MathWorld nLab
Словари и энциклопедии	Britannica (онлайн)

Теория множеств
Основные понятия	Множество Функция Кардинальное число Порядковое число Класс Конгломерат^[англ.] Урэлемент
Подходы	Содержательный Аксиоматический
Аксиомы	Объёмности Пары Степени Объединения Бесконечности Регулярности Выбора счётного зависимого глобального Конструктивности^[англ.] Детерминированности Присоединения^[англ.] Ограничения размера^[англ.] Мартина
Схемы аксиом	Свёртывания Выделения Преобразования
Операции	Объединение Пересечение Множество всех подмножеств Разность Симметрическая разность Прямое произведение Дизъюнктное объединение
Концепции Методы	Неупорядоченная пара Упорядоченная пара Кортеж Мощность Порядковый тип Диагональный аргумент Конструктивный универсум Континуум-гипотеза Семейство Биекция Форма записи множества Трансфинитная индукция Диаграмма Венна
Типы множеств	Аморфное^[англ.] Счётное Пустое Конечное (Наследственное^[англ.]) Фильтр^[англ.] Ультрафильтр^[англ.] Нечёткое Бесконечное (Бесконечное множество Дедекинда^[англ.]) Разрешимое Синглетон Подмножество Транзитивное Несчётное Универсальное
Теории	Альтернативная^[англ.] Аксиоматическая Наивная Теорема Кантора Теория множеств Цермело^[англ.] Общая теория множеств^[англ.] Principia Mathematica Новые Основы^[англ.] Цермело — Френкеля фон Неймана — Бернайса — Гёделя Морса – Келли^[англ.] Крипке – Платека^[англ.] Тарского – Гротендика^[англ.]
Парадоксы Проблемы	Парадокс Рассела Проблема Суслина^[англ.] Парадокс Бурали-Форти
Теоретики множеств	Абрахам Френкель Бертран Рассел Эрнст Цермело Георг Кантор Джон фон Нейман Курт Гёдель Пауль Бернайс Пол Джозеф Коэн Рихард Дедекинд Туральф Скулем Уиллард Ван Орман Куайн

Упорядоченная пара: различия между версиями

Текущая версия от 21:43, 3 августа 2023

Определение

Литература

Навигация

Поиск