Предел последовательности: различия между версиями

[отпатрулированная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Текущая версия от 02:30, 9 августа 2023

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

С ростом значения n значение функции n sin(1/n) приближается к 1. Говорят, что «предел последовательности n sin(1/n) равен 1».

В математике пределом последовательности элементов метрического пространства или топологического пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать» элементы заданной последовательности. Пределом последовательности элементов топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. В метрическом пространстве окрестности определяются через функцию расстояния, поэтому понятие предела формулируется на языке расстояний. Исторически первым было понятие предела числовой последовательности, возникающее в математическом анализе, где оно служит основанием для системы приближений и широко используется при построении дифференциального и интегрального исчислений.

Обозначение: $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$

(читается: предел последовательности икс энное при эн, стремящемся к бесконечности, равен a^[1]^[2])

Свойство последовательности иметь предел называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится; в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. В хаусдорфовом пространстве и, в частности, метрическом пространстве^[3], каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности элементов хаусдорфова пространства не может быть двух различных пределов. Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из любой последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство обладает свойством секвенциальной компактности (или просто компактности, если компактность определяется исключительно в терминах последовательностей).

В топологических пространствах, удовлетворяющих первой аксиоме счётности, понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием предельной точки (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке. Для произвольных топологических пространств такой последовательности может не существовать.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $T$ и последовательность $\{x_{n}\}.$ Тогда, если существует элемент $x\in T$ такой, что

\forall {\text{ }}U(x){\text{ }}\exists N:{\text{ }}\forall {\text{ }}n{\text{ }},n>N{\text{ }}\Rightarrow x_{n}\in U(x)

,

где $U(x)$ — открытое множество, содержащее $x$ , то $x$ называется пределом последовательности $x_{n}$ . Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент $x\in T$ такой, что

\forall {\text{ }}\varepsilon >0{\text{ }}\exists N:{\text{ }}\forall {\text{ }}n,n>N{\text{ }}\Rightarrow d(x_{n},x)<\varepsilon

,

где $d(x,y)$ — метрика, то $x$ называется пределом $x_{n}$ .

Примеры

Если пространство снабжено антидискретной топологией, то пределом любой последовательности будет любой элемент пространства.

Вариации и обобщения

Предел произвольной подпоследовательности называется частичным пределом последовательности.

См. также

Примечания

↑ «Знак „lim“ составляет собой первые три буквы латинского слова limes — предел, граница; но читать его следует по-русски: „предел“» (Хинчин А. Я. Краткий курс математического анализа. — М.: ГИТТЛ, 1953. — С. 38. — 624 с.)
↑ «Эта запись читается так: „предел $x_{n}$ при $n$ , стремящемся к бесконечности, равен $a$ “» (Шипачев В. С. Основы высшей математики / Под ред. акад. А. Н. Тихонова. — М.: Высшая школа, 1989. — С. 121. — 479 с. — ISBN 5-06-000048-6.)
↑ Каждое метрическое пространство является автоматически и хаусдорфовым.

[1] «Знак „lim“ составляет собой первые три буквы латинского слова limes — предел, граница; но читать его следует по-русски: „предел“» (Хинчин А. Я. Краткий курс математического анализа. — М.: ГИТТЛ, 1953. — С. 38. — 624 с.)

[2] «Эта запись читается так: „предел $x_{n}$ при $n$ , стремящемся к бесконечности, равен $a$ “» (Шипачев В. С. Основы высшей математики / Под ред. акад. А. Н. Тихонова. — М.: Высшая школа, 1989. — С. 121. — 479 с. — ISBN 5-06-000048-6.)

[3] Каждое метрическое пространство является автоматически и хаусдорфовым.

[1]

[2]

[3]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+{{Значения|Предел}}
 <div class="thumb tright">
 <div class="thumbinner" style="width:252px;">
-<div  style="width:240px; font-family:arial; font-size:12px; font-weight:bold; background:#fff;">
+<div style="width:240px; font-family:arial; font-size:12px; font-weight:bold; background:#fff;">
 {| class="wikitable" style="width:100%;"
 |-
@@ Строка 26: / Строка 27: @@
 <!-- [[последовательность|последовательности]]-->
+В [[математика|математике]] '''пределом последовательности''' элементов [[Метрическое пространство|метрического пространства]] или [[Топологическое пространство|топологического пространства]] называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать» элементы заданной последовательности. Пределом последовательности элементов [[Топологическое пространство|топологического пространства]] является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. В [[Метрическое пространство|метрическом пространстве]] окрестности определяются через [[Метрика (метрическая геометрия)|функцию расстояния]], поэтому понятие предела формулируется на языке расстояний. Исторически первым было понятие [[Предел числовой последовательности|предела числовой последовательности]], возникающее в [[Математический анализ|математическом анализе]], где оно служит основанием для системы приближений и широко используется при построении [[Дифференциальное исчисление|дифференциального]] и [[Интегральное исчисление|интегрального]] исчислений.
-{{Значения|Предел}}
-В [[математика|математике]] '''пределом последовательности''' элементов [[Метрическое пространство|метрического пространства]] или [[Топологическое пространство|топологического пространства]] называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать» элементы заданной последовательности. Пределом последовательности элементов [[Топологическое пространство|топологического пространства]] является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. В [[Метрическое пространство|метрическом пространстве]] окрестности определяются через [[Метрика (математика)|функцию расстояния]], поэтому понятие предела формулируется на языке расстояний. Исторически первым было понятие [[Предел числовой последовательности|предела числовой последовательности]], возникающее в [[Математический анализ|математическом анализе]], где оно служит основанием для системы приближений и широко используется при построении [[Дифференциальное исчисление|дифференциального]] и [[Интегральное  исчисление|интегрального]] исчислений.
 Обозначение:
@@ Строка 34: / Строка 34: @@
 (читается: ''предел последовательности икс энное при эн, стремящемся к бесконечности, равен a''<ref>«Знак „lim“ составляет собой первые три буквы латинского слова limes — предел, граница; но читать его следует по-русски: „предел“» ({{книга|автор=[[Хинчин, Александр Яковлевич|Хинчин А. Я.]]|заглавие=Краткий курс математического анализа|ссылка= |место=М.|издательство=[[Физматлит|ГИТТЛ]]|год=1953|страниц=624|страницы=38}})</ref><ref>«Эта запись читается так: „предел <math>x_n</math> при <math>n</math>, стремящемся к бесконечности, равен <math>a</math>“» ({{книга|автор=Шипачев В. С.|заглавие=Основы высшей математики|ответственный=Под ред. акад. [[Тихонов, Андрей Николаевич|А. Н. Тихонова]]|ссылка= |место=М.|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год=1989|страниц=479|страницы=121|isbn=5-06-000048-6}})</ref>)
-Свойство последовательности иметь предел называют '''''сходимостью''''': если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность ''сходится''; в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность ''расходится''. В [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфовом пространстве]] и, в частности, [[Метрическое пространство|метрическом пространстве]]<ref>Каждое метрическое пространство является  автоматически и хаусдорфовым.</ref>, каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности элементов [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфово пространства]] не может быть двух различных пределов. Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из любой последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство обладает свойством [[Компактное пространство|секвенциальной компактности]] (или просто компактности, если компактность определяется исключительно в терминах последовательностей).
+Свойство последовательности иметь предел называют '''''сходимостью''''': если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность ''сходится''; в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность ''расходится''. В [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфовом пространстве]] и, в частности, [[Метрическое пространство|метрическом пространстве]]<ref>Каждое метрическое пространство является автоматически и хаусдорфовым.</ref>, каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности элементов [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфова пространства]] не может быть двух различных пределов. Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из любой последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство обладает свойством [[Компактное пространство|секвенциальной компактности]] (или просто компактности, если компактность определяется исключительно в терминах последовательностей).
 В топологических пространствах, удовлетворяющих [[Первая аксиома счётности|первой аксиоме счётности]], понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием [[Предельная точка|предельной точки]] (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке. Для произвольных топологических пространств такой последовательности может не существовать. <!-- Таким образом, у последовательности может быть несколько предельных точек, но, если последовательность сходится, то все предельные точки совпадают друг с другом и совпадают с пределом самой последовательности.-->
@@ Строка 41: / Строка 41: @@
 Пусть дано [[топологическое пространство]] <math>T </math> и последовательность <math>\{x_n\}.</math> Тогда, если существует элемент <math>x \in T</math> такой, что
-: <math>\forall U(x) \exists N: \forall n (n > N) \Rightarrow x_n \in U(x)</math>,
+: <math>\forall \text{ } U(x) \text{ } \exists N: \text{ } \forall \text{ } n \text{ }, n > N \text{ } \Rightarrow x_n \in U(x)</math>,
-где <math>U(x) </math> — открытое множество, содержащее <math>x </math>, то он называется пределом последовательности <math>x_n </math>. Если пространство является [[метрическое пространство|метрическим]], то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент <math>x \in T</math> такой, что
+где <math>U(x) </math> — открытое множество, содержащее <math>x</math>, то <math>x</math> называется пределом последовательности <math>x_n </math>. Если пространство является [[метрическое пространство|метрическим]], то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент <math>x \in T</math> такой, что
-: <math>\forall \varepsilon > 0  \exists N: \forall n (n > N) \Rightarrow d(x_n, x) < \varepsilon</math>,
+: <math>\forall \text{ } \varepsilon > 0 \text{ } \exists N: \text{ }  \forall \text{ } n, n > N \text{ }  \Rightarrow d(x_n, x) < \varepsilon</math>,
-где <math>d(x,y) </math> — метрика, то <math>x </math> называется пределом <math>x_n </math>.
+где <math>d(x,y) </math> — метрика, то <math>x</math> называется пределом <math>x_n </math>.
 == Примеры ==
 * Если пространство снабжено [[антидискретная топология|антидискретной топологией]], то пределом любой последовательности будет любой элемент пространства.
+== Вариации и обобщения ==
+* Предел произвольной подпоследовательности называется [[Частичный предел последовательности|частичным пределом]] последовательности.
 == См. также ==

Предел последовательности: различия между версиями

Текущая версия от 02:30, 9 августа 2023

Содержание

Определение

Примеры

Вариации и обобщения

См. также

Примечания

Навигация

Предел последовательности: различия между версиями

Текущая версия от 02:30, 9 августа 2023

Определение

Примеры

Вариации и обобщения

См. также

Примечания

Навигация

Поиск