Фундаментальная группа: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
PYSmirnov (обсуждение | вклад) →Примеры: два важных примера |
PYSmirnov (обсуждение | вклад) мНет описания правки |
||
(не показана 21 промежуточная версия 5 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{не путать|Фундаментальная группа (дифференциальная геометрия)|фундаментальной группой в дифференциальной геометрии}} |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
'''Фундамента́льная гру́ппа''' — одна из простейших конструкций в [[Алгебраическая топология|алгебраической топологии]]. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
Фундаментальная группа пространства <math>X</math> с отмеченной точкой <math>x_0</math> обычно обозначается <math>\pi_1(X,x_0)</math> или <math>\pi_1(X)</math>, последнее обозначение применимо для связных пространств. |
|||
Тривиальность фундаментальной группы обычно записывается как <math>\pi_1(X)=0</math>, хотя обозначение <math>\pi_1(X)=\{1\}</math> более уместно. |
|||
== Определение == |
== Определение == |
||
Строка 8: | Строка 14: | ||
<math>f\colon [0,1] \to X</math>, таких что <math>f(0) = x_0 = f(1)</math>. |
<math>f\colon [0,1] \to X</math>, таких что <math>f(0) = x_0 = f(1)</math>. |
||
Две петли <math>f</math> и <math>g</math> считаются эквивалентными, если они [[Гомотопия|гомотопны]] друг другу в классе петель, то есть найдется соединяющая их гомотопия <math>f_t</math>, удовлетворяющая свойству <math>f_t(0) = x_0 = f_t(1)</math>. |
Две петли <math>f</math> и <math>g</math> считаются эквивалентными, если они [[Гомотопия|гомотопны]] друг другу в классе петель, то есть найдется соединяющая их гомотопия <math>f_t</math>, удовлетворяющая свойству <math>f_t(0) = x_0 = f_t(1)</math>. |
||
Соответствующие [[класс эквивалентности|классы эквивалентности]] (обозначаются <math>[f]</math>) называются ''гомотопическими классами''. |
Соответствующие [[класс эквивалентности|классы эквивалентности]] (обозначаются <math>[f]</math>) называются ''гомотопическими классами''. |
||
Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением: |
|||
: <math>(f*g)(t) = \begin{cases} |
: <math>(f*g)(t) = \begin{cases} |
||
f(2t), ~ t\in [0, {1 \over 2}] \\ |
f(2t), ~ t\in [0, {1 \over 2}] \\ |
||
Строка 16: | Строка 22: | ||
</math> |
</math> |
||
Произведением двух гомотопических классов <math>[f]</math> и <math>[g]</math> называется гомотопический класс <math>[f*g]</math> произведения петель. |
Произведением двух гомотопических классов <math>[f]</math> и <math>[g]</math> называется гомотопический класс <math>[f*g]</math> произведения петель. |
||
Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах. |
|||
Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится [[группа (математика)|группой]]. |
|||
Эта группа и называется ''фундаментальной группой'' пространства <math>X</math> с отмеченной точкой <math>x_0</math> и обозначается <math>\pi_1(X,x_0)</math>. |
|||
== Комментарии == |
== Комментарии == |
||
* Про <math>(X,x_0)</math> можно думать как о [[пара пространств|паре пространств]] |
* Про <math>(X,x_0)</math> можно думать как о [[пара пространств|паре пространств]] <math>(X,\{x_0\})</math>. |
||
* Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении. |
* Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении. |
||
* Если <math>X</math> — [[линейно связное пространство]], то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать <math>\pi_1(X)</math> вместо <math>\pi_1(X,x_0)</math> не боясь вызвать путаницу. Однако для двух точек <math>x, y \in X</math> канонический изоморфизм между <math>\pi_1(X, x)</math> и <math>\pi_1(X, y)</math> существует лишь если фундаментальная группа абелева. |
* Если <math>X</math> — [[линейно связное пространство]], то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать <math>\pi_1(X)</math> вместо <math>\pi_1(X,x_0)</math> не боясь вызвать путаницу. Однако для двух точек <math>x, y \in X</math> канонический изоморфизм между <math>\pi_1(X, x)</math> и <math>\pi_1(X, y)</math> существует лишь если фундаментальная группа абелева. |
||
== Связанные определения == |
== Связанные определения == |
||
⚫ | * Каждое непрерывное отображение пунктированных пространств <math>\varphi: (X, x_0) \to (Y, \varphi(x_0))</math> индуцирует гомоморфизм <math>\varphi_* = \pi_1 \varphi: \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, \varphi(x_0))</math>, определяемый формулой <math>\varphi_*[f] = [\varphi f]</math>. Таким образом, взятие фундаментальной группы вместе с описанной операцией образует [[Функтор (математика)|функтор]] <math>\pi_1: \mathbf{hTop} \to \mathbf{Grp}</math>. |
||
⚫ | * Каждое непрерывное отображение пунктированных пространств <math>\varphi: (X, x_0) \to (Y, \varphi(x_0))</math> индуцирует |
||
* Пространство <math>X</math> называется [[Односвязное пространство|односвязным]], если оно [[линейно связное пространство|линейно связно]] и группа <math>\pi_1(X)</math> тривиальна (состоит только из единицы). |
* Пространство <math>X</math> называется [[Односвязное пространство|односвязным]], если оно [[линейно связное пространство|линейно связно]] и группа <math>\pi_1(X)</math> тривиальна (состоит только из единицы). |
||
== Примеры == |
== Примеры == |
||
* В <math>\R^n</math> есть только один гомотопический класс петель. Следовательно, фундаментальная группа тривиальна, <math>\pi_1(\mathbb{R}^n) = |
* В <math>\R^n</math> есть только один гомотопический класс петель. Следовательно, фундаментальная группа тривиальна, <math>\pi_1(\mathbb{R}^n) = 0</math>. То же верно и для любого пространства — выпуклого подмножества <math>\mathbb{R}^n</math>. |
||
* В |
* В окружности <math>\mathbb S^1</math>, каждый гомотопический класс состоит из петель, которые навиваются на окружность заданное число раз, которое может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления. Следовательно, фундаментальная группа окружности изоморфна аддитивной группе целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. |
||
⚫ | * Фундаментальная группа [[Букет окружностей|восьмёрки]] <math> \mathbb{S}^1 \vee \mathbb{S}^1 </math> неабелева |
||
* Фундаментальная группа <math>n</math>-мерной сферы <math>\mathbb S^n</math> тривиальна при всех <math>n\ge 2</math>. |
* Фундаментальная группа <math>n</math>-мерной сферы <math>\mathbb S^n</math> тривиальна при всех <math>n\ge 2</math>. |
||
⚫ | * Фундаментальная группа [[Букет окружностей|восьмёрки]] <math> \mathbb{S}^1 \vee \mathbb{S}^1 </math> неабелева — это [[свободное произведение]] <math>\mathbb{Z} * \mathbb{Z}</math>. Справедлив более общий результат, следующий из [[Теорема Зейферта — ван Кампена|теоремы ван Кампена]]: если <math>X</math> и <math>Y</math> — [[Линейно связное пространство|линейно связные пространства]] и локально односвязны, то фундаментальная группа их [[Букет пространств|букета]] (склейки по выделенной точке) изоморфна свободному произведению их фундаментальных групп: <math>\pi_1(X \vee Y) \cong \pi_1(X) * \pi_1(Y).</math> |
||
⚫ | |||
* Фундаментальная группа плоскости <math>\R^2</math> c <math>n</math> выколотыми точками |
* Фундаментальная группа плоскости <math>\R^2</math> c <math>n</math> выколотыми точками — [[свободная группа]] с <math>n</math> порождающими. |
||
⚫ | |||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
* Фундаментальная группа пространства зависит только от его [[гомотопический тип|гомотопического типа]]. |
* Фундаментальная группа пространства зависит только от его [[гомотопический тип|гомотопического типа]]. |
||
**Обратное верно для линейно связных [[асферическое пространство|асферических пространств]]; см. также [[K(G,n) пространство]]. |
** Обратное верно для линейно связных [[асферическое пространство|асферических пространств]]; см. также [[K(G,n) пространство]]. |
||
* Если <math>A</math> — [[ретракт]] <math>X</math>, содержащий отмеченную точку <math>x_0</math>, то гомоморфизм <math>i_*: \pi_1(A, x_0) \to \pi_1(X, x_0)</math>, индуцированный вложением <math>i: A \hookrightarrow X</math>, [[инъекция (математика)|инъективен]]. |
* Если <math>A</math> — [[ретракт]] <math>X</math>, содержащий отмеченную точку <math>x_0</math>, то гомоморфизм <math>i_*: \pi_1(A, x_0) \to \pi_1(X, x_0)</math>, индуцированный вложением <math>i: A \hookrightarrow X</math>, [[инъекция (математика)|инъективен]]. |
||
Строка 57: | Строка 65: | ||
** <math>\pi_1</math> сохраняет [[копроизведение|копроизведения]]: <math>\pi_1(\bigvee_\alpha X_\alpha) \cong \ast_\alpha \pi_1(X_\alpha) </math> естественно по всем <math>X_\alpha</math>. |
** <math>\pi_1</math> сохраняет [[копроизведение|копроизведения]]: <math>\pi_1(\bigvee_\alpha X_\alpha) \cong \ast_\alpha \pi_1(X_\alpha) </math> естественно по всем <math>X_\alpha</math>. |
||
** (случай двух <math>A_\alpha</math>): условие для тройных пересечений становится излишним, и получается, что <math>\pi_1(A_1 \cup A_2) \cong \pi_1(A_1) \mathbin{\ast_{\pi(A_1 \cap A_2)}} \pi_1(A_2)</math>, что является ограниченной (случаем линейно связного <math>A_1 \cap A_2</math>) формой сохранения [[толчок (математика)|толчков]]. |
** (случай двух <math>A_\alpha</math>): условие для тройных пересечений становится излишним, и получается, что <math>\pi_1(A_1 \cup A_2) \cong \pi_1(A_1) \mathbin{\ast_{\pi(A_1 \cap A_2)}} \pi_1(A_2)</math>, что является ограниченной (случаем линейно связного <math>A_1 \cap A_2</math>) формой сохранения [[толчок (математика)|толчков]]. |
||
* Фундаментальная группа [[топологическая группа|топологической группы]] абелева, как демонстрирует [[аргумент Экманна-Хилтона]]. |
|||
* [[Свободная группа|Свободные группы]] и только они могут быть реализованы как фундаментальные группы [[Граф (математика)|графов]] (действительно, стягивание [[остовное дерево|остовного дерева]] в точку реализует гомотопическую эквивалентность графа и [[букет пространств|букета окружностей]], также можно применить теорему ван Кампена). |
* [[Свободная группа|Свободные группы]] и только они могут быть реализованы как фундаментальные группы [[Граф (математика)|графов]] (действительно, стягивание [[остовное дерево|остовного дерева]] в точку реализует гомотопическую эквивалентность графа и [[букет пространств|букета окружностей]], также можно применить теорему ван Кампена). |
||
* Произвольная группа может быть реализована как фундаментальная группа двумерного [[CW-комплекс|клеточного комплекса]]. |
* Произвольная группа может быть реализована как фундаментальная группа двумерного [[CW-комплекс|клеточного комплекса]]. |
||
* Произвольная [[конечно заданная группа]] может быть реализована как фундаментальная группа замкнутого 4-мерного многообразия. |
* Произвольная [[конечно заданная группа]] может быть реализована как фундаментальная группа замкнутого 4-мерного многообразия. |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
* Фундаментальная группа является первой из [[Гомотопические группы|гомотопических групп]]. |
* Фундаментальная группа является первой из [[Гомотопические группы|гомотопических групп]]. |
||
* |
* {{iw|Фундаментальным группоидом||en|Fundamental groupoid}} пространства <math>X</math> называют [[группоид (теория категорий)|группоид]] <math>\Pi(X)</math>, объектами которого являются точки <math>X</math>, а морфизмами — гомотопические классы путей с композицией путей. При этом <math>\pi_1(X, x_0) \cong \operatorname{Aut}_{\Pi(X)}x_0</math>, и если <math>X</math> линейно связно, то вложение <math>\pi_1(X, x_0) \hookrightarrow \Pi(X)</math> является [[Эквивалентность категорий|эквивалентностью категорий]]. |
||
== Примечания == |
== Примечания == |
Текущая версия от 21:17, 3 декабря 2023
Фундамента́льная гру́ппа — одна из простейших конструкций в алгебраической топологии. Сопоставляется группа всякому связному топологическому пространству. Для подмножеств плоскости эта группа измеряет количество «дырок». Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать (стянуть) некоторую замкнутую кривую в точку.
Фундаментальная группа пространства с отмеченной точкой обычно обозначается или , последнее обозначение применимо для связных пространств. Тривиальность фундаментальной группы обычно записывается как , хотя обозначение более уместно.
Определение
[править | править код]Пусть — топологическое пространство с отмеченной точкой . Рассмотрим множество петель в из ; то есть множество непрерывных отображений , таких что . Две петли и считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу в классе петель, то есть найдется соединяющая их гомотопия , удовлетворяющая свойству . Соответствующие классы эквивалентности (обозначаются ) называются гомотопическими классами. Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:
Произведением двух гомотопических классов и называется гомотопический класс произведения петель. Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах. Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой. Эта группа и называется фундаментальной группой пространства с отмеченной точкой и обозначается .
Комментарии
[править | править код]- Про можно думать как о паре пространств .
- Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении.
- Если — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать вместо не боясь вызвать путаницу. Однако для двух точек канонический изоморфизм между и существует лишь если фундаментальная группа абелева.
Связанные определения
[править | править код]- Каждое непрерывное отображение пунктированных пространств индуцирует гомоморфизм , определяемый формулой . Таким образом, взятие фундаментальной группы вместе с описанной операцией образует функтор .
- Пространство называется односвязным, если оно линейно связно и группа тривиальна (состоит только из единицы).
Примеры
[править | править код]- В есть только один гомотопический класс петель. Следовательно, фундаментальная группа тривиальна, . То же верно и для любого пространства — выпуклого подмножества .
- В окружности , каждый гомотопический класс состоит из петель, которые навиваются на окружность заданное число раз, которое может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления. Следовательно, фундаментальная группа окружности изоморфна аддитивной группе целых чисел .
- Фундаментальная группа -мерной сферы тривиальна при всех .
- Фундаментальная группа восьмёрки неабелева — это свободное произведение . Справедлив более общий результат, следующий из теоремы ван Кампена: если и — линейно связные пространства и локально односвязны, то фундаментальная группа их букета (склейки по выделенной точке) изоморфна свободному произведению их фундаментальных групп:
- Фундаментальная группа плоскости c выколотыми точками — свободная группа с порождающими.
- Фундаментальная группа ориентированной замкнутой поверхности рода может быть задана образующими с единственным соотношением: .
Свойства
[править | править код]- Фундаментальная группа пространства зависит только от его гомотопического типа.
- Обратное верно для линейно связных асферических пространств; см. также K(G,n) пространство.
- Если — ретракт , содержащий отмеченную точку , то гомоморфизм , индуцированный вложением , инъективен.
- В частности, фундаментальная группа компоненты линейной связности , содержащей отмеченную точку, изоморфна фундаментальной группе всего .
- Если — строгий деформационный ретракт , то является изоморфизмом.
- сохраняет произведение: для любой пары топологических пространств с отмеченными точками и существует изоморфизм
- естественный по и .
- Теорема ван Кампена: Если — объединение линейно связных открытых множеств , каждое из которых содержит отмеченную точку , и если каждое пересечение линейно связно, то гомоморфизм , индуцированный вложениями , сюрьективен. Кроме того, если каждое пересечение линейно связно, то ядро гомоморфизма — это наименьшая нормальная подгруппа , содержащая все элементы вида (где индуцирован вложением ), а потому индуцирует изоморфизм (первая теорема об изоморфизме).[1] В частности,
- сохраняет копроизведения: естественно по всем .
- (случай двух ): условие для тройных пересечений становится излишним, и получается, что , что является ограниченной (случаем линейно связного ) формой сохранения толчков.
- Фундаментальная группа топологической группы абелева, как демонстрирует аргумент Экманна-Хилтона.
- Свободные группы и только они могут быть реализованы как фундаментальные группы графов (действительно, стягивание остовного дерева в точку реализует гомотопическую эквивалентность графа и букета окружностей, также можно применить теорему ван Кампена).
- Произвольная группа может быть реализована как фундаментальная группа двумерного клеточного комплекса.
- Произвольная конечно заданная группа может быть реализована как фундаментальная группа замкнутого 4-мерного многообразия.
- Фундаментальная группа пространства действует сдвигами на универсальном накрытии этого пространства (если универсальное накрытие определено).
Вариации и обобщения
[править | править код]- Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.
- Фундаментальным группоидом[англ.] пространства называют группоид , объектами которого являются точки , а морфизмами — гомотопические классы путей с композицией путей. При этом , и если линейно связно, то вложение является эквивалентностью категорий.
Примечания
[править | править код]- ↑ А. Хатчер, Алгебраическая топология, М.: МЦНМО, 2011.
Литература
[править | править код]- Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
- Матвеев С. В. Фундаментальная группа: Лекции по курсу «Топология». — Челябинск: ЧелГУ, 2001. — 16 с. (есть pdf)
- Фоменко Анатолий Тимофеевич. Дифференциальная геометрия и топология (доп. главы). — R&C dinamic, 1999. — 250 с.