Фундаментальная группа

Не следует путать с фундаментальной группой в дифференциальной геометрии.

Фундамента́льная гру́ппа — одна из простейших конструкций в алгебраической топологии. Сопоставляется группа всякому связному топологическому пространству. Для подмножеств плоскости эта группа измеряет количество «дырок». Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать (стянуть) некоторую замкнутую кривую в точку.

Фундаментальная группа пространства $X$ с отмеченной точкой $x_{0}$ обычно обозначается $\pi _{1}(X,x_{0})$ или $\pi _{1}(X)$, последнее обозначение применимо для связных пространств. Тривиальность фундаментальной группы обычно записывается как $\pi _{1}(X)=0$, хотя обозначение $\pi _{1}(X)=\{1\}$ более уместно.

Определение

Пусть $X$ — топологическое пространство с отмеченной точкой $x_{0}\in X$. Рассмотрим множество петель в $X$ из $x_{0}$; то есть множество непрерывных отображений $f\colon [0,1]\to X$, таких что $f(0)=x_{0}=f(1)$. Две петли $f$ и $g$ считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу в классе петель, то есть найдется соединяющая их гомотопия $f_{t}$, удовлетворяющая свойству $f_{t}(0)=x_{0}=f_{t}(1)$. Соответствующие классы эквивалентности (обозначаются $[f]$) называются гомотопическими классами. Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:

$(f*g)(t)={\begin{cases}f(2t),~t\in [0,{1 \over 2}]\\g(2t-1),~t\in [{1 \over 2},1]\end{cases}}$

Произведением двух гомотопических классов $[f]$ и $[g]$ называется гомотопический класс $[f*g]$ произведения петель. Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах. Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой. Эта группа и называется фундаментальной группой пространства $X$ с отмеченной точкой $x_{0}$ и обозначается $\pi _{1}(X,x_{0})$.

Комментарии

• Про $(X,x_{0})$ можно думать как о паре пространств $(X,\{x_{0}\})$.
• Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении.
• Если $X$ — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать $\pi _{1}(X)$ вместо $\pi _{1}(X,x_{0})$ не боясь вызвать путаницу. Однако для двух точек $x,y\in X$ канонический изоморфизм между $\pi _{1}(X,x)$ и $\pi _{1}(X,y)$ существует лишь если фундаментальная группа абелева.

Связанные определения

• Каждое непрерывное отображение пунктированных пространств $\varphi :(X,x_{0})\to (Y,\varphi (x_{0}))$ индуцирует гомоморфизм $\varphi _{*}=\pi _{1}\varphi :\pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,\varphi (x_{0}))$, определяемый формулой $\varphi _{*}[f]=[\varphi f]$. Таким образом, взятие фундаментальной группы вместе с описанной операцией образует функтор $\pi _{1}:\mathbf {hTop} \to \mathbf {Grp}$.

• Пространство $X$ называется односвязным, если оно линейно связно и группа $\pi _{1}(X)$ тривиальна (состоит только из единицы).

Примеры

• В $\mathbb {R} ^{n}$ есть только один гомотопический класс петель. Следовательно, фундаментальная группа тривиальна, $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{n})=0$. То же верно и для любого пространства — выпуклого подмножества $\mathbb {R} ^{n}$.

• В окружности $\mathbb {S} ^{1}$, каждый гомотопический класс состоит из петель, которые навиваются на окружность заданное число раз, которое может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления. Следовательно, фундаментальная группа окружности изоморфна аддитивной группе целых чисел $\mathbb {Z}$.

• Фундаментальная группа $n$-мерной сферы $\mathbb {S} ^{n}$ тривиальна при всех $n\geq 2$.

• Фундаментальная группа восьмёрки $\mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1}$ неабелева — это свободное произведение $\mathbb {Z} *\mathbb {Z}$. Справедлив более общий результат, следующий из теоремы ван Кампена: если $X$ и $Y$ — линейно связные пространства и локально односвязны, то фундаментальная группа их букета (склейки по выделенной точке) изоморфна свободному произведению их фундаментальных групп: $\pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).$

• Фундаментальная группа плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ c $n$ выколотыми точками — свободная группа с $n$ порождающими.

• Фундаментальная группа ориентированной замкнутой поверхности рода $g$ может быть задана образующими $a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}$ с единственным соотношением: $a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1}\dots a_{g}b_{g}a_{g}^{-1}b_{g}^{-1}=1$.

Свойства

• Фундаментальная группа пространства зависит только от его гомотопического типа.
  • Обратное верно для линейно связных асферических пространств; см. также K(G,n) пространство.

• Если $A$ — ретракт $X$, содержащий отмеченную точку $x_{0}$, то гомоморфизм $i_{*}:\pi _{1}(A,x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})$, индуцированный вложением $i:A\hookrightarrow X$, инъективен.
  • В частности, фундаментальная группа компоненты линейной связности $X$, содержащей отмеченную точку, изоморфна фундаментальной группе всего $X$.
  • Если $A$ — строгий деформационный ретракт $X$, то $i_{*}:\pi _{1}(A,x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})$ является изоморфизмом.

• $\pi _{1}$ сохраняет произведение: для любой пары топологических пространств с отмеченными точками $(X,x_{0})$ и $(Y,y_{0})$ существует изоморфизм

  $\pi _{1}(X\times Y,(x_{0},y_{0}))\cong \pi _{1}(X,x_{0})\times \pi _{1}(Y,y_{0}),$

естественный по $(X,x_{0})$ и $(Y,y_{0})$.

• Теорема ван Кампена: Если $X$ — объединение линейно связных открытых множеств $A_{\alpha }$, каждое из которых содержит отмеченную точку $x_{0}\in X$, и если каждое пересечение $A_{\alpha }\cap A_{\beta }$ линейно связно, то гомоморфизм $\Phi :\ast _{\alpha }\pi _{1}(A_{\alpha })\to \pi _{1}(X)$, индуцированный вложениями $A_{\alpha }\hookrightarrow X$, сюрьективен. Кроме того, если каждое пересечение $A_{\alpha }\cap A_{\beta }\cap A_{\gamma }$ линейно связно, то ядро гомоморфизма $\Phi$ — это наименьшая нормальная подгруппа $N$, содержащая все элементы вида $i_{\alpha \beta }(\omega )i_{\beta \alpha }(\omega )^{-1}$ (где $i_{\alpha \beta }$ индуцирован вложением $A_{\alpha }\cap A_{\beta }\hookrightarrow A_{\alpha }$), а потому $\Phi$ индуцирует изоморфизм $\pi _{1}(x)\cong \ast _{\alpha }\pi _{1}(A_{\alpha })/N$ (первая теорема об изоморфизме). В частности,
  • $\pi _{1}$ сохраняет копроизведения: $\pi _{1}(\bigvee _{\alpha }X_{\alpha })\cong \ast _{\alpha }\pi _{1}(X_{\alpha })$ естественно по всем $X_{\alpha }$.
  • (случай двух $A_{\alpha }$): условие для тройных пересечений становится излишним, и получается, что $\pi _{1}(A_{1}\cup A_{2})\cong \pi _{1}(A_{1}){\mathbin {\ast _{\pi (A_{1}\cap A_{2})}}}\pi _{1}(A_{2})$, что является ограниченной (случаем линейно связного $A_{1}\cap A_{2}$) формой сохранения толчков.

• Фундаментальная группа топологической группы абелева, как демонстрирует аргумент Экманна-Хилтона.

• Свободные группы и только они могут быть реализованы как фундаментальные группы графов (действительно, стягивание остовного дерева в точку реализует гомотопическую эквивалентность графа и букета окружностей, также можно применить теорему ван Кампена).

• Произвольная группа может быть реализована как фундаментальная группа двумерного клеточного комплекса.

• Произвольная конечно заданная группа может быть реализована как фундаментальная группа замкнутого 4-мерного многообразия.

• Фундаментальная группа пространства действует сдвигами на универсальном накрытии этого пространства (если универсальное накрытие определено).

Вариации и обобщения

• Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.
• Фундаментальным группоидом пространства $X$ называют группоид $\Pi (X)$, объектами которого являются точки $X$, а морфизмами — гомотопические классы путей с композицией путей. При этом $\pi _{1}(X,x_{0})\cong \operatorname {Aut} _{\Pi (X)}x_{0}$, и если $X$ линейно связно, то вложение $\pi _{1}(X,x_{0})\hookrightarrow \Pi (X)$ является эквивалентностью категорий.

Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• Матвеев С. В. Фундаментальная группа: Лекции по курсу «Топология». — Челябинск: ЧелГУ, 2001. — 16 с. (есть pdf)
• Фоменко Анатолий Тимофеевич. Дифференциальная геометрия и топология (доп. главы). — R&C dinamic, 1999. — 250 с.